Неравенства —Каталог задач по ЕГЭ - Информатика

Тема 15. Преобразование логических выражений

15.05 Неравенства

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела преобразование логических выражений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#41968

Для какого наибольшего целого числа $A$ формула

((x− 10 < A) → (y+ 28 ≥ 4A ))∨(x + y ⁄= 17)

тождественно истинна, (т. е. принимает значение $1$ ) при любых целых положительных значениях переменных $x$ и $y$ ?

Показать ответ и решение

Решение аналитикой

Враги хотят, чтобы выражение было ложно. Система для врагов:

( ||| x− 10 < A { || y+ 28 < 4A |( x+ y = 17

Друзья говорят:

( ||| A > x − 10 { || A ≤ 0.25y + 7 |( x + y = 17

Выразим $x$ : $x = 17− y$ . Тогда $A > 17 − y − 10 = A > 7 − y$

( { A > 7− y ( A ≤ 0.25y + 7

Рассмотрим, что происходит при разных $y$ .

При $y = 1$ : $A > 6,A ≤ 7.25$ ;

При $y = 2$ : $A > 5,A ≤ 7.5$

...

При $y = 7$ : $A > 0,A ≤ 8.75$ .

Тогда наибольшее $A = 7$ .

Решение программой

for A in range(1000):
    p = True
    for x in range(1, 1000):
        for y in range(1, 1000):
            f = ((x - 10 < A) <= (y + 28 >= 4 * A)) or (x + y != 17)
            if f == False:
                p = False
                break
        if p == False:
            break
    if p == True:
        print(A)

Ответ: 7

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#41967

Для какого наименьшего целого числа $A$ формула

(6x + 8y ⁄= 128)∨ (x < y) ∨(3y < A )

Показать ответ и решение

Решение аналитикой

Враги хотят, чтобы выражение было ложно. Система для врагов:

( ||| 6x +8y = 128 { || x ≥ y |( 3y ≥ A

Все возможные $x$ и $y$ , где $x ≥ y$ :

|---|--| |x--|y-| |12 |7 | |---|--| |16-|4-| -20--1-|

Тогда друзья говорят: $3y < A$ . Максимальное $y = 7$ , значит, $A > 21$ . Наименьшее $A = 22$ .

Решение программой

for A in range(1000):
    p = True
    for x in range(1, 1000):
        for y in range(1, 1000):
            f = (6*x + 8*y != 128) or (x < y) or (3*y < A)
            if f == False:
                p = False
                break
        if p == False:
            break
    if p == True:
        print(A)
        break

Ответ: 22

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#41965

Для какого наибольшего целого числа $A$ формула

(x ⋅y > A )∨ (27 > y)∨ (y− 20 ≥ A )∨ (x < 8)

тождественно истинна, (т. е. принимает значение $1$ ) при любых положительных значениях переменных $x$ и $y$ ?

Показать ответ и решение

Решение аналитикой

Враги хотят, чтобы выражение было ложно. Система для врагов:

( [ ||| x⋅y ≤ A ||{ y− 20 < A |||| 27 ≤ y |( x ≥ 8

Тогда друзья говорят:

( [ ||| A < x⋅y ||{ A ≤ y− 20 |||| y ≥ 27 |( x ≥ 8

Наименьшее $x = 8$ , $y = 27$ . Тогда

$⌊⌈ A ≤ 7 A < 216$

Наибольшее $A = 215$ .

Решение программой

def f(a):
    for x in range(1, 1000):
        for y in range(1, 1000):
            if ((x * y > a) or (27 > y) or ((y - 20) >= a) or (x < 8)) == 0:
                return 0
    return 1

for a in range(1000):
    if f(a):
        print(a)

Ответ: 215

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#41963

Для какого наибольшего целого числа $A$ формула

(A < x + y)∨ (x ≥ 48)∨ (y > 2)

тождественно истинна, (т. е. принимает значение $1$ ) при любых натуральных значениях переменных $x$ и $y$ ?

