Алгебра. Метод хорошего/плохого корня —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Алгебра. Метод хорошего/плохого корня

Тема 18. Задачи с параметром

18.09 Алгебра. Метод хорошего/плохого корня

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#38374

Найдите $a$ , при которых уравнение

∘x2-−-a2-= ∘3x2−-(3a+-1)x-+-a

имеет ровно один корень на отрезке $[0;1].$

Показать ответ и решение

Уравнение вида $√A-= √B-$ равносильно системе из $A = B$ и $A≥ 0.$ Таким образом, при $|x|≥ |a|,$ то есть на ОДЗ, получаем

(x − a)(x+ a)= (x − a)(3x− 1) ⇔ (x − a)(2x− 1− a)= 0

Получаем два предполагаемых решения $x1 = a,$ $a+ 1 x2 = -2--.$

Назовем число хорошим, если оно удовлетворяет двум требованиям: принадлежит ОДЗ и лежит в отрезке $[0;1].$ В противном случае, то есть когда не удовлетворяет хотя бы одному из этих условий, будем считать число плохим.

Таким образом, нам подходят ситуации, когда числа $x1 ⁄= x2$ и среди них ровно одно хорошее или когда $x1 = x2$ — хорошее.

1): $x1$ — хорошее, если $a∈ [0;1].$
2): $x2$ — хорошее, если $|a+ 1|≥2|a|$ и $a∈ [−1;1].$ Решим первое неравенство: $[ ] a2+ 2a+ 1≥ 4a2 ⇔ 3a2− 2a− 1≤ 0 ⇔ a∈ − 1;1 3$
Пересекая с $a∈ [− 1;1],$ получаем $[ 1 ] a ∈ − 3;1 .$

Получаем три подходящие нам ситуации:

«хорошее+плохое»:
$( {a ∈[0;1] ( [ 1 ] ⇔ a ∈∅ a ∕∈ − 3;1$
«плохое+хорошее»:
$({ a ∕∈ [0;1] [ ) [ ] ⇔ a∈ − 1;0 ( a∈ − 13;1 3$
«хорошее+хорошее» и $x1 = x2.$ Совпадают они при $a= 1,$ при котором как раз они являются хорошими.

Ответ:

$[ ) a ∈ − 1;0 ∪ {1} 3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#2773

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

√ ----- √----- x− a⋅sin x= x − a⋅cosx

имеет ровно один корень на отрезке $[0;π].$

Показать ответ и решение

Исходное уравнение имеет один корень на отрезке $[0;π],$ если имеет единственное решение система

$pict$

Назовем решение системы из неравенств $x≥ a$ и $0≤ x ≤ π$ «ОДЗ».

Заметим, что из серии предполагаемых корней $x2$ в отрезок $[0;π ]$ попадает только предполагаемый корень $x2 = π. 4$ Следовательно, найдем, при каких значениях $a$ будет иметь одно решение система

([ ||||{ x1 = aπ x2 = 4 ||||x ≥a (0 ≤x ≤ π

Назовем число хорошим, если оно удовлетворяет «ОДЗ», в противном случае будем называть число плохим. Нам необходимо, чтобы ровно одно из чисел $x1,$ $x2$ было хорошим.

Тогда имеем:

$x 1$ — хорошее, если $0 ≤ a≤ π;$

$x2$ — хорошее, если $a ≤ π. 4$

Таким образом:

1.: $x1$ — хорошее, $x2$ — плохое, если ${ 0≤ aπ ≤π ⇔ π-< a≤ π a> 4 4$
2.: $x1$ — плохое, $x2$ — хорошее, если $( [ |{ a< 0 | a> π ⇔ a< 0 ( a≤ π4$
3.: $x = x , 1 2$ если $a = π, 4$ и тогда исходное уравнение имеет ровно один корень.

