02. Задачи на векторы —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема 2. Задачи на векторы

2.01 Задачи на векторы

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи на векторы

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#71999

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a$ и $⃗b$ . Найдите скалярное произведение векторов $⃗a$ и $2⃗b.$

$110xy⃗a⃗b$

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 1

Показать ответ и решение

Найдем координаты векторов $⃗a$ и $⃗b.$ Так как каждая координата вектора равна разности соответствующих координат конца и начала вектора, то

⃗a= {−6− (−2);−4− 5}= {−4;−9},

⃗ b= {1− 6;− 2− 2}= {−5;−4}.

Тогда $2⃗b= {− 10;−8}.$ Следовательно, так как скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат двух векторов, имеем

⃗a ⋅2⃗b =− 4⋅(−10)+ (− 9)⋅(− 8) =112

Ответ: 112

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#74676

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a$ и $⃗b$ . Найдите скалярное произведение векторов $2⃗a$ и $⃗ b.$

$⃗ 110xy⃗ab$

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 2

Показать ответ и решение

⃗a = {−2− (−6);− 2− 4}= {4;− 6},

⃗ b= {2− (−1);3− (− 4)} ={3;7}.

Тогда $2⃗a ={8;−12}.$ Следовательно, так как скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат двух векторов, имеем

2⃗a ⋅⃗b = 8⋅3+ (− 12)⋅7= −60

Ответ: -60

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#72000

Даны векторы $⃗a(2;3)$ и $⃗b(− 3;b0).$ Найдите $b0,$ если $|⃗b|= 1,5|⃗a|.$ Если таких значений несколько, в ответ запишите меньшее из них.

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024г. Вариант 3

Показать ответ и решение

Так как длина вектора $⃗c(x;y)$ равна $∘ ------ |⃗c|= x2+ y2,$ то из условия $|⃗b|= 1,5|⃗a|$ получаем

∘----2---2 ∘ -2---2 (−3) + b0 = 1,5 ⋅ 2 + 3 9+ b20 = 2,25⋅13 b0 = ±4,5

Следовательно, ответ $− 4,5.$

Ответ: -4,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#74677

Даны векторы $⃗a(4;−1)$ и $⃗b(b0;8).$ Найдите $b0,$ если $|⃗b|= 2,5|⃗a|.$ Если таких значений несколько, в ответ запишите большее из них.

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 4

Показать ответ и решение

Так как длина вектора $⃗c(x;y)$ равна $|⃗c|=∘x2-+-y2,$ то из условия $|⃗b|= 2,5|⃗a|$ получаем

∘ -2--2- ∘ -2-----2- b0+ 8 = 2,5 4 + (− 1) b2+ 64= 6,25 ⋅17 ⇔ b =±6,5 0 0

Следовательно, большее из этих значений равно 6,5.

Ответ: 6,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#72001

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a,$ $⃗b$ и $⃗c.$ Найдите длину вектора $⃗a+ ⃗b+ ⃗c.$

$110xy⃗a⃗b⃗c$

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024г. Вариант 5

Показать ответ и решение

Найдем координаты векторов $⃗a,$ $⃗b$ и $⃗c.$ Так как каждая координата вектора равна разности соответствующих координат конца и начала вектора, то

⃗a= {− 3− (− 7);3− 6}= {4;−3},

⃗b= {2− 2;5− 1} = {0;4},

⃗c = {− 4− 4;− 2− (−4)}= {−8;2}.

Следовательно, координаты вектора

⃗x= ⃗a+ ⃗b+ ⃗c= {4+ 0− 8;−3+ 4 +2} ={− 4;3}.

Следовательно, длина этого вектора равна

∘--------- |⃗x|= (− 4)2+ 32 = 5

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#74678

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a,$ $⃗b$ и $⃗c.$ Найдите длину вектора $⃗ ⃗a+ b+ ⃗c.$

$⃗ 110xy⃗ab⃗c$

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 6

Показать ответ и решение

⃗a= {6− 2;5− 1}= {4;4},

⃗b= {6− (−3);1− 4} ={9;−3},

⃗c= {−5− (−4);−4− 2}= {−1;−6}.

Следовательно, координаты вектора

⃗ ⃗x =⃗a +b +⃗c ={4 +9 − 1;4− 3− 6}= {12;−5}.

