04. Введение в теорию вероятностей —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема 4. Введение в теорию вероятностей

4.01 Введение в теорию вероятностей

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела введение в теорию вероятностей

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#22941

Мама сварила малиновое варенье и разложила по банкам. Вероятность того, что варенье сохранится более трёх лет, равна 0,92. Вероятность того, что оно сохранится более четырёх лет — 0,84. Какова вероятность того, что варенье сохранится более трёх, но менее четырёх лет?

Показать ответ и решение

Если варенье сохранится более трёх лет, то оно испортится либо на четвертом году хранения, либо после четвертого года. Тогда события «варенье сохранится более четырёх лет» и «варенье сохранится более трёх, но менее четырёх лет», несовместны.

Значит, вероятность того, что варенье сохранится более трёх лет, равна сумме вероятностей событий «варенье сохранится более четырёх лет» и «варенье сохранится более трёх, но менее четырёх лет». Тогда вероятность того, что варенье сохранится более трёх, но менее четырёх лет, равна

p= 0,92 − 0,84= 0,08

Ответ: 0,08

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#21441

В соревнованиях по толканию ядра участвуют 3 спортсмена из Дании, 6 из Швеции, 4 из Норвегии и 7 из Финляндии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Норвегии.

Показать ответ и решение

Общее количество спортсменов, принимающих участие в соревнованиях, равно

3 + 6+ 4+ 7= 20

Последним мог выступать только один из 20 спортсменов, и все спортсмены с одинаковыми вероятностями могли выступать последними.

Тогда вероятность того, что последним будет выступать спортсмен из Норвегии, равна

-4 = 1 = 0,2 20 5

Ответ: 0,2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#19484

В соревнованиях по лёгкой атлетике участвуют 6 спортсменов из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Словении и 8 — из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Словении.

Показать ответ и решение

Всего в соревнованиях принимают участие $6+ 7+ 9+ 8= 30$ спортсменов. Последним мог выступать только один из 30 спортсменов, и каждый спортсмен с одинаковой вероятностью мог выступать последним.

Тогда вероятность того, что последним будет выступать спортсмен из Словении, равна отношению количества спортсменов из Словении к общему количеству спортсменов, то есть

9- = 3-= 0,3 30 10

Ответ: 0,3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#18606

В фирме такси в наличии 45 легковых автомобилей. Из них 18 чёрного цвета с жёлтыми надписями на бортах, остальные — жёлтого цвета с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями.

Показать ответ и решение

Всего автомобилей желтого цвета с черными надписями будет

45− 18 = 27

Вероятность того, что такая машина приедет на вызов, равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех исходов. Всего исходов — 45, благоприятных — 27.

Тогда искомая вероятность равна

27 = 3 = 0,6 45 5

Ответ: 0,6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#2646

Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,9. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,82. Найдите вероятность того, что чайник прослужит меньше двух лет, но больше года.

Показать ответ и решение

Рассмотрим следующий рисунок:

$PIC$

Из рисунка видно, что для нахождения вероятность того, что чайник прослужит больше года, но меньше двух лет, нужно из вероятности прослужить больше года вычесть вероятность прослужить больше двух лет.

Иными словами: событие $A$ = {чайник прослужит больше года} состоит из непересекающихся событий $B$ = {чайник прослужит большедвух лет} и $C$ = {чайник прослужит больше года, но меньше двух лет}, то есть $A = B ∪C.$

Значит, для вероятностей этих событий можно записать следующее:

P (A)= P(B)+ P (C )

Нам нужно найти вероятность события $C :$

P (C)= P(A)− P (B )

По условию $P(A) = 0,9,$ $P(B) = 0,82,$ тогда

P(C )= 0,9− 0,82 =0,08

Ответ: 0,08

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#1315

Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 16 пассажиров, равна 0,96. Вероятность того, что окажется меньше 10 пассажиров, равна 0,55. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 10 до 15.

Показать ответ и решение

Для наглядности решения начертим рисунок:

$PIC$

Отсюда видим, что событие $A$ = { В автобусе окажется меньше 16 пассажиров } состоит из двух непересекающихся событий $B$ = { В автобусе окажется меньше 10 пассажиров } и $C$ = { В автобусе окажется от 10 до 15 пассажиров }, значит, для вероятностей можно записать:

P (A)= P(B)+ P (C )

Так как нам нужно найти вероятность события $C$ , то:

P(C)= P (A )− P(B)= 0,96− 0,55 =0,41

Ответ: 0,41

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#1314

Вероятность того, что на тестировании по истории учащийся Т. решит больше 10 задач, равна 0,75. Вероятность того, что Т. верно решит больше 9 задач, равна 0,8. Найдите вероятность того, что Т. верно решит ровно 10 задач.

Показать ответ и решение

Для наглядности нанесем данные из условия на прямую:

$PIC$

Тогда видим, что событие $A$ = { Т. решил больше 9 задач } состоит из объединения несовместных событий $B$ = { Т. решил больше 10 задач } и $C$ = { Т. решил ровно 10 задач }, а значит, вероятность события $A$ равна сумме вероятностей:

P(A) = P(B) + P(C)

Так как требуется найти вероятность события $C$ , то

P (C) = P (A)− P (B ) ⇔ P (C) = 0,8 − 0,75 = 0,05

Ответ: 0,05

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#86191

В группе 16 человек, среди них — Анна и Татьяна. Группу случайным образом делят на 4 одинаковые по численности подгруппы. Найдите вероятность того, что Анна и Татьяна окажутся в одной подгруппе.

Источник: СтатГрад 24.04.2024

Показать ответ и решение

Пусть Анна оказалась в одной из подгрупп. Тогда в этой подгруппе осталось еще 3 места, на которые могут претендовать 15 человек, в том числе и Татьяна. Вероятность оказаться в одной подгруппе с Анной у любого учащегося, в том числе и у Татьяны, равна

p= 3:15 =0,2.

Ответ: 0,2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#83747

Вероятность того, что Егор получит пятерку по физике за ответ у доски, равна 0,67. Вероятность того, что Егор получит пятерку по химии за ответ у доски, равна 0,69. Вероятность получить пятерку по обоим предметам оказалась равной 0,56. Какова вероятность того, что Егор не получит за ответы у доски по физике и химии ни одной пятерки?

Показать ответ и решение

Найдем вероятность того, что за ответы у доски по физике и химии Егор получит хотя бы одну пятерку.

Вероятность наступления по крайней мере одного из двух событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их одновременного наступления.

Тогда вероятность получения Егором хотя бы одной пятерки равна

0,67 +0,69− 0,56= 0,8

Следовательно, вероятность не получить ни одной пятерки равна

1− 0,8= 0,2

Ответ: 0,2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#83433

На тестировании по математике учащийся А. верно решит больше 4 задач с вероятностью 0,76. Вероятность того, что А. верно решит больше 3 задач, равна 0,89. Найдите вероятность того, что ученик верно решит ровно 4 задачи.

Источник: ЕГЭ 2024, досрочная волна

Показать ответ и решение

Вероятность того, ученик верно решит ровно 4 задачи, равна разности вероятностей того, что учащийся А. верно решит больше 4 задач, и того, что учащийся А. верно решит больше 3 задач.

$t034pp12 = = 00,8,796$

Тогда искомая вероятность равна

p= p1− p2 = 0,89− 0,76 = 0,13

Ответ: 0,13

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#80080

Занимаясь математикой при комфортной температуре, Саша никогда не делает ошибок. Занимаясь ей при слишком высокой температуре, она делает ошибки всегда. Известно, что в школе, где Саша будет сдавать экзамен по математике, кондиционеры установлены только в аудиториях с чётными номером, а во всех остальных аудиториях стоит жара. Номер аудитории, где Саша будет экзаменоваться определяется рандомно. Найдите вероятность того, что Саша допустит ошибку на экзамене, если всего в школе 29 аудиторий с номерами от 1 до 29. Ответ округлите до сотых.

Показать ответ и решение

Чётные номера аудиторий в школе:

2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28 – всего 14 номеров.

В аудиториях с такими номерами Саша точно не допустит ошибку.

Нечётные номера аудиторий в школе:

1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29 – всего 15 номеров.

В аудиториях с такими номерами Саша точно допустит ошибку.

Таким образом:

P(Саш а допустит ошибку на экзам ене) = 15 ≈ 0,52. 29

Ответ: 0,52

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#76261

В магазине продаются два вида елок: заснеженные и зеленые, число которых находится в пропорции $3:2$ соответственно. В среднем на 98 заснеженных небракованных елок приходится 2 заснеженных бракованных, а на 96 зеленых небракованных елок приходится 4 зеленых бракованных. Найдите вероятность того, что случайно купленная в этом магазине елка не будет бракованной.

Показать ответ и решение

Из условия следует, что можно принять число заснеженных елок за $3x,$ число зеленых — за $2x.$ Тогда всего елок в магазине $3x +2x = 5x.$ Следовательно, вероятность выбрать заснеженную елку равна $3x :5x= 0,6,$ вероятность выбрать зеленую елку равна $2x:5x =0,4.$

В среднем на 98 заснеженных небракованных елок приходится 2 заснеженных бракованных, следовательно, вероятность, что среди заснеженных елок попадется небракованная, равна $98 :100 = 0,98.$ В среднем на 96 зеленых небракованных елок приходится 4 зеленых бракованных, следовательно, вероятность выбрать из зеленых елок небракованную равна $96:100= 0,96.$

Тогда вероятность, что случайно купленная в магазине елка не будет бракованной, равна

0,6⋅0,98+ 0,4⋅0,96 = 0,972

Ответ: 0,972

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#75422

На музыкальном фестивале выступают группы — по одной от каждого из заявленных городов. Порядок выступления определяется жеребьёвкой. Какова вероятность того, что группа из Москвы будет выступать после группы из Архангельска, после группы из Казани и после группы из Волгограда?

Показать ответ и решение

Внимательно прочитав условие, понимаем, что нам требуется найти вероятность того, что среди четырёх упомянутых групп группа из Москвы будет выступать последней.

Nota bene:

Порядок проведения жеребьёвки никак не влияет на итоговый порядок выступлений. Иными словами, у каждой из четырёх групп равные шансы выступить первой, второй и т.д.

Учитывая тезис выше, получаем:

P (Г руппа из М осквы вы ступает последней) = 1 = 0,25. 4

Ответ: 0,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#75169

В преддверии Рождества Вилли Вонка спрятал в 45 упаковках шоколадной плитки по одному золотому билету. Эти сорок пять необычных упаковок он смешал с 9955 обычных и выпустил в продажу. Найдите вероятность того, что купленная в случайном магазине упаковка содержит билет на шоколадную фабрику. Результат округлите до тысячных.

Показать ответ и решение

Из условия следует, что всего в продажу было выпущено

9955+ 45 = 10000

упаковок.

В таком случае нас интересует вероятность:

45 P (Попалась необы чная упаковка) =----= 0,0045 ≈ 0,005. 10000

NOTA BENE: При округлении числа, скажем, до сотых результат этого округления зависит от разряда тысячных. Если этот разряд имеет значение из множества ${0,1,2,3,4},$ округление производится в меньшую сторону. Если этот разряд имеет значение из множества ${5,6,7,8,9},$ округление производится в большую сторону.

Поэтому ответ здесь именно $0,005,$ а не $0,004$ — будьте внимательны!

Ответ: 0,005

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#74199

Вероятность того, что в автобусе едет меньше 10 человек, равна $0,29.$ Вероятность, что в автобусе едет не более 16 человек, равна $0,68.$ Найдите вероятность того, что в автобусе едет от 10 до 16 человек.

Показать ответ и решение

Пусть событие $A$ — в автобусе едет меньше 10 человек, $B$ — в автобусе едет от 10 до 16 человек. Тогда событие $A + B$ — в автобусе едет не более 16 человек. События несовместны, а значит можно использовать формулу $P (A + B)= P (A )+P (B).$ Тогда

P(B)= P(A + B)− P(A)= 0,68− 0,29= 0,39.

Ответ: 0,39

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#72200

На борту самолета, летящего из Москвы в Алма-Ату, 12 мест рядом с запасными выходами и 12 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места считаются неудобными для пассажиров высокого роста. Никита Николаевич — высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места Никите Николаевичу достанется удобное место, если всего в самолете 160 мест.

Показать ответ и решение

Из условия понимаем, что комфортными для Никиты Николаевича будут считаться $12 + 12 = 24$ мест из 160 возможных.

Таким образом:

P (Никите Николаевичу достанется комфортное место) =-24 = 0,15. 160

Ответ: 0,15

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#58794

В фирме такси в наличии 40 легковых автомобилей: 22 из них чёрного цвета с жёлтыми надписями на бортах, остальные — жёлтого цвета с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями.

Показать ответ и решение

Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех исходов.

Благоприятные исходы — те, в которых на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями. Их число равно количеству жёлтых машин с чёрными надписями, то есть $40− 22= 18.$

Число всех исходов равно общему количеству машин, то есть 40.

Найдём вероятность:

p= 18 = 0,45 40

Ответ: 0,45

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#58766

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно один раз.

Показать ответ и решение

Пусть $O$ — это орел, $P$ — это решка. Тогда при бросании монеты дважды возможные исходы следующие:

OO, OP, PO, PP

Среди этих четырех исходов подходящих — два. Следовательно, вероятность равна

2 4 = 0,5

Ответ: 0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#58764

Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнет игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх команда «Физик» как минимум один раз начнет игру первой.

Показать ответ и решение

Нужно найти вероятность того, что команда «Физик» хотя бы один раз начнет матч первой. Найдем сначала вероятность того, что команда ни разу не начинает матч первой, а потом посчитаем противоположную к ней вероятность.

Перед началом матча судья бросает монетку, то есть вероятность того, что команда «Физик» не начинает матч, равна $0,5.$ Тогда вероятность того, что команда не начинает ни один из трех матчей первой, равна

0,53 = 0,125

Найдем искомую вероятность:

1− 0,125= 0,875

Ответ: 0,875

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#58463

На соревнованиях по бегу выступают 44 спортсмена, среди них 15 бегунов из Швеции, 18 бегунов из Норвегии и 11 из Дании. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что восьмым будет выступать бегун из Дании.

Показать ответ и решение

Вероятность равна отношения числа благоприятных исходов к числу всех исходов.

Благоприятные исходы — те, в которых восьмым будет выступать прыгун из Дании. Так как каждый из спорстменов равновероятно может выступать восьмым, то число таких исходов равно количеству спорстменов из Дании, то есть 11.

Число всех исходов равно количеству всех спортсменов, то есть 44.

Найдём вероятность:

P = 11 = 1 =0,25 44 4

Ответ: 0,25

Предыдущий раздел

Следующий раздел