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке $[0;π]$ при

[ ] a∈ (−∞; 0)∪ π-;π 4

Ответ:

$a ∈(−∞; 0)∪[ π;π] 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

С помощью верного рассуждения получено множество значений $a,$ отличаюшееся от искомого только включением/исключением точек $a =0,$ $a = π 4$ и/или $a= π$	3

В решении верно найдены корни $x= a$ при $a∈ ℝ$ и $x= π4 +πn$ при $π a ≤ 4 + πn,$ $n∈ ℤ,$ возможно, с учётом принадлежности корней указанному отрезку: $x =a$ при $0≤ a≤ π,$ $x = π4$ при $a≤ π4$	2
ИЛИ
верно пройдены все этапы решения, но неверно найдены граничные точки множества значений $a$ из-за вычислительной ошибки

В решении верно найден один из корней $x =a$ при $a∈ℝ$ или $π x= 4 +πn$ при $π a ≤ 4 + πn,$ $n∈ ℤ,$ возможно, с учётом принадлежности корней указанному отрезку: $x =a$ при $0≤ x≤ π,$ $x = π4$ при $a≤ π4$	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#2573

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

(3x− 1)⋅ln(3x+ a)= (3x− 1)⋅ln(4x− a)

имеет один корень на отрезке $[0;1].$

Источник: ЕГЭ 2017

Показать ответ и решение

Уравнение можно переписать в виде

(3x − 1)⋅(ln(3x +a)− ln(4x − a))= 0 (| [ln(3x +a)= ln(4x − a) ||{ | 3x− 1= 0 ||( 3x+ a> 0 4x− a> 0

Из первого уравнения совокупности находим предполагаемый корень $x = 2a. 1$ Из второго уравнения находим предполагаемый корень $1 x2 = 3.$

Назовем число хорошим, если оно удовлетворяет условиям, записанным с ним в системе, а также лежит в отрезке $[0;1].$

Число $x1$ — хорошее, если удовлетворяет условиям $3x+ a >0$ и $4x − a> 0,$ а также условию $0 ≤2a ≤ 1.$ Следовательно, при $0 <a ≤ 0,5$ число $x 1$ — хорошее.

Число $x2$ — хорошее, если удовлетворяет условиям $3x+ a > 0$ и $4x− a> 0.$ Заметим, что $1 x2 = 3$ уже лежит на отрезке $[0;1].$ Следовательно, при $− 1< a< 4 3$ число $x2$ — хорошее.

Нам нужно, чтобы ровно одно из чисел $x1,$ $x2$ было хорошим. То есть если $x1$ — хорошее, то $x2$ — плохое, и наоборот. Либо когда $x1$ и $x2$ совпадают и являются хорошими.

Тогда $x 1$ — хорошее при $0< a≤ 0,5,$ $x 2$ — плохое при $a≤ −1$ или $a ≥ 4. 3$ Тогда имеем:

( {0 < a≤ 0,5 (a ∈(−∞; −1]∪ [4;+ ∞) 3 a ∈ ∅

Если $x2$ — хорошее, а $x1$ — плохое, то

({ a∈ (− ∞;0]∪ (0,5;+ ∞) ( −1< a < 43 ( ) a∈ (− 1;0]∪ 0,5; 4 3

Совпадают числа $x1$ и $x2$ при $a= 1, 6$ и оба в этом случае являются хорошими.

Таким образом, исходное уравнение имеет один корень на отрезке $[0;1]$ при

{ } ( ) a ∈(−1;0]∪ 1 ∪ 0,5; 4 6 3

Ответ:

${ 1} ( 4) a ∈(−1;0]∪ 6 ∪ 0,5;3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

С помощью верного рассуждения получено множество значений $a,$ отличающееся от искомого только включением точки	3

В решении верно найдены корни	2
ИЛИ
верно пройдены все этапы решения, но неверно найдены граничные точки множества значений $a$ из-за вычислительной ошибки

В решении верно найден один из корней	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#2449

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

√ ----- 2 2 √----- 1− 4x⋅ln(9x − a )= 1 − 4x ⋅ln(3x+ a)

имеет ровно один корень.

Показать ответ и решение

Данное уравнение можно переписать в виде системы

(| √----- (3x− a)(3x +a) { 1− 4x⋅ln----3x+-a---- =0 |( 3x + a> 0 ({ √1−-4x⋅ln(3x − a) =0 ( 3x + a> 0

Назовем число хорошим, если оно удовлетворяет ОДЗ. В противном случае назовем число плохим. Хорошими являются следующие числа.

1) $x1 = 1 , 4$ если оно удовлетворяет условиям $3x+ a> 0$ и $3x− a >0 :$

( || 3+ a> 0 { 4 ⇔ − 3 <a < 3 ||( 3− a> 0 4 4 4

2) $a-+-1 x2 = 3 ,$ если оно удовлетворяет условиям $3x+ a> 0$ и $1 − 4x ≥0 :$

(| { a+ 1+ a> 0 1 1 |( 1− 4a− 4 ≥ 0 ⇔ − 2 < a≤ − 4 3 3

Рассмотрим случаи, когда ровно одно из чисел $x1,$ $x2$ хорошее. Это будет означать, что исходное уравнение имеет единственное решение.

Пусть $x1 ⁄=x2,$ то есть $a⁄= − 1. 4$

1. Пусть $x1 = 14$ — хорошее.

Тогда число $x1$ хорошее, если

− 3 < a< 3 4 4

Число $x2$ плохое, если

( ] ( ) a∈ − ∞;− 1 ∪ − 1;+∞ 2 4

Пересекая эти значения, а также учитывая, что $1 a⁄= − 4,$ получаем

( 3 1] ( 1 3) a∈ − 4;− 2 ∪ −4 ;4

2. Пусть $x2 = a+-1 3$ — хорошее.

Тогда число $x1$ плохое, если

( ] [ ) a∈ − ∞;− 3 ∪ 3;+∞ 4 4

Число $x 2$ хорошее, если

1 1 − 2 < a≤ − 4

Пересекая эти значения, а также учитывая, что $1 a⁄= − 4,$ получаем

a ∈∅

Пусть $x1 =x2,$ то есть $1 a= − 4.$

Заметим, что при этом значении параметра числа $x1$ и $x2$ являются хорошими совпадающими, следовательно, это значение параметра нам подходит.

Тогда исходное уравнение имеет ровно один корень при

( ] [ ) a ∈ − 3;− 1 ∪ − 1; 3 4 2 4 4

Ответ:

$( 3 1] [ 1 3) a ∈ −4;− 2 ∪ −4;4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

С помощью верного рассуждения получено множество значений $a,$ отличаюшееся от искомого конечным числом точек	3

С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений $a$	2

Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений $a$	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#2430

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

√ ----- 2 2 5x− 3⋅ln(x − 6x+ 10− a )= 0

имеет ровно один корень на отрезке $[0;3].$

Источник: ЕГЭ 2017, основная волна

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ уравнения:

({ 5x− 3≥ 0 (1) ( x2− 6x+ 10− a2 > 0 (2)

Предполагаемые корни уравнения найдем из совокупности

⌊ ⌊ ⌊ 3 x1 = 3 5x− 3= 0 |x1 = 5 || 5 ⌈ 2 2 ⇒ |⌈ ⇒ ||| x − 6x+ 10− a = 1 (x− 3)2 = a2 ⌈x2 = 3 +a x3 = 3 − a

Заметим, что число $x1$ удовлетворяет $(1),$ числа $x2$ и $x3$ удовлетворяют $(2).$ Также заметим, что число $x1$ принадлежит отрезку $[0;3].$

Назовем число хорошим, если оно лежит в отрезке $[0;3]$ и удовлетворяет ОДЗ. В противном случае число будем называть плохим. Нам подходит ситуация, когда среди найденных чисел $x1,$ $x2$ и $x3$ ровно одно хорошее, а остальные плохие.

$x1$ — хорошее, если оно удовлетворяет (2), следовательно,

-9− 18 + 10 − a2 > 0 ⇔ − 13 < a< 13 25 5 5 5

$x2$ — хорошее, если

( { 0≤ 3+ a ≤3 ⇔ − 12 ≤ a≤ 0 ( 5(3+ a) − 3 ≥ 0 5

$x3$ — хорошее, если

( { 0≤ 3− a≤ 3 12 ( ⇔ 0 ≤ a≤ 5- 5(3− a)− 3≥ 0

Разберем следующие случаи.

1.

$x1$ — хорошее, $x2,x3$ — плохое.

Нужно пересечь множества

( 13 13 ) ( 12 ) (12 ) − 5-;5- , −∞; − 5- ∪ (0;+∞ ), (− ∞;0)∪ -5 ;+∞

Получим

( ) ( ) a∈ − 13;− 12 ∪ 12; 13 5 5 5 5

2.

