Для того, чтобы уравнение имело единственный корень, нужно выполнение одной из следующий ситуаций:

1) числитель имеет один корень и он не совпадает с корнем знаменателя;

2) числитель имеет два корня и ровно один из них совпадает с корнем знаменателя.

Рассмотрим первую ситуацию. Тогда откуда При корень числителя при корень числителя Значит, подходят оба значения параметра.

Рассмотрим вторую ситуацию. Для того, чтобы понять, когда числитель и знаменатель имеют общие корни, решим систему из двух уравнений:

Отсюда, подставляя второе уравнение в первое, получаем

Следовательно, при найденном у числителя и знаменателя есть общий корень При этом у числителя два корня, поскольку

Сделаем замену , тогда уравнение примет вид

Тогда уравнение равносильно

Данное уравнение имеет единственное решение, если правая часть равна нулю, то есть

Уравнение равносильно совокупности:

Неравенство равносильно . Следовательно, если , то уравнение имеет два решения и . Если , то уравнение имеет одно решение .

Выпишем ограничения на параметр Тогда данное уравнение равносильно

Это уравнение имеет два различных корня, если

Отсюда, пересекая с ограничениями на получаем

Поскольку неравенство выполняется при всех то уравнение равносильно системе

Система имеет два различных корня, если квадратное уравнение имеет два различных корня и выполнены первые два условия. Тогда дискриминант квадратного уравнения должен быть положителен:

Учитывая первые два неравенства системы, получаем

Преобразуем данное неравенство к виду:

Число является решением неравенства при любом значении параметра , так как в этом случае неравенство равносильно

Значит, необходимо найти те значения при которых число не будет являться решением неравенства. Это возможно только в том случае, если при не выполнено ОДЗ логарифма.

При неравенство равносильно

Следовательно, если логарифм определен (то есть его аргумент положителен), то неравенство будет равносильно что верно. Значит необходимо, чтобы при логарифм не был определен:

Запишем ограничения, определяющие ОДЗ:

Решим задачу переходом на плоскость параметра методом Для этого выразим из уравнения значение

Разделим уравнение на и вынесем общий множитель за скобку. В знаменателе применим формулу разности квадратов:

Рассмотрим первый случай В этом случае исходное уравнение превращается в

Данное уравнение является тождеством на ОДЗ, то есть у него есть корни, к примеру, следовательно, является частью ответа.

Рассмотрим второй случай для всех остальных допустимых значений параметра. Проверим, выполняются ли ограничения на ОДЗ.

Данная система верна для всех следовательно, нас устраивают все

а) Будем располагать отрезок относительно отрезка А точнее, рассмотрим все варианты расположения точки относительно этого отрезка и для каждого положения определим, где может находиться точка чтобы в пересечении отрезков и получался также отрезок.

Заметим, что существует 5 различных мест, где можно расположить точку относительно отрезка

I: левее точки

II: в точке

III: между точками и

IV: в точке

V: правее точки

I,II.

Тогда в пересечении получается либо пустое множество, либо одна точка, следовательно, эти случаи нам не подходят.

III,IV.

Тогда, вне зависимости от того, где находится точка в пересечении мы имеем отрезок, следовательно, этот случай нам подходит.

Значит,

V.

Тогда точка может располагаться в I, II, III местах, чтобы в пересечении мы имели отрезок.

или

Значит,

Итоговый ответ:

б) Будем поступать аналогичным образом.

I.

Тогда в пересечении получается пустое множество, потому что точка в любом случае располагается левее точки

II.

Тогда в любом случае в пересечении мы получаем одну точку — как раз точку Следовательно, нам подходит

III,IV.

Из пункта а) следует, что в этом случае мы получаем отрезок, следовательно, этот случай нам не подходит.

V.

В этом случае получится одна точка, если точка будет совпадать с точкой

Заметим, что если мы задаем условие на левую точку , то на правую точку не имеет смысла его задавать, так как она точно правее левой точки. Значит, .

Итоговые

в) Пустое множество получается при пересечении двух отрезков, если они не пересекаются, то есть один из отрезков находится целиком либо правее, либо левее другого.

