Тема 18. Задачи с параметром
18.10 Алгебра. Задачи, решающиеся аналитически
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи с параметром
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#38368

Решите уравнение

x3− 3abx =a3 +b3

при всех значениях параметров a,b  . Укажите сумму корней уравнения, получающегося при a= 2018,b = −2019  , или 0  , если это уравнение не имеет корней.

ПВГ, 2019

Показать ответ и решение
1.
Перепишем уравнение в виде
x(x2− 3ab)= (a+ b)((a+ b)2− 3ab)

Отсюда видно, что число x= a +b  является корнем уравнения при любых a,b  . Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

 3       3
x − (a +b) − (3abx− 3ab(a +b))= 0  ⇔
(x − (a+ b))(x2+ (a+ b)x +(a+ b)2)− 3ab(x − (a +b))= 0 ⇔
(x − (a+ b))(x2+ (a+ b)x +(a2− ab+ b2))= 0

Квадратичная скобка имеет дискриминант, равный            2
D = −3(a− b) ≤ 0  . Следовательно:

∙ если a = b  , то D = 0  , откуда второй корень уравнения равен x= −a  (первый – это x= a+ b  );

∙ если a⁄= b  , то D < 0  и тогда других корней, кроме x = a+ b  , уравнение не имеет.

2.
При a= 2018  , b= −2019  имееем x= a+ b= − 1  .
Ответ:

− 1

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!