$x1,x3$ — плохое, $x2$ — хорошее.

Нужно пересечь множества

( ] [ ) [ ] ( ) −∞; − 13 ∪ 13-;+ ∞ , − 12;0 , (− ∞;0)∪ 12;+∞ 5 5 5 5

Получим $a∈ ∅.$

3.

$x1,x2$ — плохое, $x3$ — хорошее.

Нужно пересечь множества

( ] [ ) ( ) [ ] −∞; − 13 ∪ 13;+ ∞ , −∞; − 12- ∪ (0;+∞ ), 0; 12 5 5 5 5

Получим $a∈ ∅.$

4.

$x1 = x2,$ следовательно, $12 a = −-5 .$ Тогда $x1 = x2$ хорошее, $x3$ плохое, значит, $12 a= − 5-$ подходит.

5.

$x1 = x3,$ следовательно, $12 a = 5-.$ Тогда $x1 = x3$ хорошее, $x2$ плохое, значит, $12 a = 5-$ подходит.

6.

$x2 = x3,$ следовательно, $a = 0.$ Тогда все числа $x1,$ $x2,$ $x3$ хорошие, значит, $a = 0$ не подходит.

Объединяя случаи, получаем окончательно

( 13 12-] [ 12- 13-) a ∈ − 5 ;− 5 ∪ 5 ;5

Ответ:

$( 13 12-] [ 12 13) a ∈ − 5 ;− 5 ∪ 5 ;5$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

С помощью верного рассуждения получено множество значений $a,$ отличающееся включением/исключением точек $a= − 12 5$ и/или $a= 12 5$	3

В решении верно найдены все граничные точки $a= − 153,$ $a= − 125 ,$ $a = 125 ,$ $a = 135 ,$ но неверно определены промежутки	2
ИЛИ
Верно найден хоть один из промежутков $( 13- 12] − 5 ;− 5$ или $[12 13) 5 ;5 ,$ возможно, с исключением граничных точек

В решении верно найден один из корней	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#1122

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

√ ----- √ ----- 5x− 3⋅ln(3x− a)= 5x − 3⋅ln(4x+ a)

имеет ровно один корень на отрезке $[0;1].$

Источник: ЕГЭ 2017, основная волна

Показать ответ и решение

Уравнение можно переписать в виде

√----- 5x − 3 ⋅(ln(3x − a)− ln(4x +a))= 0

Назовем число хорошим, если оно лежит на отрезке $[0;1]$ и удовлетворяет ОДЗ. В противном случае будем называть его плохим.

1) $x1 = 3, 5$ уже лежащее в $[0;1],$ хорошее, если оно удовлетворяет условиям $3x− a> 0$ и $4x +a > 0$ :

( 9 |{ 5 − a> 0 ( 12 9) | 12 ⇔ a ∈ −-5 ;5 ( 5-+ a> 0

2) $3x− a =4x +a,$ откуда $x2 = −2a,$ хорошее, если оно удовлетворяет условиям $5x − 3 ≥ 0,$ $3x− a> 0$ и $0 ≤x ≤ 1:$

( |{− 10a − 3≥ 0 [ ] − 6a− a> 0 ⇔ a∈ − 1;− 3- |(0 ≤ −2a≤ 1 2 10

I. Пусть $x1$ хорошее. Следовательно, нужно пересечь значения $( ) a∈ − 125 ; 95 ,$ когда $x1$ хорошее, со значениями $( ) ( ) a ∈ − ∞;− 12 ∪ − 310;+ ∞ ,$ когда $x2$ плохое. Получим

( 12 1) ( 3- 9) a ∈ − 5 ;− 2 ∪ − 10;5

II. Пусть $x2$ хорошее. Тогда нужно пересечь значения $a ∈[− 12;− 310],$ когда $x2$ хорошее, cо значениями $a ∈(− ∞;− 125 ]∪ [95;+∞ ),$ когда $x1$ плохое. Получим

a∈ ∅

III. Заметим, что если $x1 = x2,$ то есть $a= − 3, 10$ то исходное уравнение имеет один корень, лежащий в $[0;1].$ Следовательно, $a = − 310$ нам подходит.