Показать ответ и решение

Решение аналитикой

Враги хотят, чтобы выражение было ложно. Система для врагов:

( ||| A ≥ x+ y { || x < 48 |( y ≤ 2

Тогда друзья говорят: $A < x + y$ . Наименьшее $x = 1$ , $y = 1$ . Тогда $A < 2$ . Максимальное возможное $A = 1$ .

Решение программой

  def f(a):
      for x in range(1, 1000):
          for y in range(1, 1000):
              if ((a < x + y) or (x >= 48) or (y > 2)) == 0:
                  return 0
      return 1

  for a in range(1000):
      if f(a):
          print(a)

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#41960

Для какого наименьшего целого числа $A$ формула

(x > 16) ∨(y > 25) ∨(A > x +y)

тождественно истинна, (т. е. принимает значение $1$ ) при любых натуральных значениях переменных $x$ и $y$ ?

Показать ответ и решение

Враги хотят, чтобы выражение было ложно. Система для врагов:

( |||{ x ≤ 16 y ≤ 25 ||| ( A ≤ x+ y

Тогда друзья говорят: $A > x + y$ . Наибольшее $x = 16$ , $y = 25$ . Тогда $A > 41$ . Наименьшее $A = 42$ .

Ответ: 42

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#36829

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа $A$ выражение

$\text{[math]}$

$( ) x+ 5 y > A ∨ (x > 8) ∨(y ≥ 14) 7$

$\text{[math]}$

тождественно ложно при целых $x ≤ 8$ и $y < 14?$

Показать ответ и решение

Враги хотят, чтобы выражение было истинно. Совокупность для врагов:

$⌊ 5 ||x+ 7y > A || x > 8 ⌈ y ≥ 14$

Так как по условию мы рассматриваем только целые $x ≤ 8$ и $y < 14$ , то врагам остается надеется, что $5 x + 7y > A$ .

Чтобы увеличить свои шансы на победу, врагам выгодно взять наибольшие допустимые x и y, то есть y = 13, x = 8.

Друзья хотят, чтобы $5 x+ -y ≤ A 7$ , то есть $8∗ 7 5 ∗13 ----+ -----≤ A 7 7$ .

$121 ≤ A 7$

Наименьшее значение A = 18.

Ответ: 18

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#36828

Для какого наибольшего целого неотрицательного числа $A$ выражение

$\text{[math]}$

$( ) x+ 13 y ≥ A ∨ (x ≥-y)-∨(y < 7) 9$

$\text{[math]}$

тождественно истинно при любых целых неотрицательных $x$ и $y?$

Показать ответ и решение

Враги хотят, чтобы выражение было ложно. Система для врагов:

( |||| x+ 13y < A { 9 || x ≥ y ||( y ≥ 7

Чтобы увеличить свои шансы на победу, врагам выгодно взять наименьшие x и y, то есть y = 7, x = 7.

Друзья хотят, чтобы $13 x+ 9y ≥ A$ , то есть $7∗-9 13∗-7 9 + 9 ≥ A$ .

$154 -9- ≥ A$

Наибольшее значение A = 17.

Решение программой

def f(x, y, a):
    return (x + 13 / 9 * y >= a) or (not (x >= y)) or (y < 7)

for a in range(1000):
    if all(f(x, y, a) for x in range(300) for y in range(300)):
        print(a)

Ответ: 17

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#33604

Для какого наибольшего целого числа $A$ формула

(x+ y ≤ 25)∨(y ≤ x+ 3)∨ (y ≥ A )

тождественно истинна, (т. е. принимает значение $1$ ) при любых натуральных значениях переменных $x$ и $y$ ?

Показать ответ и решение

Враги хотят, чтобы выражение было ложно. Система для врагов:

( |||{ x+ y > 25 y > x +3 ||| ( y < A

Чтобы увеличить свои шансы на победу, враги стараются минимизировать y, при этом сохранив условия $y > x + 3$ и $y > 25− x$ . Так как значение $y$ связано со значением $x$ неравенством $y > x + 3$ , то чтобы минимизировать $y$ , нужно минимизировать и $x$ .

Если мы зафиксируем какое-то значение $x$ , то для выбранного $x$ минимальное значение $y = x + 4$ (так как $y > x+ 3$ ). Значит, $y+ x = 2∗x + 4 > 25$ . Тогда минимальный подходящий $x = 11$ , а соответствующий ему минимальный $y = 15$ .

Друзья хотят, чтобы $y ≥ A$ , то есть $15 ≥ A$ .

Максимальное значение $A = 15$ .

Решение 2. Прогой

def f(a):
    for x in range(1, 1000):
        for y in range(1, 1000):
            if not(x + y <= 25 or y <= x + 3 or y >= a):
                return False
    return True

for a in range(0, 10000):
    if f(a):
        print(a)

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#29729

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа $A$ выражение

$( ) ( 3x2 − 7x+ √10x-< A ↓ (((x ≤ 4)|(x ≤ 4)))) ↓ 3$

$( ) 2 7x- √ --- ( 3x − 3 + 10x < A ↓ (((x ≤ 4)|(x ≤ 4))))$

тождественно истинно при любых целых неотрицательных $x?$

Выше было применено следующее действие - стрелка Пирса, которое обозначается как " $↓$ ". Выражение a $↓$ b будет ИСТИННЫМ только в случае, когда $a = b = 0.$

Также было применено следующее действие - Штрих Шеффера, которое обозначается как " $|$ ". Выражение a|b будет ЛОЖНЫМ только в случае, когда $a = b = 1.$

Показать ответ и решение

def f(x, A):
    a1 = (3*x*x) - (7*x/3) + ((10*x) ** 0.5) < A
    b = shtrih_Sheffera(x<=4, x<=4)
    return strelka_Pirsa(strelka_Pirsa(a1, b), strelka_Pirsa(a1, b))

def strelka_Pirsa(a, b):
    if (a == 0) and (b == 0):
        return True
    return False

def shtrih_Sheffera(a, b):
    if a == True and b == True:
        return False
    return True

def podh(A):
    for x in range(10000):
        if not f(x, A):
            return False
    return True

for A in range(100):
    if podh(A):
        print(A)

Ответ: 45

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#29698

Для какого наибольшего целого неотрицательного числа $A$ выражение

$( ) ∘ √---- y6 ( 9x5 + 10000+ 21z > A) ∨ (z < 12)∨ (y ≤ 9)∨ (x ≤ 8)$

тождественно истинно при любых целых неотрицательных $x$ , $y$ и $z$ ?

Показать ответ и решение

Враги хотят, чтобы выражение было ложно. Система для врагов:

(∘ ----- 6 |||| √9x5-+ --y--+ 21z ≤ A, |||{ 10000 z ≥ 12, ||| ||||y > 9, (x > 8

Чтобы увеличить свои шансы на победы, врагам выгодно взять наименьшие x, y, z, то есть x = 9, y = 10, z = 12.

Друзья хотят, чтобы $∘ √---- y6 9x5 + -----+ 21z > A 10000$ , то есть

∘ ---- 6 √96 + -10--+ 21∗ 12 > A 10000

27+ 100 +252 > A

379 > A

Тогда наибольшее $A = 378$ .

Решение 2. Прогой

def f(x, y, z, A):
    return ((((9 * (x ** 5)) ** 0.5) ** 0.5 + y ** 6 / 10000 + 21 * z) > A) \
        or (z < 12) or (y <= 9) or (x <= 8)

ans = 0
for A in reversed(range(1000)):
    flag = True
    for x in range(0, 50):
        for y in range(0, 50):
            for z in range(0, 50):
                if not f(x, y, z, A):
                    flag = False
                    break
            if not flag:
                break
        if not flag:
            break
    if flag:
        print(A)
        break

Ответ: 378

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#29697

Для какого наибольшего целого неотрицательного числа $A$ выражение

$( ) √19x3 + 11y+ √11z-> A ∨(z < 11) ∨(y ≤ 8) ∨(x ≤ 18) 6$

тождественно истинно при любых целых неотрицательных $x,y$ и $z$ ?

