Так как цифры 4 и 5 стоят рядом, будем рассматривать их как одну “цифру”, обозначив ее через X. Тогда нам нужно составить уже не 10-значное число, а 9-значное, при этом цифр тоже не 10, а 9. Будем писать цифры числа слева направо. Первую цифру числа можно выбрать 8 способами, так как подходят все цифры, в том числе X, кроме нуля. Вторую цифру можно выбрать снова 8 способами, так как подходят все цифры, кроме той, что поставлена на первое место. Третью цифру уже можно выбрать 7 способами, так как не подходят две цифры, стоящие на первом и втором месте. Дальше количество способов продолжает уменьшаться с каждым шагом на 1. Так как выбор последовательный и количество способов не зависит от того, что было выбрано ранее, работает правило умножения. Получается произведение 8 8 7 6 ... 1 = 8 8!

Далее, нам нужно расклеить цифру X. Это можно сделать всегда двумя способами: как 45 и как 54. Значит, каждому посчитанному 9-значному числу соответствуют ровно два 10-значных, в которых цифры 4 и 5 стоят рядом. Итого получаем 8 8! 2 чисел.

Раз Капитан Америка стоит сразу после Тора, склеим их, и будем расставлять пятерых мстителей, а не шестерых. На первое место можно поставить любого из пятерых, на второе — любого из четверых, и так далее. Так как количество способов выбрать следующего Мстителя в очереди не зависит от того, кого мы выбрали ранее, работает правило умножения. Получаем 5 4 3 2 1 = 5! = 120 очередей из пятерых Мстителей, включая склеенных Тора и Капитана Америку.

Теперь нам нужно их расклеить. Это можно сделать единственным способом, так как по условию сказано, что Капитан Америка стоит сразу за Тором. Таким образом, каждая пятерка, посчитанная нами, соответствует ровно одной расстановке шестерых мстителей в очередь так, чтобы Капитан Америка стоял сразу за Тором. Получаем 120 подходящих под условие очередей.

В предыдущей задаче мы уже считали, сколько получится графиков, если одного из Мстителей освободить от дежурств. Все графики делятся на два вида: в которых Капитан Америка дежурит, и те, в которых Капитан Америка не дежурит. Мы можем получить количество графиков, в которых Капитан Америка дежурит, вычтя из общего количества графиков те графики, в которых он не дежурит.

Всего графиков , как мы уже посчитали в первой задаче. Графиков, в которых Капитан Америка не дежурит, (на каждое место претендует один из четырех Мстителей), как мы посчитали в предыдущей задаче. Значит, осталось вычесть из всех графиков те, в которых Капитан Америка не дежурит: = 3125 - 1024 = 2101 график, в которых Капитан Америка дежурит.

Пронумеруем дни и будем по очереди выбирать патрулирующего территорию. Для каждого дня у нас есть 4 варианта выбрать мстителя, так как из пятерых нельзя выбирать Железного Человека. Значит, всего вариантов , так как выбор последовательный и независимый.

Пронумеруем дни и по очереди выберем патрулирующего территорию. В первый день можно выбрать любого из пятерых. Во второй день — снова любого из пятерых, и так далее. Получается, что в каждый день мы выбираем любого из пятерых Мстителей. Выбор последовательный, и количество способов выбрать очередного дежурного не зависит от того, кого мы выбирали ранее. Значит, эти пять пятерок нужно перемножить. Получается графиков.

Заметим, что все графики, то есть 120 штук, можно разбить на две группы: те, в которых Тор дежурит после Халка, и те, в которых Тор не дежурит после Халка. В предыдущей задаче мы посчитали, что графиков, в которых Тор дежурит после Халка, 4! = 24 штуки. Значит, графиков, в которых Тор не дежурит после Халка, 120 - 24 = 96 штук.

По условию сказано, что в графике дежурств Тор должен идти после Халка. Давайте склеим их в одного супер-мстителя, и будем расставлять уже не пятерых Мстителей на 5 мест, а четырех Мстителей на 4 места. Это можно сделать 4! = 4321 = 24 способами, так как на первое можно выбрать любого из четырех (включая ХалкоТора), на второе место — любого из трех (исключая того, кто был выбран в первый день), на третье — любого из двух, и на четвертое только оставшегося Мстителя. Выбор последовательный и независимый, значит, работает правило умножения.

Итак, мы получили, что упорядоченных четверок Мстителей, один из которых ХалкоТор, 24 штуки. Чтобы из каждой такой четверки получить упорядоченную пятерку, в которой Тор идет после Халка, нам достаточно их расклеить и поставить друг за другом. Это можно сделать единственным способом для каждой четверки. Значит, из каждой подходящей четверки мы получаем ровно одну пятерку, в которой Тор идет после Халка. Таким образом, графиков, в которых каждый дежурит по разу и Тор дежурит на следующий день после Халка, 24 штуки.

Пронумеруем дни и по очереди выберем патрулирующего территорию. В первый день можно выбрать любого из пятерых. Во второй день уже любого из четверых, так как нельзя выбирать того, кто был выбран в первый день. В третий день остается выбор из трех, в четвертый — из двух мстителей, и наконец в последний день остается единственный мститель, еще не дежуривший. Полученные способы необходимо перемножить, так как выбор последовательный, и количество вариантов выбрать очередного дежурного не зависит от того, кого мы выбрали ранее. Получается 5 4 3 2 1 = 5! = 120.

Будем выбирать цифры этого числа последовательно, начиная с разряда сотен. Туда подходит 9 цифр: любая цифра, кроме 0. После этого на второе место мы можем выбрать 9 цифр: любая цифра, кроме той, что стоит на первом месте. Наконец, цифру единиц мы можем выбрать 8 способами: любая цифра, кроме тех двух, что уже стоят в разряде сотен и десятков. Эти способы выбрать очередную цифру перемножаются, так как количество способов выбрать очередную цифру не зависит от того, какие цифры мы уже выбрали ранее: 9 9 8 = 648.

Сначала поставим на доску белую ладью. Это можно сделать на любую клетку, то есть 64 способами. Теперь черную ладью нельзя ставить в тот же столбец или в ту же строку, в которых уже стоит белая ладья. Значит, остаются 7 строк и 7 столбцов, в которых может стоять ладья, всего 7 ·7 = 49 клеток. Поэтому черную ладью независимо от того, как была поставлена первая, можно выставить 49 способами. Тогда пару ладей мы можем поставить 64 49 = 3136 способами, так как количество способов поставить черную ладью не зависит от того, куда была поставлена белая ладья.

Всего четных цифр, как и нечетных, 5: 0, 2, 4, 6 и 8. Однако цифру 0 нельзя ставить на первое место. Поэтому цифру из разряда сотен мы можем выбрать лишь 4 способами. После этого цифру из разряда десятков мы можем выбрать 5 способами, также цифру единиц мы можем выбрать 5 способами. Так как выбор цифры в очередном разряде не зависит от того, что мы выбрали ранее, эти способы надо перемножить: 4 5 5 = 100.

И мартышки, и шимпанзе — обезьяны, поэтому всего обезьян 3+5 = 8. В одном рукопожатии участвуют двое зверят: одна обезьянка и один котенок. Обезьянку можно выбрать 8 способами, а котенка — 10 способами. Так как обезьянку и котенка мы выбираем последовательно, а также выборы обезьянки и котенка не зависят друг от друга, то способы перемножаются: 8 ·10 = 80 способов выбрать пару обезьянка–котенок. Но каждая такая пара соответствует одному рукопожатию, значит, рукопожатий тоже 80.

Сначала 10 способами выбираем курсанта, который будет выписывать штрафы. После этого независимо от того, кого мы выбрали, остаются 9 курсантов, из которых надо выбрать того, кто будет патрулировать северный район. Это можно сделать 9 способами. Полученные способы перемножаются, так как количество способов выбрать второго курсанта не зависит от того, кого мы выбрали первым.

Всего нечетных цифр 5: 1, 3, 5, 7 и 9. На первом месте может стоять любая из пяти цифр, и на втором месте независимо от того, какую цифру мы поставили на первое место, может стоять пять цифр. По правилу умножения мы получаем 5 5 = 25 способов составить двузначное число из нечетных цифр. Значит, именно столько чисел выпишет на доску Мисс Барашкис.

Посчитаем, сколько всего билетов лежат перед коллегами. Их 5+7+9 = 21. Выбрав, куда идти, Мэр Леодор “запрещает” Мисс Барашкис либо 5, либо 7, либо 9 билетов. Чтобы у Барашкис осталось больше билетов на выбор, Мэру Леодору необходимо запретить как можно меньше билетов, то есть из трех возможных количеств нужно выбрать 5 билетов. Значит, Мэр Леодор, дабы обеспечить своей подчиненной больший выбор, должен пойти в театр.

Посчитаем сначала, сколько есть способов выбрать одну клетку. Всего клеток на шахматной доске 8 8 = 64, и Ник выбирает одну. Сделать это можно 64-мя способами. Теперь поможем посчитать способы Джуди. Сначала выберем строку. Это можно сделать 8 способами. Рассмотрим мысленно 8 случаев: Джуди выбрала 1-ю строку, 2-ю строку, 3-ю строку, и т. д., 8-ю строку. В каждом из этих способов у Джуди есть 8 вариантов выбрать столбец: любой из восьми. А так как это разные случаи, то все полученные способы надо сложить. Получаем сумму 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 64.

Значит, у Джуди тоже получилось 64 способа выбрать строку и столбец — столько же, сколько и у Ника.

Рассмотрим два случая того, какую сладость могла выбрать Джуди.

Случай 1. Предположим, что Джуди взяла печеньку. Сделать это она могла тремя способами. После чего перед Ником остаются 2 печеньки, из которых надо выбрать одну. Это можно сделать двумя способами. Получается, что если Джуди выбрала первую печеньку, то Ник может выбрать вторую или третью, если Джуди выбрала вторую печеньку, то Ник может выбрать первую или третью, и если Джуди выбрала третью печеньку, то Ник может выбрать первую или вторую печеньку. Таким образом, мы получаем 2 + 2 + 2 = 6 способов выбрать Джуди и Нику по одной печеньке.

Случай 2. Предположим, что Джуди взяла пряничек. Тогда в любом случае перед Ником остаются три пряничка на выбор, значит, он сможет свой пряничек взять 3 способами. Итак, если Джуди берет себе первый пряничек, то у Ника 3 способа выбрать себе пряник, если Джуди берет себе второй пряничек, то снова 3 способа выбрать пряничек у Ника, аналогично если Джуди берет себе третий пряничек, то у Ника опять 3 способа выбрать пряничек, и наконец если Джуди берет себе четвертый пряничек, то у Ника 3 способа выбрать себе пряничек. При этом это все разные случаи того, какой пряничек выбирала Джуди, и в зависимости от ее выбора мы посчитали, сколько способов выбрать пряничек есть у Ника. Поэтому теперь осталось все способы сложить, так как все это были разные случаи выбора пряничка Джуди. Получаем 3 + 3 + 3 + 3 = 12 способов выбрать по одному пряничку Джуди и Нику.

Эти количества способов, 6 и 12, представляют собой разные случаи того, какие же именно сладости берут друзья — печеньки или прянички. А так как они могут выбрать любой тип сладости, то чтобы получить все способы выбрать две сладости, эти количества способов, 6 и 12, надо сложить: 6 + 12 = 18, это и есть суммарное количество способов выбрать по одной сладости Джуди и Нику одинакового вида.

Представим все варианты оформления кабинета в виде таблицы 7 ×5 следующим образом. Рядом с каждой из 5 строк напишем свой вариант письменного стола, а рядом с каждым из 7 столбцов — свой вид стульев. Теперь, выбирая письменный стол, Мистер Биг тем самым выбирает строку, а выбирая вид стульев, Мистер Биг тем самым выбирает столбец. При этом в результате выбора столбца и строки автоматически определяется клетка, по которой эти строка и столбец пересекаются. Тогда на самом деле каждой паре письменный стол–комплект стульев соответствует клетка нарисованной таблицы. Значит, способов выбрать стол и стулья столько же, сколько клеток в таблице. А их 7 5 = 35, откуда и ответ.

На пятый день Ник выкинет столько рубашек, сколько уже прошло дней. А прошло 4 дня, значит, осталось 100 - 4 = 96 рубашек, и Ник может выбрать любую из них. Это можно сделать 96-ю способами, откуда и ответ.

Представим себе раскраску шара в виде таблицы 3 на 4. Каждую из 4 строк этой таблицы мы раскрасим в один из 4 цветов шариков: красный, синий, зеленый и желтый. Каждую из 3 строк этой таблицы мы посыплем одним из трех видов блесток: в форме снежинок, в форме сердечек и в форме кружочков. Заметим, что тогда каждая клетка этой таблицы покрашена в один из 4 цветов и посыпана одним из 3 видов блесток. При этом каждая комбинация цвет-вид блесток в этой таблице встречается, и ровно один раз: на пересечении соответствующих строки и столбца. Значит, клеток в таблице столько же, сколько возможных вариантов раскрасок. А клеток 4 3 = 12. Значит, возможных раскрасок шаров столько же, то есть 12.