Получаем окончательный ответ

( 12 1) [ 3 9) a∈ − 5-;− 2 ∪ − 10;5

Ответ:

$( 12 1) [ -3 9) a ∈ − 5 ;− 2 ∪ −10; 5$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

С помощью верного рассуждения получено множество значений $a,$ отличающееся от искомого конечным числом точек.	3

С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений $a$	2

Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений $a$	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#1111

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

∘ -------------- ln(3x− 1)⋅ x2− 8x+ 8a− a2 = 0

имеет ровно один корень на отрезке $[0;4].$

Показать ответ и решение

Уравнение имеет на отрезке $[0;4]$ одно решение, если имеет единственное решение совокупность

⌊({ 2 ⌊ ( | x1 = 3 | |||ln(3x − 1) =0 |||( x2− 8x+ 8a− a2 ≥ 0 || { ||(| || |||0 ≤x ≤ 4 ||||{ x2 = 8− a || (x2− 8x+ 8a− a2 ≥ 0 ||| 0≤ x≤ 4 || (||x2− 8x+ 8a− a2 = 0 ⇔ ||||( 3x− 1> 0 ||| |{ |||( |⌈ ||0 ≤x ≤ 4 |||||{ x3 = a |(3x − 1 > 0 || 0≤ x≤ 4 ⌈|||( 3x− 1> 0

Назовем число хорошим, если оно удовлетворяет всем условиям, записанным с ним в системе. В противном случае будем называть число плохим. Следовательно, необходимо, чтобы среди чисел $x1,$ $x2,$ $x3$ было ровно одно хорошее.

Найдем значения параметра, при которых каждое из чисел $x1,$ $x2,$ $x3$ хорошее. Тогда противоположные значения $a$ будут говорить нам о том, когда каждое из них является плохим.

4 16- 2 2 22 x1 хор.:9 − 3 + 8a− a ≥ 0 ⇔ 3 ≤ a≤ 3 ( { 0≤ 8− a≤ 4 23 x2 хор.:( 3(8 − a)− 1> 0 ⇔ 4 ≤ a< 3 ({ x3 хор.: 0≤ a≤ 4 ⇔ 1 < a≤ 4 ( 3a− 1> 0 3

Тогда нам подходят следующие комбинации чисел, записанных в порядке $x1,$ $x2,$ $x3.$

1.

Хор., пл., пл.

$PICT$

Таким образом,

a ∈∅

2.

Пл., хор., пл.

$PICT$

Таким образом,

( ) a∈ 22; 23 3 3

3.

Пл., пл., хор.

$PICT$

Таким образом,

( 1 2) a∈ 3;3

4.

Какие-то из чисел $x1,$ $x2,$ $x3$ совпадают:

x1 = x2 ⇒ a= 22 ⇒ x1 = x2 хор., x3 пл. 3 x1 = x3 ⇒ a= 2 ⇒ x1 = x3 хор., x2 пл. 3 x3 = x2 ⇒ a= 4 ⇒ x3 =x2 хор., x1 хор.

Следовательно, также подходят

2 22 a= 3; 3

Тогда исходное уравнение имеет ровно один корень на указанном отрезке при

( ] [ ) a ∈ 1; 2 ∪ 22; 23 3 3 3 3

Ответ:

$( 1 2] [22 23) a ∈ 3;3 ∪ 3 ; 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

С помощью верного рассуждения получено множество значений $a,$ отличаюшееся от искомого только вкючением точки	3

В решении верно найдены корни	2
ИЛИ
верно пройдены все этапы решения, но неверно найдены граничные точки множества значений $a$ из-за вычислительной ошибки

В решении верно найден один из корней	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#83762

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

|a(3x+ 1)− 3x2− x|=|x− a|∘6x2−-(3a−-2)x-− a

имеет ровно два решения на отрезке $[−2;0].$

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно

------------- |x− a|⋅|3x +1|= |x− a|⋅∘ (3x+ 1)(2x− a) (⌊ |||{⌈ |x − a|= 0 |3x +1|= ∘ (3x-+-1)(2x−-a) |||( (3x+ 1)(2x − a)≥ 0 (|⌊ x= x = a ||||||| 1 1 {|⌈ x= x2 = − 3 || x= x3 = − a− 1 ||||( (3x+ 1)(2x − a)≥ 0

