Пусть – различные корни уравнения (1); – различные корни уравнения (2). Заметим, что полностью корни этих уравнений совпадать не могут, так как в таком случае в левых частях бы стояли одинаковые многочлены, то есть и .

Если множества решений этих уравнений различны, то упорядоченные по возрастанию/убыванию корни должны образовывать следующую последовательность: .

Если уравнения имеют общий корень, то упорядоченные по возрастанию/убыванию они должны образовывать следующую последовательность: . То есть либо больший корень уравнения (1) совпадает с большим корнем уравнения (2), либо меньший с меньшим.

Рассмотрим случай, когда . Тогда система из этих уравнений должна иметь решение.

Тогда другой корень уравнения (1) , другой корень уравнения (2) . Таким образом, . Все хорошо.

Пусть , то есть имеем последовательность то есть нет общих корней. Рассмотрим функции и . Если корень одного уравнения лежит между корнями другого, то значение одной функции в корне другой будет отрицательным (то есть и ) и параболы будут пересекаться, причем их точка пересечения будет находиться между и , то есть значение функций в этой точке будет отрицательным. Заметим, что это условие также будет гарантировать положительность дискриминантов, так как у каждой функции найдена точка, значение в которой отрицательно, а ветви парабол направлены вверх.

Абсциссу общей точки мы нашли выше – это . Необходимо: