Отрезки —Каталог задач по ЕГЭ - Информатика

Тема 15. Преобразование логических выражений

15.02 Отрезки

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела преобразование логических выражений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#56316

На числовой прямой даны два отрезка:

$P = [12;56]$ и $Q = [30;85]$

Укажите наименьшую длину промежутка А, при котором формула

------- ((x ∈ P ) → (x ∈ Q))∨ (x ∈ A)

тождественно истинна при любых целых значениях переменной x.

Показать ответ и решение

$PIC$

Ответ: 26

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#43475

На числовой прямой даны два отрезка:

$P = [2212598,7215678]$ и $Q = [4200000,10202053]$ .

Какова наименьшая возможная длина отрезка A, что логическое выражение

¬ (¬ (x ∈ A)∧ (x ∈ P ))∨(x ∈ Q)

тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

Показать ответ и решение

Выполняется как и любой стандартный прототип на отрезки. Получается довольно легко: возьмите стандартный прототип и увеличьте границы отрезков в $105$ раз.

Система для врагов:

( ||x ∕∈ A |{ |x ∈ P ||( x ∕∈ Q

Враги мечтают, чтобы $x ∈ [2212598;4200000)$ и при этом они были не в A.

Друзья хотят, чтобы все эти иксы были в A, тогда минимальный отрезок $A = [2212598;4200000]$ . Его длина равна $1987402$ .

Ответ: 1987402

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#37650

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [2,95]$ , $Q = [20,44]$ . Найдите наименьшую возможную длину отрезка $A$ , при котором формула

(x ∈ Q ) → (¬(x ∈ P)∧ (x ∈ Q ) → (x ∈ A ))

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любых x.

Показать ответ и решение

Враги хотят, чтобы выражение было ложно. Значит, они хотят, чтобы $x ∈ Q,x ∕∈ P,x∈∕A$ , но таких x нет нет. Значит, для любого $x$ выражение будет истинно независимо от выбранного отрезка $A$ . Тогда минимальная длина отрезка $A = 0$ .

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#37649

На числовой прямой даны два отрезка:

$P = [3;18]$ и $Q = [12;32]$

Укажите наибольшую длину промежутка А, при котором формула

((x ∈ P) ≡ (x ∈ Q)) → (x ∕∈ A)

тождественно истинна при любых значениях переменной x.

Показать ответ и решение

Система для врагов:

( ⌊( |||| |{ x ∈ P |||| ||( x ∈ Q ||{ ||( ||{ x∈∕P |||| ⌈( |||| x∈∕Q ||( x ∈ A

Враги мечтают чтобы $x ∈ (− ∞;3)∪ [12;18]∪ (32;+ ∞ )$ (одновременно в $P$ и в $Q$ или одновременно не в $P$ и не в $Q$ ) и при этом они были в A.

Друзья хотят, чтобы все эти иксы не были в A, тогда его можно сделать либо $[3;12)$ , либо $(18;32]$ . $(18;32]$ длиннее, возьмём его. Длина = $32− 18 = 14$

Ответ: 14

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#37648

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [19;56]$ и $Q = [32;84]$ . Укажите минимальную возможную длину такого отрезка $A$ , что формула

(¬ (x ∈ A)∧ (x ∈ Q )) → (x ∈ P )

истинна при любом значении переменной $x$ , т.е. принимает значение 1 при любом значении переменной $x$ .

Показать ответ и решение

Преобразуем данное выражение по законам де Моргана:

¬ (¬ (x ∈ A)∧ (x ∈ Q ))∨(x ∈ P)

(x ∈ A) ∨¬ (x ∈ Q)∨ (x ∈ P )

(x ∈ A)∨ (x ∕∈ Q )∨(x ∈ P)

Враги хотят, чтобы выражение было ложно, значит они хотят, чтобы $x ∈ Q,x ∕∈ P,x ∕∈ A$ , то есть $x ∈ (56;84]$ и эти $x$ не принадлежали $A$ .

Тогда задача друзей - подобрать такое $A$ , чтобы все выбранные врагами $x$ оказались в $A$ . Значит, минимальная длина $A = 84− 56 = 28$

Ответ: 28

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#37647

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [15;39]$ и $Q = [19;57]$ . Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка $A$ , что формула

¬(x ∈ A) → ((x ∈ P ) → ¬ (x ∈ Q))

истинна при любом значении переменной $x$ , т.е. принимает значение 1 при любом значении переменной $x$ .

Показать ответ и решение

Преобразуем данное выражение по законам де Моргана:

(x ∈ A)∨ ((x ∈ P ) → ¬(x ∈ Q))

(x ∈ A)∨ (¬(x ∈ P )∨¬ (x ∈ Q))

(x ∈ A)∨ (x ∕∈ P )∨(x ∕∈ Q)

Враги хотят, чтобы выражение было ложно, значит они хотят, чтобы $x ∈ P,x ∈ Q,x ∕∈ A$ , то есть $x$ принадлежало одновременно и $P$ , и $Q$ .

Тогда задача друзей - подобрать такое $A$ , чтобы оно перекрывало область пересечения этих отрезков (все выбранные врагами $x$ оказались в $A$ ). Значит, наименьшая длина $A = 39− 19 = 20$ .

Ответ: 20

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#37646

На числовой прямой даны два отрезка:

$P = [7;33]$ и $Q = [13;19]$

Каким может быть промежуток А чтобы формула

((x∈∕A ) → (x ∕∈ P))∨ (x ∈ Q)

была тождественно истинна при любых значениях переменной x. В ответ запишите количество возможных отрезков A, при этом левая граница которых не меньше 0, а правая не больше 33, и обе границы - целые числа.

Показать ответ и решение

Система для врагов:

( |||{x ∈ P x ∕∈ Q ||| (x ∕∈ A

Враги мечтают, чтобы $x ∈ [7;13)∪ (19;33])$ (одновременно в $P$ и не в $Q$ ) и при этом они были не в A.

Друзья хотят, чтобы все эти иксы были в A, тогда минимальный отрезок A = $[7;33]$ . Но его длину можно увеличить, отодвинув левую границу.

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#29711

На числовой прямой даны три промежутка:

$P = [10;15]$ , $Q = [5;20]$ и $K = (15;25]$

Каким может быть промежуток А чтобы формула

$((x ∕∈ A) → (x ∈ P )) ≡ ((x ∈ Q) → (x ∈ K ))$

тождественно ложна при любых значениях переменной x. В ответ запишите наибольшую возможную целую длину промежутка А.

Показать ответ и решение

Решим задачу программой. Чтобы показать, что левая граница отрезка $K = (15;25]$ не включается в отрезок $K$ , зададим его в программе как $K = [15.2,25]$ .

def inn(x, A):
    return A[0] <= x <= A[1]

def inn(x, A):
    return A[0] <= x <= A[1]

def f(x, A):
    P = [10, 15]
    Q = [5, 20]
    K = [15.2, 25]
    return (((not inn(x, A)) <= inn(x, P)) == ((inn(x, Q)) <= inn(x, K)))

borders = [0, 0]
maxim = 0
k = 5
for a in range(0, 80 * k):
    for b in range(a, 80 * k):
        A = [a / k, b / k]
        good = True
        for x in range(0, 100 * k):
            if f(x/k, A):
                good = False
                break
        if good:
            if A[1] - A[0] >= maxim:
                maxim = A[1] - A[0]
                borders = A.copy()
print(maxim)
print(borders)

Программа вывела длину $10.0$ и границы отрезка $[5.0,15.0]$ , значит нам подходит отрезок $[5,15]$ .

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#29710

На числовой прямой даны три отрезка: $P = [8;34]$ , $Q = [4;16]$ и $K = [33;54]$ . Какова наименьшая длина отрезка $A$ , при котором формула

((x ∈ P ) → (x ∈ Q ))∨(¬(x ∈ A) → (x ∈ K ))

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х?