Назовем неравенство в системе ОДЗ. Заметим, что $x2 ∈ [− 2;0]$ и принадлежит ОДЗ, следовательно, при любом $a$ является решением исходного уравнения на отрезке $[− 2;0].$

Назовем число хорошим, если оно лежит в отрезке $[− 2;0]$ и удовлетворяет ОДЗ. В противном случае назовем число плохим. Следовательно, исходное уравнение имеет два корня на отрезке $[− 2;0]$ в одном из следующих случаев:

1) $x1$ — хороший, $x3$ — плохой;

2) $x1$ — плохой, $x3$ — хороший;

3) $x = x 1 3$ — хороший;

4) $x1 = x2,$ $x3$ — хороший;

5) $x3 = x2,$ $x1$ — хороший.

Найдем $a,$ при которых $x1$ — хороший:

({ [ ] −2 ≤ a≤ 0 ⇔ a∈ −2;− 1 ∪{0} ( (3a+ 1)a ≥0 3

Тогда $x1$ — плохой при

( ) a ∈(−∞; −2)∪ − 1;0 ∪ (0;+ ∞) 3

$x3$ — хороший при

({ −2≤ − a− 1≤ 0 ⇔ a ∈[−1;1] ( (− 3a− 2)(−3a− 2)≥ 0

$x3$ — плохой при

a∈ (−∞;− 1)∪(1;+∞ )

Теперь разберем каждый из пяти случаев.

1) Пересечем $a,$ при которых $x1$ — хороший, $x3$ — плохой:

a ∈[−2;−1)

2) Пересечем $a,$ при которых $x1$ — плохой, $x3$ — хороший:

( ) 1 a ∈ −3;0 ∪(0;1]

3) $x1 = x3$ при $1 a =− 2.$ При этом $a$ $x1,x2,x3$ хорошие. Следовательно, это значение параметрам нам подходит.

4) $x1 = x2$ при $a =− 1. 3$ При этом $a$ $x1,x2,x3$ хорошие. Следовательно, это значение параметрам нам подходит.

5) $x3 = x2$ при $2 a =− 3.$ При этом $a$ $x1,x2,x3$ хорошие. Следовательно, это значение параметрам нам подходит.

Следовательно, ответ

{ 2 1} [ 1 ) a∈ [− 2;− 1)∪ −3;− 2 ∪ − 3;0 ∪ (0;1]

Ответ:

${ } [ ) a ∈[−2;−1)∪ − 2;− 1 ∪ − 1;0 ∪(0;1] 3 2 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#38372

Найдите $a$ , при которых уравнение

(x2− (a+ 1)x +3(a− 2))log (2a− x − 1)= 0 a−x

имеет хотя бы один корень на отрезке $[−1;2]$ , а вне этого отрезка корней не имеет.

Показать ответ и решение

Введем обозначения $A,$ $B$ для множеств:

( ||x < 2a− 1 |{ A :||x < a B :[−1;2] |(x ⁄= a− 1

Нули каждого из множителей (квадратичный и логарифм), если они принадлежат множеству $A,$ являются корнями исходного уравнения:

⌊x1 = a − 2 || |⌈x2 = 3 x3 = 2a− 2

Заметим, что $x2∈∕B,$ следовательно, для выполнения условия задачи от этого предполагаемого корня требуем $x ∕∈ A 2$ (используя дальнейшую терминологию, этот предполагаемый корень — не-А).

Далее поговорим о числах $x1,$ $x3.$ Для любого числа может быть выполнено одно из четырех условий:

∈ A,∈ B − хорош ий ∈∕A,∈ B − не- А ∈∕A,∈∕B − не- А ∈ A,∈∕B − плохой

Тогда по условию задачи среди чисел $x1,x3$ не должно быть плохих и должно быть как минимум одно хорошее.

