а) Будем располагать отрезок относительно отрезка А точнее, рассмотрим все варианты расположения точки относительно этого отрезка и для каждого положения определим, где может находиться точка чтобы в пересечении отрезков и получался также отрезок.

Заметим, что существует 5 различных мест, где можно расположить точку относительно отрезка

I: левее точки

II: в точке

III: между точками и

IV: в точке

V: правее точки

I,II.

Тогда в пересечении получается либо пустое множество, либо одна точка, следовательно, эти случаи нам не подходят.

III,IV.

Тогда, вне зависимости от того, где находится точка в пересечении мы имеем отрезок, следовательно, этот случай нам подходит.

Значит,

V.

Тогда точка может располагаться в I, II, III местах, чтобы в пересечении мы имели отрезок.

или

Значит,

Итоговый ответ:

б) Будем поступать аналогичным образом.

I.

Тогда в пересечении получается пустое множество, потому что точка в любом случае располагается левее точки

II.

Тогда в любом случае в пересечении мы получаем одну точку — как раз точку Следовательно, нам подходит

III,IV.

Из пункта а) следует, что в этом случае мы получаем отрезок, следовательно, этот случай нам не подходит.

V.

В этом случае получится одна точка, если точка будет совпадать с точкой

Заметим, что если мы задаем условие на левую точку , то на правую точку не имеет смысла его задавать, так как она точно правее левой точки. Значит, .

Итоговые

в) Пустое множество получается при пересечении двух отрезков, если они не пересекаются, то есть один из отрезков находится целиком либо правее, либо левее другого.

Следовательно, либо точка находится левее точки либо точка находится правее точки

 

Пункт в) можно было решить по-другому. При пересечении двух отрезков может получиться либо пустое множество, либо одна точка, либо отрезок. Так как мы нашли значения параметра, при которых получается точка или отрезок, то при всех остальных значениях параметра мы получим пустое множество. Следовательно, нужно взять дополнение к объединению множеств и