Показать ответ и решение

Решим задачу программой.

def inn(x, A):
    return A[0] <= x <= A[1]

def f(x, A):
    P = [8, 34]
    Q = [4, 16]
    K = [33, 54]
    return ((inn(x, P) <= inn(x, Q)) or ((not inn(x, A)) <= inn(x, K)))

borders = [0, 0]
minim = 100000
k = 5
for a in range(0, 80 * k):
    for b in range(a, 80 * k):
        A = [a / k, b / k]
        good = True
        for x in range(0, 100 * k):
            if not f(x/k, A):
                good = False
                break
        if good:
            if A[1] - A[0] <= minim:
                minim = A[1] - A[0]
                borders = A.copy()
print(minim)
print(borders)

Программа вывела длину $16.59$ и границы отрезка $[16.2,32.8]$ , значит нам подходит отрезок $(16,33)$ , но из-за выколотой левой и правой границ программа показывают длину немного меньше реальной. При увеличении параметра $k$ можно добиться приближения длины к $17$ .

Ответ: 17

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#29709

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [23,47]$ , $Q = [13,108]$ . Найдите наименьшую возможную длину отрезка $A$ , при котором формула

(x ∈ Q ) → (¬(x ∈ P)∧ (x ∈ Q ) → (x ∈ A ))

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любых x.

Показать ответ и решение

Решим задачу программой.

def inn(x, A):
    return A[0] <= x <= A[1]

def f(x, A):
    P = [23, 47]
    Q = [13, 108]
    return (inn(x, Q) <= (((not inn(x, P)) and inn(x, Q)) <= inn(x, A)))

borders = [0, 0]
minim = 10000000
k = 5
for a in range(0, 120 * k):
    for b in range(a, 120 * k):
        A = [a / k, b / k]
        good = True
        for x in range(0, 130 * k):
            if not f(x/k, A):
                good = False
                break
        if good:
            if A[1] - A[0] <= minim:
                minim = A[1] - A[0]
                borders = A.copy()
print(minim)
print(borders)

Программа вывела длину $95.0$ и границы отрезка $[13.0;108.0]$ , значит нам подходит отрезок $[13,108]$ .

Ответ: 95

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#29708

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [15,35]$ и $Q = [10,60]$ . Найдите наибольшую возможную длину отрезка $A$ , при котором формула

(x ∈ A)∧ ((x ∈ Q) ≡ (x ∈ P))

тождественно ложна, то есть принимает значение $0$ при любых x.

Показать ответ и решение

Враги хотят, чтобы данное выражение было истинно. Они хотят, чтобы $(x ∈ Q) ≡ (x ∈ P) = 1$ и $x ∈ A$ и могут выбрать следующие $x$ :

либо $x ∈ Q, x ∈ P$ , то есть $x ∈ [15;35]$ ,

либо $x∈∕Q, x ∕∈ P$ , то есть $x ∈ (− ∞; 10)∪ (60;+ ∞ )$ .

Итого, враги выбирают $x ∈ (− ∞; 10)∪[15;35]∪(60;+∞ )$ .

Тогда задача друзей - подобрать такой $A$ , чтобы любой выбранный врагами $x$ принадлежал $A$ . Они берут $(35,60]$ . Получаем, что максимальная длина $A = 60 − 35 = 25$ .

Ответ: 25

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#29706

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [44;49]$ и $Q = [25;58]$ . Укажите наибольшую возможную длину такого отрезка $A$ , что формула

((x ∈ A ) → (x ∈ P))∨ (x ∈ Q)

тождественно истинна, то есть принимает значение $1$ при любых $x$ .

Показать ответ и решение

Враги хотят, чтобы данное выражение было ложно, значит они хотят, чтобы $x ∈ A,x ∕∈ P,x ∕∈ Q$ , то есть $x ∈ (− ∞, 25)∪(58,+∞ )$ , и при этом все эти $x$ лежали в $A$ .

Тогда задача друзей - подобрать такое $A$ , чтобы все выбранные врагами $x$ оказались вне отрезка $A$ . Можно взять $A = [25,58]$ . Максимальная длина $A = 58− 25 = 33$ .

Ответ: 33

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#29705

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [21;52]$ и $Q = [33;71]$ . Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка $A$ , что формула

¬ (x ∈ A) → ((x ∈ Q) → (x ∈ P ))

истинна при любом значении переменной $x$ , т.е. принимает значение 1 при любом значении переменной $x$ .

Показать ответ и решение

Преобразуем данное выражение по законам де Моргана:

(x ∈ A )∨ ((x ∈ Q) → (x ∈ P ))

(x ∈ A )∨ (¬ (x ∈ Q)∨ (x ∈ P ))

(x ∈ A)∨ (x ∕∈ Q )∨(x ∈ P)

Враги хотят, чтобы выражение было ложно, значит они хотят, чтобы $x∈∕P,x ∈ Q,x ∕∈ A$ , то есть $x$ принадлежало $Q$ без $P$ . Враги выбирают $x ∈ (52;71]$ .

Тогда задача друзей - подобрать такое $A$ , чтобы оно перекрывало область отрезка $Q$ без $P$ , то есть все выбранные врагами $x$ . Значит, наименьшая длина $A = 71− 52 = 19$ .

Ответ: 19

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#29704

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [27;68]$ и $Q = [38;71]$ . Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка $A$ , что формула

(x ∈ P) → (((x ∈ Q)∧ ¬(x ∈ A )) → ¬ (x ∈ P))

истинна при любом значении переменной $x$ , т.е. принимает значение $1$ при любом значении переменной $x$ .

Показать ответ и решение

Преобразуем данное выражение по законам де Моргана:

¬(x ∈ P)∨ (¬((x ∈ Q) ∧¬ (x ∈ A))∨ ¬(x ∈ P ))

¬(x ∈ P)∨ ¬(x ∈ Q )∨ (x ∈ A)

(x ∕∈ P)∨ (x∈∕Q )∨ (x ∈ A)

Тогда задача друзей - подобрать такое $A$ , чтобы оно перекрывало область пересечения этих отрезков. Значит, наименьшая длина $A = 68 − 38 = 30$ .

Ответ: 30

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#29703

На числовой прямой даны три отрезка:

$P = [5;25]$ , $Q = [15;35]$ и $K = [25;40]$

Каким может быть промежуток А чтобы формула

$((x ∈ Q ) → (x ∕∈ K ))∧ (x ∈ A)∧ (x ∕∈ P )$

Показать ответ и решение

Решение 1 (ручками):
Если друзья хотят, чтобы выражение было ложно, значит, враги хотят, чтобы выражение было истинно.

Тогда система для врагов:

( ⌊( || { x ∕∈ K |||| || |||{ |⌈( x ∈ Q ||| x ∕∈ Q |||| x ∈ A ||( x∈∕P

Враги либо берут

$x ∕∈ P,x ∕∈ Q$ , то есть $x ∈ (− ∞, 5)∪ (35,+ ∞ )$ , либо

$x ∕∈ P,x ∈ Q,x ∕∈ K$ , но таких х нет,

и хотят, чтобы эти x были в А.

Тогда друзья хотят, чтобы $x ∈ (− ∞, 5)∪(35,+∞ )$ были не в А, значит А можно взять $[5,35]$ . Длина = 35 - 5 = 30.

Решение 2 (прогой):

def inn(x, a):
    if a[0] <= x <= a[1]:
        return True
    return False


p = [5, 25]
q = [15, 35]
k = [25, 40]
maxim = 0

for i in range(100):
    for j in range(i + 1, 100):
        a = [i, j]
        flag = True
        for x in range(100):
            if ((inn(x, q) <= (not inn(x, k))) and inn(x, a) and (not inn(x, p))) == 1:
                flag = False
        if flag:
            maxim = max(maxim, j - i)

print(maxim)

Ответ: 30

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#29702

На числовой прямой даны два отрезка:

$P = [15;50]$ и $Q = [7;63]$

Каким может быть промежуток А чтобы формула

$((x ∈ P) → (x ∈ A ))∧((x ∈ A ) → (x ∈ Q))$

тождественно истинна при любых значениях переменной x. В ответ запишите наибольшую возможную целую длину промежутка А.

Показать ответ и решение

Решение 1 (ручками):
Система для врагов:

⌊( { x ∈ P ||( || x ∕∈ A ||({ |⌈ x ∈ A ( x ∕∈ Q

Враги мечтают, чтобы $x ∈ [15;50]$ (в $P$ ) и при этом они не были в A или $x ∕∈ [7;63]$ (не в $Q$ ) и при этом они были в A.

Друзья хотят, чтобы иксы $[15;50]$ были в A, а иксы $(− ∞; 7)∪ (63;+ ∞ )$ были не в А, тогда можно сделать $A = [7;63]$ . Длина = $63− 7 = 56$

Решение 2 (прогой):

def inn(x, a):
    if a[0] <= x <= a[1]:
        return True
    return False


p = [15, 50]
q = [7, 63]
maxim = 0

for i in range(100):
    for j in range(i + 1, 100):
        a = [i, j]
        flag = True
        for x in range(100):
            if ((inn(x, q) <= inn(x, a)) and (inn(x, a) <= inn(x, q))) == 0:
                flag = False
        if flag:
            maxim = max(maxim, j - i)

print(maxim)

Ответ: 56

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#29701

На числовой прямой даны два отрезка:

$P = [3;18]$ и $Q = [12;25]$

Укажите наибольшую длину промежутка $A$ , при котором формула

((x ∈ P) ≡ (x ∈ Q)) → (x ∕∈ A)

тождественно истинна при любых целых значениях переменной $x$ .

Показать ответ и решение

Система для врагов:

( ⌊( |||| |{ x ∈ P |||| ||( x ∈ Q ||{ ||( ||{ x∈∕P |||| ⌈( |||| x∈∕Q ||( x ∈ A

Враги мечтают чтобы $x ∈ (− ∞;3)∪ [12;18]∪ (25;+ ∞ )$ (одновременно в $P$ и в $Q$ или одновременно не в $P$ и не в $Q$ ) и при этом они были в A.

Друзья хотят, чтобы все эти иксы не были в A, тогда его можно сделать либо $[3;12)$ , либо $(18;25]$ . $[3;12)$ длиннее, возьмём его. Длина = $12− 3 = 9$

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#29700

На числовой прямой даны два отрезка:

$P = [33;65]$ и $Q = [45;83]$

Каким может быть промежуток А чтобы формула

$(x ∈ P ) → (((x ∈ Q )∧(x ∕∈ A)) → (x ∕∈ P))$

тождественно истинна при любых значениях переменной x. В ответ запишите наименьшую возможную целую длину промежутка А.

Показать ответ и решение

Система для врагов:

( |||{x ∈ P x ∈ Q ||| (x ∕∈ A

Враги мечтают, чтобы $x ∈ [45;65]$ (одновременно в $P$ и в $Q$ ) и при этом они не были в A.

Друзья хотят, чтобы эти иксы были в A, тогда его можно сделать $[45;65]$ . Длина = $65− 45 = 20$

Ответ: 20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#29699

На числовой прямой даны два отрезка:

$P = [7;33]$ и $Q = [13;19]$

Каким может быть промежуток $A$ чтобы формула

((x∈∕A ) → (x ∕∈ P))∨ (x ∈ Q)

тождественно истинна при любых значениях переменной $x$ . В ответ запишите наименьшую возможную целую длину промежутка $A$ .

Показать ответ и решение

Система для врагов:

( |||{x ∈ P x ∕∈ Q ||| (x ∕∈ A

Враги мечтают, чтобы $x ∈ [7;13)∪ (19;33])$ (одновременно в $P$ и не в $Q$ ) и при этом они были не в $A$ .

Друзья хотят, чтобы все эти иксы были в $A$ , тогда его можно сделать $[7;33]$ . Длина = $33 − 7 = 26$

Ответ: 26

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#29450

На числовой прямой даны отрезки $P = [10;50],Q = [30;65]$ и функция

------- F(x) = (x ∈ A ) → (((x ∈ P )∧ (x ∈ Q)) → (x ∈ A))

При какой наименьшей возможной длине отрезка $A$ функция $F (x)$ истинна при любом значении переменной $x$ ?

Показать ответ и решение

Запишем, чего хотят враги:

( |||{x ∕∈ A x ∈ P ||| (x ∈ Q

Тогда мечты врагов такие: «Вот бы $x$ одновременно принадлежал $P$ и $Q$ и не принадлежал $A$ ». То есть, враги хотят, чтобы отрезок $[30;50]$ не принадлежал $A$ .

Тогда друзья говорят: «Весь отрезок $[30;50]$ принадлежит $A$ ». Значит, наименьшая длина отрезка $A$ равна $20$ .

Ответ: 20

Предыдущий раздел

Следующий раздел