$x1$ — хорошее, если
$( ||| a− 2< 2a− 1 |||{ a− 2< a ⇔ a∈ [1;4] |||| a− 2⁄= a− 1 ||( −1≤ a − 2 ≤ 2$
$x3$ — хорошее, если
$(| ||||2a − 2 < 2a− 1 |{2a − 2 < a [ 1 ) ||2a − 2 ⁄= a− 1 ⇔ a ∈ 2;1 ∪ (1;2) ||||( − 1≤ 2a− 2≤ 2$
$x2$ — не-А (то есть $x2 ∕∈A$ ) при
$a ∈(−∞; 3]∪{4}$
$x1$ — не-А (то есть $x1 ∕∈A$ ) при
$a∈ (−∞; −1]$
$x3$ — не-А (то есть $x3 ∕∈A$ ) при
$a ∈{1}∪ [2;+ ∞)$

При условии $x2$ – не-А нам подходят для пары $(x1;x3)$ комбинации (хор; не-А), (не-А; хор), (хор; хор), что выполняется при всех

a∈ [1;3]∪{4}

Ответ:

$1 ≤a ≤ 3;a = 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#38364

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

|sin2x+ 2cosx+ a|= sin2x+ cosx− a

имеет на промежутке $( π- ] 2;π$ единственный корень.

Показать ответ и решение

Равенство вида $|A|= B$ равносильно $A =±B, B ≥ 0.$ Тогда имеем:

( { sin2x+ 2cosx+ a= ± (sin2 x+ cosx − a) ( 2 sin x+ cosx− a≥ 0 ( { cos2x− 2cosx− 1− a =± (cos2x− cosx− 1+ a) ( cos2x− cosx− 1+ a≤ 0 [ (|| t+2a = 0 |||{ 2t2− 3t− 2= 0 2 |||| t− t− 1+ a≤ 0 |( t= cosx ( ⌊ ||| t= −2a |||| ||| 1 |||{ |⌈t= −2 t= 2 ||||| 2 |||| t− t− 1+ a≤ 0 |( t= cosx ( ⌊ ||| t1 = −2a |||| ⌈ 1 { t2 = −2 ||| t2− t− 1+ a≤ 0 ||||( t= cosx

Если $(π ] x ∈ 2;π ,$ то $t= cosx ∈ [−1;0),$ причем каждому значению $x$ соответствует ровно одно значение $t$ и наоборот. Следовательно, среди решений системы должно быть ровно одно решение такое, что $t∈ [− 1;0).$ При этом другие решения у системы могут быть, но они не должны содержаться в этом полуинтервале.

Назовем число хорошим, если оно лежит в полуинтервале $[−1;0)$ и удовлетворяет неравенству

2 t − t− 1+ a≤ 0

В противном случае назовем число плохим. Тогда наша система должна иметь ровно одно хорошее решение. Определим, когда каждое из чисел $t1$ и $t2$ хорошее или плохое.

$∙$ $t1$ — хорошее, если

( { −1 ≤ −2a< 0 1 ( 4a2+ 2a− 1+ a≤ 0 ⇔ 0< a ≤ 4

Тогда $t 1$ — плохое при

(1 ) a∈ (−∞;0]∪ 4;+ ∞

$∙$ $t2$ — хорошее, если

1 1 1 4 + 2 − 1+ a≤ 0 ⇔ a ≤ 4

Тогда $t2$ — плохое при

1 a> 4

Нам подходят следующие варианты:

1.: $t1$ хорошее, $t2$ плохое: $( { 0< a≤ 14 ( 1 ⇔ a∈ ∅ a> 4$
2.: $t1$ плохое, $t2$ хорошее: $(| ⌊ ||{ ⌈a ≤0 | a > 14 ⇔ a ≤0 ||( a≤ 1 4$
3.: $t =t 1 2$ хорошие: $({ 1 − 2a= − 2 ⇔ a= 1 (a ≤ 14 4$

Следовательно, исходное уравнение имеет на промежутке $( ] π;π 2$ единственный корень при

{ } a∈ (− ∞;0]∪ 1 4

Ответ:

$a ∈(−∞; 0]∪{0,25}$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Не рассмотрен случай совпадения корней, из-за чего ответ может отличаться от верного невключением $1 a= 4$	3

Найдены все корни полученных уравнений и верно составлены неравенства для выполнения условия задания, но либо решение не завершено, либо решение содержит ошибку	2

Верный переход к совокупности двух уравнений с учётом ограничения на правую часть данного уравнения и с помощью верных преобразований получены два квадратных уравнения относительно новой переменной, например, $t$ и указаны её допустимые значения	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел