Так как сфера вписана в куб, то сторона куба равна диаметру сферы. Следовательно, сторона куба равна Тогда объем куба равен

Рассмотрим треугольник где точка — центр сферы, точка принадлежит окружности основания конуса, точка — вершина конуса. Тогда — это образующая конуса.

Так как центр сферы совпадает с центром основания конуса, то — высота конуса и Кроме того, и — радиусы сферы. Тогда для треугольника по теореме Пифагора имеем:

Многогранник с вершинами — это треугольная пирамида. Тогда ее объем вычисляется по формуле

Здесь — площадь основания, — длина высоты, опущенной на это основание.

При этом объем этой пирамиды равен объему пирамиды Это так, поскольку у этих пирамид равные по площади основания и лежащие в одной плоскости, и общая вершина

Тогда объем пирамиды равен

Объём конуса равен

Здесь — площадь основания конуса, — его высота.

Объём цилиндра равен

Здесь — площадь основания цилиндра, — его высота.

По условию конус и цилиндр имеют общие основание и высоту, тогда

Площадь поверхности шара вычисляется по площади

Здесь — радиус шара.

Площадь большого круга шара вычисляется по формуле

Здесь — радиус шара.

Тогда искомая площадь равна

Пусть — площадь основания треугольной призмы, а — ее высота. Тогда объем треугольной призмы равен

Рассмотрим отсеченную призму. Ее высота равна высоте изначальной треугольной призмы, то есть равна . Отрезок — средняя линия треугольника , поэтому треугольник , лежащий в основании отсеченной призмы, подобен треугольнику , лежащему в основании изначальной призмы. Это следует из отношения сторон

и общего угла .

Тогда площадь треугольника в раза меньше площади треугольника и объем отсеченной призмы равен

Отсюда объем исходной призмы равен

Пусть — площадь квадрата — площадь треугольника Тогда

Пусть — высота пирамиды и а — высота пирамиды

Далее заметим, что

Тогда — средняя линия треугольника так как — середина Отсюда по углу и отношению сторон

Тогда имеем:

Объем пирамиды вычисляется по формуле

Здесь — площадь основания пирамиды, а — ее высота.

Тогда по условию имеем:

Вычислим объем пирамиды

Пусть — площадь основания треугольной призмы, а — ее высота. Тогда объем треугольной призмы равен

Рассмотрим отсеченную призму. Ее высота равна высоте изначальной треугольной призмы, то есть равна Так как — средняя линия треугольника то треугольник лежащий в основании отсеченной призмы, подобен с коэффициентом треугольнику лежащему в основании изначальной призмы, по отношению сторон и общему углу между ними. Тогда площадь треугольника в раза меньше площади треугольника

Значит, объем отсеченной призмы равен

Заметим, что объем куба равен , где — длина ребра, а диагональ куба равна

По условию . Тогда

Пусть площадь основания конуса равна а его высота равна Тогда объём конуса равен

Если высота уменьшится в 3 раза, то объем конуса станет равен

Тогда объем конуса уменьшится в 3 раза.

Пусть площадь основания пирамиды равна а ее высота равна Тогда объём пирамиды равен

Если высоту пирамиды увеличили в 4 раза, то и ее объем увеличился в 4 раза:

Пусть длина ребра куба равна . Тогда его объём равен . Если каждое ребро увеличили в 3 раза, то объём стал равен

Значит, объём увеличился в 27 раз.

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению всех трёх его измерений. Из вершины выходит по одному ребру каждого из измерений. Пусть длина неизвестного ребра равна . Тогда

Пусть — изначальный радиус шара. Площадь поверхности шара вычисляется по формуле

После увеличения радиуса шара в 2 раза площадь поверхности равна

Это в 4 раза больше, чем изначальная площадь поверхности.

Площадь поверхности правильной призмы равна сумме площадей двух оснований и четырех боковых граней. Так как призма правильная, площадь каждого из ее оснований равна квадрату стороны основания. То есть

Тогда суммарная площадь четырех боковых граней равна

Здесь — площадь поверхности призмы, а — площадь одной боковой грани. Следовательно,

Площадь боковой грани равна произведению длин стороны основания и бокового ребра, поэтому боковое ребро равно

Пусть — радиус шара, тогда площадь большого круга равна

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле

Тогда искомая площадь равна

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле , где — радиус основания цилиндра, а — высота. Тогда

Пусть длина ребра куба равна объем куба равен Тогда имеем:

Площадь поверхности куба равна сумме площадей всех его граней. Площадь каждой из шести граней куба равна

Тогда площадь поверхности равна

Многогранник, вершинами которого являются точки — это прямоугольная пирамида с в основании и высотой

 

 

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту, следовательно,

Обозначим через площадь основания призмы, через — ее высоту. Тогда объем призмы равен

Объем отсеченной пирамиды равен

Тогда объем оставшейся части равен