Следовательно, длина этого вектора равна

∘ -2------2- |⃗x|= 12 +(−5) = 13

Ответ: 13

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#72002

Даны векторы $⃗a(2;−5)$ и $⃗b(5;7).$ Найдите скалярное произведение векторов $0,6⃗a$ и $1,4⃗b.$

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024г. Вариант 7

Показать ответ и решение

Скалярное произведение $0,6⃗a⋅1,4⃗b$ равно $0,6⋅1,4 ⋅(⃗a⋅⃗b).$ Следовательно, получаем

0,6⃗a⋅1,4⃗b= 0,84⋅(2 ⋅5+ (− 5)⋅7) =0,84⋅(−25)= −21

Ответ: -21

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#74679

Даны векторы $⃗a(2,2;− 4)$ и $⃗b(−1,25;− 1).$ Найдите скалярное произведение векторов $3⃗a$ и $⃗ 4b.$

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 8

Показать ответ и решение

Скалярное произведение $(3⃗a) ⋅(4⃗b)$ равно $3 ⋅4⋅(⃗a ⋅⃗b).$ Следовательно, получаем

(3⃗a)⋅(4⃗b) =12 ⋅(⃗a ⋅⃗b)= = 12⋅(2,2⋅(−1,25)+ (−4)⋅(−1))= 15

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#72003

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a$ и $⃗b.$ Найдите $cosα,$ где $α$ — угол между векторами $⃗a$ и $⃗b.$

$110xy⃗a⃗b$

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024г. Вариант 9

Показать ответ и решение

⃗a= {−4− (−1);2− (− 4)} = {− 3;6},

⃗ b= {5− (−3);1− 5} ={8;−4}.

Заметим, что, с одной стороны, скалярное произведение векторов $⃗a(x1;y1)$ и $⃗b(x2;y2)$ равно

⃗ ⃗a⋅b= x1x2+ y1y2,

а с другой стороны, оно равно

⃗a ⋅⃗b = |⃗a|⋅|⃗b|⋅cosα,

где $α$ — угол между этими векторами. Следовательно, в нашем случае имеем:

∘ ---------∘ --------- −3 ⋅8+ 6⋅(− 4)= ⃗a⋅⃗b= (− 3)2 +62⋅ 82+ (−4)2 ⋅cosα

cosα = -√−-48√--= − 4= − 0,8 3 5⋅4 5 5

Ответ: -0,8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#74680

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a$ и $⃗b.$ Найдите косинус угла между векторами $⃗a$ и $⃗ b.$

$⃗ 110xy⃗ab$

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 10

Показать ответ и решение

⃗a= {1− 3;5− (− 1)} ={− 2;6},

⃗ b= {5− (− 7);−3 − 1} = {12;−4}.

Заметим, что, с одной стороны, скалярное произведение векторов $⃗a(x1;y1)$ и $⃗b(x2;y2)$ равно

⃗a⋅⃗b= x1x2+ y1y2,

а с другой стороны, оно равно

⃗ ⃗ ⃗a ⋅b = |⃗a|⋅|b|⋅cosα,

где $α$ — угол между этими векторами. Следовательно, в нашем случае имеем:

∘ --------- ∘---------- −2⋅12+ 6⋅(−4)= (−2)2+ 62⋅ 122+ (−4)2⋅cosα

−48 6 cosα= 2√10-⋅4√10 =− 10 =− 0,6

Ответ: -0,6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#74687

Даны векторы $⃗a(6;−1),$ $⃗b(−5;−2)$ и $⃗c(− 3;5).$ Найдите длину вектора $⃗ ⃗a −b+ ⃗c.$

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 11

Показать ответ и решение

Найдем координаты вектора $⃗d =⃗a − ⃗b +⃗c :$

⃗d ={6 − (−5)+ (−3);−1− (−2)+ 5}= {8;6}

Так как длина вектора $⃗d(x;y)$ равна $|⃗d|=∘x2-+-y2,$ то

|⃗d|= ∘82+-62 = 10

Ответ: 10

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#74688

Даны векторы $⃗a(2;−5),$ $⃗b(6;3)$ и $⃗c(4;7).$ Найдите длину вектора $⃗a− ⃗b− ⃗c.$

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 12

Показать ответ и решение

Найдем координаты вектора $⃗d =⃗a − ⃗b − ⃗c :$

d⃗= {2− 6− 4;− 5− 3− 7}= {−8;−15}

Так как длина вектора $⃗d(x;y)$ равна $|⃗d|=∘x2-+-y2,$ то

|⃗d|=∘ (−8)2+-(−-15)2 =17

Ответ: 17

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#72006

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a,$ $⃗b$ и $⃗c.$ Найдите скалярное произведение $( ) ⃗a⋅ ⃗b+ ⃗c .$

$110xy⃗b⃗a⃗c$

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 13

Показать ответ и решение

⃗a= {−7− (−1);3− (− 2)} = {− 6;5},

⃗b = {5 − 5;1− (−4)}= {0;5},

⃗c= {−6 − 1;− 1− 4} = {−7;−5}.

Тогда $⃗x =⃗b+⃗c= {−7;0}.$ Следовательно,

⃗a⋅⃗x = −6⋅(−7)+ 5⋅0 =42

Ответ: 42

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#74689

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a,$ $⃗b$ и $⃗c.$ Найдите скалярное произведение $⃗ (⃗a +b)⋅⃗c.$

$⃗ 110xy⃗ab⃗c$

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 14

Показать ответ и решение

⃗a = {−2− 4;5− 5}= {−6;0},

⃗b= {5− (−2);1− (− 4)} ={7;5},

⃗c= {−6 − 3;2− (−3)}= {−9;5}.

Тогда $⃗x = ⃗a+ ⃗b= {−6+ 7;0+ 5}= {1;5}.$

Cкалярное произведение векторов $⃗d(x1;y1)$ и $⃗e(x2;y2)$ равно

⃗ d⋅⃗e= x1x2+ y1y2

Следовательно,

⃗x⋅⃗c= 1 ⋅(− 9)+ 5 ⋅5 = 16

Ответ: 16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#72004

Даны векторы $⃗a(− 1;3),$ $⃗b(4;1)$ и $⃗c(2;c0).$ Найдите $c0,$ если $( ) ⃗a+ ⃗b ⋅⃗c= 0.$

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 15

Показать ответ и решение

Найдем координаты вектора $⃗x =⃗a +⃗b= {−1+ 4;3+ 1} = {3;4}.$ Заметим, что скалярное произведение векторов $⃗a(x1;y1)$ и $⃗b(x2;y2)$ равно

⃗ ⃗a⋅b= x1x2+ y1y2

Следовательно,

0= ⃗x⋅⃗c= 3⋅2 +4 ⋅c0 ⇔ c0 = − 1,5

Ответ: -1,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#74691

Даны векторы $⃗a(2,−3),$ $⃗b(2;−1)$ и $⃗c(c0;3).$ Найдите $c0,$ если $⃗a⋅(⃗b+ ⃗c)= 0.$

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 16

Показать ответ и решение

Найдем координаты вектора $⃗x =⃗b +⃗c ={2 +c0;−1+ 3}= {2+ c0;2}.$ Заметим, что скалярное произведение векторов $⃗ d(x1;y1)$ и $⃗e(x2;y2)$ равно

⃗ d⋅⃗e= x1x2+ y1y2

Следовательно,

0 =⃗a⋅⃗x= 2⋅(2+ c0)+(−3)⋅2 =2c0− 2 ⇔ c0 = 1

Ответ: 1

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#73605

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a,$ $⃗b$ и $⃗c.$ Найдите длину вектора $⃗ ⃗a+ b− ⃗c.$

$⃗ 110xyb⃗a⃗c$

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 17

Показать ответ и решение

Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат конца и начала. Найдем координаты векторов, изображенных на плоскости:

⃗a= {−7 − (− 3);−1 − 4} ={− 4;− 5} ⃗b= {5− (−4);5 − 5} ={9;0} ⃗c= {1− 4;6− (− 4)} ={− 3;10}

Следовательно,

⃗x =⃗a +⃗b− ⃗c = {− 4+ 9− (−3);− 5+ 0− 10} = {8;− 15}

Следовательно,

|⃗x|= ∘82-+(−15)2 = 17

Ответ: 17

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#74692

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a,$ $⃗b$ и $⃗c.$ Найдите длину вектора $⃗ ⃗a− b+ ⃗c.$

$⃗ 110xyb⃗a⃗c$

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 18

Показать ответ и решение

⃗a = {−4− 6;4− 0}= {−10;4} ⃗b ={4 − (−4);4− 2}= {8;2} ⃗c ={− 5− 1;1 − (− 4)}= {− 6;5}

Следовательно,

⃗x= ⃗a− ⃗b+ ⃗c= {−10 − 8 +(−6);4− 2+ 5}= {−24;7}

Следовательно,

|⃗x|= ∘ (−-24)2+-72 = 25

Ответ: 25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#72007

Даны векторы $⃗a(− 2;4)$ и $⃗b(2;− 1).$ Известно, что векторы $⃗c(xc;yc)$ и $⃗b$ сонаправленные, a $|⃗c|= |⃗a|.$ Найдите $xc+yc.$

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 19

Показать ответ и решение

Так как $|⃗c|=|⃗a|,$ то

2 2 2 2 2 2 (−2) + 4 = xc + yc ⇔ xc +yc = 20

Так как $⃗c$ и $⃗b$ сонаправленные, то

xc -yc- 2 = − 1 ⇔ xc = −2yc

Подставим в первое равенство:

4y2c +y2c =20 ⇔ yc =±2

Так как $⃗c$ и $⃗ b$ сонаправленные, то $yc = −2.$ Тогда $xc = 4.$ Следовательно, $xc+ yc = 2.$

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#74693

Даны векторы $⃗a(4;−6)$ и $⃗b(− 2;3).$ Известно, что $|⃗c|= |⃗a|,$ а векторы $⃗c(xc;yc)$ и $⃗ b$ противоположно направленные. Найдите $xc+ yc.$

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 20

Показать ответ и решение

Так как $|⃗c|=|⃗a|,$ то

x2+ y2= 42+ (−6)2 ⇔ x2+y2 = 52 c c c c

Так как $⃗c$ и $⃗b$ противоположно направленные, то

xc= yc- ⇔ x = − 2y −2 3 c 3 c

Тогда получаем

4 2 2 9yc + yc = 52 ⇔ yc = ±6

Так как $⃗c$ и $⃗b$ противоположно направленные, то $yc = − 6.$ Тогда $xc = 4.$ Следовательно, $xc+ yc = − 2.$

Ответ: -2

Предыдущий раздел

Следующий раздел