Тема 18. Задачи с параметром
18.10 Алгебра. Задачи, решающиеся аналитически
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи с параметром
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#38376

Найдите a  , при которых уравнение

a) x4− 4x3− 6x2 +4ax +6a − a2 =0
   4   2           2
b) x − 8x  − 9 +10a− a = 0
c) x4− 2x3 − 12x2+ 20x+ 20− 2ax+ 8a− a2 = 0

имеет не менее трех корней.

Показать ответ и решение

Поступим с данными уравнениями аналогично задаче 38375.

a)
(x4− a2)+ (−4x3+ 4ax)+ (− 6x2+ 6a) =0
(x2+ a)(x2− a)− 4(x2− a)− 6(x2 − a) =0

(x2− a)(x2+ a− 4x− 6)= 0

Получаем совокупность из двух равенств x2 = a  , (x− 2)2 = 10 − a  . Общие корни x  этих уравнений и те значения параметра a  , при которых они получаются, находятся, если решить систему из этих двух уравнений. Решая ее, получаем, что при a =9  общий корень x= 3  , при a= 1  общий корень x= −1  . То есть при этих значениях параметра уравнения имеют один общий корень, следовательно, суммарно совокупность имеет три различных решения. При остальных a  из отрезка [0;10]  каждое уравнение имеет два корня и суммарно корней четыре.

b)
 4   2   2      2
x − 9x +x  − 9 − a + 9a+ a =0
(x2− a2)+ (x2 +a)+ (−9x2− 9+ 9a)= 0
 2     2            2
(x + a)(x  − a + 1)− 9(x − a+ 1)= 0
(x2+ a − 9)(x2− a + 1) =0

По два корня каждый из множителей имеет при 1 ≤a ≤ 9  , причем при a= 5  эти множители имеют два общих корня x= ±2  . Следовательно, a= 5  нам не подходит, так как тогда исходное уравнение имеет два решения.

c)
x4− 2x3− 10x2− 2x2+ 20x +20 − 2ax +10a− 2a− a2 = 0
  2   2      3            2           2
(x − a )+(−2x  − 2ax)+ (−2x − 2a)+(− 10x + 20x+ 20+ 10a)= 0
(x2+ a)(x2− a)− 2x(x2 +a)− 2(x2+ a)− 10(x2− a− 2x− 2)= 0
(x2− a− 2x− 2)(x2+ a − 10)= 0

Полученные два множителя имеют по два корня при − 3 ≤a ≤ 10  , причем при a =1  имеют общий корень x= 3  , а при a= 6  имеют общий корень x =− 2  . То есть при данных двух значениях a  они имеют суммарно три различных корня, при остальных a  из отрезка [− 3;10]  имеют суммарно четыре различных корня.

Ответ:

a) 0 ≤ a≤ 10  ;

b) 1≤ a ≤9,a⁄= 5  ;

c) − 3≤ a ≤ 10  .

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!