Следовательно, либо точка находится левее точки либо точка находится правее точки

 

Пункт в) можно было решить по-другому. При пересечении двух отрезков может получиться либо пустое множество, либо одна точка, либо отрезок. Так как мы нашли значения параметра, при которых получается точка или отрезок, то при всех остальных значениях параметра мы получим пустое множество. Следовательно, нужно взять дополнение к объединению множеств и

Выпишем ограничения на основания логарифмов:

При выполнении этих ограничений уравнение равносильно

Получили квадратное уравнение относительно которое имеет два корня, если его дискриминант положительный:

Учтем ограничения на и получим окончальные значения параметра:

Уравнение вида равносильно системе

Следовательно, преобразуем таким образом наше уравнение:

Определим, в каких случаях уравнения (1) и (2) могут иметь общие решения. Пусть — общий корень этих уравнений. Пусть Тогда при подстановке в эти уравнения получаем откуда следует, что

Так как уравнения (1) и (2) квадратные, то совокупность из них может иметь не более четырех решений. При этом четыре решения она имеет тогда и только тогда, когда уравнения (1) и (2) не имеют общих корней и каждое из уравнений (1) и (2) имеет по два корня, удовлетворяющих всем условиям.

Пусть — общий корень уравнений (1) и (2). Тогда в нашем случае откуда Следовательно, не должен являться корнем уравнений (1) и (2). Учтем это условие, заменив на

Уравнения (1.1) и (2.1) имеют по два корня, если правые части положительны:

Решения уравнения (1.1) — это

Решения уравнения (2.1) — это

Они должны удовлетворять условию Следовательно, система имеет четыре различных решения при условии выполнения если меньший из корней каждого уравнения больше

Из последней системы получаем

Пересечем решения этого неравенства с решениями системы и получим окончательно

Поступим с данными уравнениями аналогично задаче 38375.

Получаем совокупность из двух равенств , . Общие корни этих уравнений и те значения параметра , при которых они получаются, находятся, если решить систему из этих двух уравнений. Решая ее, получаем, что при общий корень , при общий корень . То есть при этих значениях параметра уравнения имеют один общий корень, следовательно, суммарно совокупность имеет три различных решения. При остальных из отрезка каждое уравнение имеет два корня и суммарно корней четыре.

По два корня каждый из множителей имеет при , причем при эти множители имеют два общих корня . Следовательно, нам не подходит, так как тогда исходное уравнение имеет два решения.

Полученные два множителя имеют по два корня при , причем при имеют общий корень , а при имеют общий корень . То есть при данных двух значениях они имеют суммарно три различных корня, при остальных из отрезка имеют суммарно четыре различных корня.

Многочлен четвертой степени разложим в произведение двух многочленов второй степени. Поэтому методом группировки попробуем разложить данный многочлен:

Таким образом, данное уравнение равносильно совокупности

Исходное уравнение имеет не менее трех корней, если: одно из полученных имеет один корень, второе – два, причем все три различны; оба имеют по два корня, причем максимум один корень одного уравнения может совпадать с корнем другого уравнения.

Значит, во-первых, , . Отсюда . Заметим, что при совокупность имеет три различных корня. При совокупность имеет четыре корня (быть может, есть совпадающие).

Найдем , при которых имеются совпадающие корни. Тогда система из полученных двух уравнений имеет решения:

Решая эту систему как систему с двумя уравнениями и двумя неизвестными, получаем равенство

При получаем , при получаем . То есть при найденных система имеет одно решение, следовательно, полученные два уравнения имеют по два корня, ровно одна пара из которых совпадает (то есть суммарно три различных корня). Эта ситуация нам подходит. Следовательно, нам подходят все .

Данное уравнение является уравнением линейного типа. Рассмотрим коэффициент перед :

Рассмотрим свободный член:

Тогда уравнение примет вид

1.

Пусть . Тогда уравнение примет вид , решением которого являются , среди которых есть неотрицательные числа.

2.

Пусть . Тогда левая часть уравнения , а правая не равна , следовательно, уравнение не имеет решений.

3.

При решением уравнения будет единственный

Этот корень будет неотрицательный, если

1.

Перепишем уравнение в виде

Отсюда видно, что число является корнем уравнения при любых . Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

Квадратичная скобка имеет дискриминант, равный . Следовательно:

если , то , откуда второй корень уравнения равен (первый – это );

если , то и тогда других корней, кроме , уравнение не имеет.

2.

При , имееем .

Если многочлен имеет корни , то его можно разложить в произведение двух множителей: и кубический многочлен. Так как кубический многочлен всегда имеет как минимум один действительный корень, то у исходного многочлена кратность одного из корней или равна как минимум . Следовательно, он делится либо на , либо на , причем в частном мы получим квадратичный многочлен :

У квадратичного трехчлена либо может не быть корней, либо может быть единственный корень , либо два различных корня и . Следовательно, для коэффициентов и должно выполняться следующее:

Раскрывая скобки в двух уравнениях и приравнивая соответствующие коэффициенты у полученных уравнений и исходного уравнения, получим

для :
Этот случай нам подходит, так как мы получаем ситуацию .

для :
Этот случай нам не подходит, так как при нем , но , .

Если кубический многочлен имеет 3 корня, то его можно представить в виде произведения трех линейных скобок (причем, если старший коэффициент равен , то коэффициенты перед во множителях также будут равны ):

Так как один из корней равен , то, к примеру, , следовательно, уравнение можно переписать в виде

Сопоставив коэффициенты, можно получить следующую систему:

Так же учтем, что у квадратичного трехчлена должно быть два различных корня, то есть его дискриминант положителен, а также то, что ни один из этих корней не равен :

Решая эту систему, получаем, что

Наибольшее целое , при котором также получаем целое .

Уравнение может быть линейным при и квадратичным при .

1. Пусть . Тогда уравнение принимает вид

Этот корень по модулю меньше 1. Это нам подходит.

2. .

Видим, что скорее всего нам не удастся найти нули дискриминанта обычным способом.

Сделаем замену , . Тогда уравнение и дискриминант принимают вид

Следовательно, корни уравнения равны

Так как корни должны быть по модулю меньше 1, то

Следовательно, или

Данное уравнение относительно переменной является линейным. Приедем его к виду . Тогда

Линейное уравнение вида имеет бесконечно много корней, если коэффициенты и равны нулю. Следовательно,

Из первого уравнения . Во второе подходит лишь .

Пусть – различные корни уравнения (1); – различные корни уравнения (2). Заметим, что полностью корни этих уравнений совпадать не могут, так как в таком случае в левых частях бы стояли одинаковые многочлены, то есть и .

Если множества решений этих уравнений различны, то упорядоченные по возрастанию/убыванию корни должны образовывать следующую последовательность: .

Если уравнения имеют общий корень, то упорядоченные по возрастанию/убыванию они должны образовывать следующую последовательность: . То есть либо больший корень уравнения (1) совпадает с большим корнем уравнения (2), либо меньший с меньшим.

Рассмотрим случай, когда . Тогда система из этих уравнений должна иметь решение.

Тогда другой корень уравнения (1) , другой корень уравнения (2) . Таким образом, . Все хорошо.

Пусть , то есть имеем последовательность то есть нет общих корней. Рассмотрим функции и . Если корень одного уравнения лежит между корнями другого, то значение одной функции в корне другой будет отрицательным (то есть и ) и параболы будут пересекаться, причем их точка пересечения будет находиться между и , то есть значение функций в этой точке будет отрицательным. Заметим, что это условие также будет гарантировать положительность дискриминантов, так как у каждой функции найдена точка, значение в которой отрицательно, а ветви парабол направлены вверх.

Абсциссу общей точки мы нашли выше – это . Необходимо:

Выделим полный квадрат:

Рассмотрим два случая.

1.

При оба полученных уравнения являются линейными:

Следовательно, нам подходит.

2.

При оба полученных уравнения квадратные, причем при все их коэффициенты совпадают, а при только свободные коэффициенты отличаются.

2.1.

Если , то получаем два одинаковых квадратных уравнения, то есть по сути одно:

Значит, нам подходит.

2.2.

Если , то получаем два квадратных уравнения, у которых один коэффициент из трех совпадает. Следовательно, эти уравнения не могут иметь общих корней, значит, чтобы суммарно было два корня, нужно: оба уравнения имеют по одному корню; одно уравнение имеет два корня, а второе не имеет корней.

(i)

Оба уравнения имеют по одному корню, следовательно, их дискриминанты равны нулю одновременно:

(ii)

Одно уравнение имеет два корня, а другое не имеет корней:

Удовлетворяет условию .

Итого ответ .