Показать ответ и решение

Враги хотят, чтобы выражение было ложно. Система для врагов:

( √---- 11y √ --- |||| 19x3 + -6-+ 11z ≤ A, ||{ z ≥ 11, |||| y > 8, ||( x > 18

Чтобы увеличить свои шансы на победы, врагам выгодно взять наименьшие x, y, z, то есть x = 19, y = 9, z = 11.

Друзья хотят, чтобы $√ ---- √ --- 19x3 + 11y+ 11z > A 6$ , то есть

√194 + 11∗9-+ √112 > A. 6

361+ 16.5 + 11 > A

388.5 > A

Тогда наибольшее $A = 388$ .

Ответ: 388

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#29696

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа $A$ выражение

$(10x +3y − 5z < A )∨ (z > y)∨ (y > 30)∨ (x > 50)$

тождественно истинно при любых целых неотрицательных $x,$ $y$ и $z?$

Показать ответ и решение

Враги хотят, чтобы выражение было ложно. Система для врагов:

( |||| 10x+ 3y − 5z ≥ A, ||{ z ≤ y, |||| y ≤ 30, ||( x ≤ 50

Чтобы увеличить свои шансы на победы, врагам выгодно взять наибольшие $x,y,$ то есть $x = 50,y = 30$ и наименьший $z = 0$ .

Друзья хотят, чтобы условие $10x +3y − 5z < A$ было истинным (т.к. только здесь есть A), то есть чтобы выполнялось $10 ⋅50 + 3⋅30− 0 < A$ . Откуда наименьшее $A = 591$ .

Решение 2. Прогой

def f(x, y, z, a):
    return (10*x+3*y-5*z<a) or (z>y) or (y>30) or (x>50)

def func(a):
    for x in range(100):
        for y in range(100):
            for z in range(100):
                if f(x, y, z, a) == 0:
                    return False
    return True

for a in range(1000):
    if func(a):
        print(a)
        break

Ответ: 591

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#29695

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа $A$ выражение

$(3x + 5y ⁄= 80)∨ (A > x )∨(A > y)$

тождественно истинно при любых целых неотрицательных $x$ и $y?$

Показать ответ и решение

Решение 1 (ручками, не через метод друзей-врагов)

Чтобы дизъюнкция была истинной при любом неотрицательном целом значении $x$ и $y$ рассмотрим случай, когда $(3x+ 5y ⁄= 80) = 0$ , $(A > x) = 1$ или $(A > y) = 1$ .

Это эквивалентно следующей системе:

(| ||{3⌊x + 5y = 80, A > x, |||(⌈ A > y

Самое сильное ограничение для $A$ в системе будет тогда, когда $x$ и $y$ станут минимально возможными, то есть при $10$ и $10$ соответственно.

Значит, наименьшее значение $A$ при заданных условиях — $11$

Решение 2 (ручками, через метод друзей-врагов)

Враги хотят, чтобы выражение было ложно, а значит $(3x+ 5y = 80)$ , $(A ≤ x )$ , $(A ≤ y)$ .

Враги мечтают, чтобы $x = 0,y = 16$ , либо $x = 5,y = 13$ , либо $x = 10,y = 10$ , либо $x = 15,y = 7$ , либо $x = 20,y = 4$ , либо $x = 25,y = 1$ и $A ≤ x,A ≤ y$ .

Тогда друзья говорят, что $A > x$ и $A > y$ , значит возьмем пару $x$ и $y$ , где максимальный элемент меньше, чем максимальные в других парах – т.е. $A > 10(x),A > 10(y)$ , значит наименьшее $A = 11$ .

Решение 3 (прогой)

def f(a):
    for x in range(1000):
        for y in range(1000):
            if ((3 * x + 5 * y != 80) or (a > x) or (a > y)) == 0:
                return False
    return True

for a in range(1000):
    if f(a):
        print(a)
        break

Ответ: 11

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#29694

Для какого наибольшего целого неотрицательного числа $A$ выражение

$(3x + 5y ⁄= 150)∨ (A < x )∨(x ≤ y)$

тождественно истинно при любых целых неотрицательных $x$ и $y?$

Показать ответ и решение

Чтобы дизъюнкция была истинной при любом неотрицательном целом значении $x$ и $y$ рассмотрим случай, когда $(3x+ 5y ⁄= 150) = 0,$ $(x ≤ y) = 0$ и $(A < x) = 1.$

Это эквивалентно следующей системе:

( || 3x+ 5y = 150, |{ | x > y, ||( A < x

Самое сильное ограничение для $A$ в системе будет тогда, когда $x$ станет минимально возможным, а $y$ максимально возможным, то есть при $20$ и $18$ соответственно.

Значит, значение $A$ при заданных условиях — 19

Ответ: 19

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#29693

Для какого наибольшего целого неотрицательного числа $A$ выражение

$-------- (5x + 7y ≥ A) ∨(x > 40)∨(y < 7)$

тождественно истинно при любых целых неотрицательных $x$ и $y?$

Показать ответ и решение

Решение 1 (ручками)

Чтобы дизъюнкция была истинной при любом неотрицательном целом значении $x$ и $y$ рассмотрим случай, когда $(x->-40) ⇔ (x ≤ 40) = 0,$ $(y < 7) = 0$ и $(5x + 7y ≥ A ) = 1.$

Это эквивалентно следующей системе:

( 5x A |||{ y ≥ −-7-+ 7-, x > 40, ||| ( y ≥ 7

Самое сильное ограничение для $A$ в системе будет при наименьших $x$ и $y,$ т. е. при $41$ и $7$ соответственно.

$\text{[math]}$

Подставим: $5⋅41- A- 7 ≥ − 7 + 7 ,$ откуда $A ≤ 254.$ Наибольшее значение $A = 254.$

Решение 2 (прогой)

for A in range(1000):
    flag = True
    for x in range(300):
        for y in range(300):
            p = (5 * x + 7 * y >= A) or (x <= 40) or (y < 7)
            if p == 0:
                flag = False
                break
        if flag == 0:
            break
    if flag:
        print(A)

Ответ: 254

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#29692

Для какого наибольшего целого неотрицательного числа $A$ выражение

$(6x + 3y ≥ A) ∨(x ≤ 40)∨(y < 57)$

тождественно истинно при любых целых неотрицательных $x$ и $y?$

Показать ответ и решение

Решение 1 (ручками)

Чтобы дизъюнкция была истинной при любом неотрицательном целом значении $x$ и $y$ рассмотрим случай, когда $(x ≤ 40) = 0,$ $(y < 57) = 0$ и $(6x + 3y ≥ A ) = 1.$

Это эквивалентно следующей системе:

( 6x A |||{ y ≥ −-3-+ 3-, x > 40, ||| ( y ≥ 57

Самое сильное ограничение для $A$ в системе будет при наименьших $x$ и $y,$ т. е. при $41$ и $57$ соответственно.

Подставим: $57 ≥ − 6⋅41-+ A-, 3 3$ откуда $A ≤ 417.$ Наибольшее значение $A = 417.$

Решение 2 (прогой)

def f(a):
    for x in range(1000):
        for y in range(1000):
            if ((6 * x + 3 * y >= a) or (x <= 40) or (y < 57))==0:
                return False
    return True

for a in range(1000, 1, -1):
    if f(a):
        print(a)
        break

Ответ: 417

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#29691

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа $A$ выражение

$(3x + y ≥ A )∨(x < 30)∨(y ≤ 55)$

тождественно ложно для $x = 30$ и $y = 56?$

Показать ответ и решение

Чтобы дизъюнкция была ложной при любом неотрицательном целом значении $x$ и $y$ рассмотрим случай, когда $(x < 30) = 0,$ $(y ≤ 55) = 0$ и $(3x + y ≥ A ) = 0.$

Это эквивалентно следующей системе:

( ||y < − 3x + A, |{ |x ≥ 30, ||( y > 55

Самое сильное ограничение для $A$ в системе, когда выражение примет значение ложь, будет при наименьших $x$ и $y,$ т. е. при $30$ и $56$ соответственно.

Подставим: $56 < − (3 ∗30)+ A,$ откуда $A > 146.$ Значит, наименьшее значение A, когда выражение будет тождественно ложным — это 147.

Ответ: 147

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#29690

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа $A$ выражение

$(3x + 4y ⁄= 52)∨ (A < x )∨(y ≤ x)$

тождественно ложно при натуральных $x < 8,$ $y > 7$ и $3x+ 4y = 52$ ?

Показать ответ и решение

Чтобы дизъюнкция была истинной при любом неотрицательном целом значении $x$ и $y$ рассмотрим случай, когда $(3x+ 4y ⁄= 52) = 0,$ $(y ≤ x) = 0$ и $(A < x) = 0.$

Это эквивалентно следующей системе:

( ||3x + 4y = 52, |{ |y > x, ||( A ≥ x

Самое сильное ограничение для $A$ в системе будет тогда, когда $x$ станет максимально возможным, а $y$ минимально возможным при заданных условиях, то есть при $4$ и $10$ соответственно. Впервые $x$ станет больше $y$ при $8$ и $7$ соответственно.

Значит, наименьшее значение $A$ при заданных условиях — 4

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#29689

Для какого наибольшего целого неотрицательного числа $A$ выражение

$(5x + 2y ⁄= 85)∨ (A ≤ x )∨(x ≤ y)$

тождественно истинно при любых целых неотрицательных $x$ и $y?$

Показать ответ и решение

Чтобы дизъюнкция была истинной при любом неотрицательном целом значении $x$ и $y$ рассмотрим случай, когда $(5x+ 2y ⁄= 85) = 0,$ $(x ≤ y) = 0$ и $(A ≤ x) = 1.$

Это эквивалентно следующей системе:

( ||5x + 2y = 85, |{ |x > y, ||( A ≤ x

Самое сильное ограничение для $A$ в системе будет тогда, когда $x$ впервые станет больше $y,$ то есть при $13$ и $10$ соответственно (при меньших $x,$ $y$ будет строго больше).

Значит, наибольшее значение $A$ при заданных условиях — 13

Программное решение

for a in range(1000):
    flag = True
    for x in range(1000):
        for y in range(1000):
            if ((5*x + 2*y != 85) or (a <= x) or (x <= y)) == False:
                flag = False
                break
        if flag == False:
            break
    if flag == True:
        print(a)

Ответ: 13

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#29688

Для какого наибольшего целого неотрицательного числа $A$ выражение

$-------- (3x + 9y ≥ A) ∨(x > 20)∨(y < 10)$

тождественно истинно при любых целых неотрицательных $x$ и $y?$

Показать ответ и решение

Система для врагов:

( |||{ 3x+ 9y < A x > 20 ||| ( y ≥ 10

Чтобы увеличить свои шансы на победу, врагам выгодно взять наименьшие x и y, то есть x = 21, y = 10.

Друзья хотят, чтобы $3x+ 9y ≥ A$ , то есть $3 ∗21 +9 ∗10 ≥ A$ . Тогда $A ≤ 153$ .

Наибольшее значение A = 153.

Решение 2. Прогой

def f(x, y, A):
    return (3*x+9*y >= A) or (not(x > 20)) or (y < 10)

ans = 0
for A in range(1, 300):
    flag = True
    for x in range(1, 200):
        for y in range(1, 200):
            if not f(x, y, A):
                flag = False
                break
        if not flag:
            break
    if flag:
        ans = A
print(ans)

Ответ: 153

Предыдущий раздел

Следующий раздел