Нам подходит любое из трех событий:

или

или

и

Здесь ,

.

Следовательно, вероятность события равна

Взять два красных блюдца с первой полки можно с вероятностью взять две красных чашки со второй полки можно с вероятностью Следовательно,

Тогда, записав аналогично вероятности и найдем

Пусть в нашей терминологии каждая мишень называется целью. Событие «стрелок поражает цель» равно событию «стрелок поражает мишень при первом выстреле ИЛИ стрелок поражает эту же мишень при втором выстреле». Следовательно, вероятность этого события равна Следовательно, — вероятность того, что цель не будет поражена.

Тогда вероятность того, что спустя все выстрелы стрелок поразит ровно одну мишень, равна

(вероятность поразить только первую мишень равна , только вторую — только третью — и т.д.; всего пять различных способов: пнннн, нпннн, ннпнн, нннпн, ннннп, где п — поразит, н — не поразит, вероятность каждого одинакова и равна ).

Вероятность поразить спустя все выстрелы ровно две мишени равна

(аналогично предыдущему рассуждению получаем 10 различных способов: ппннн, пнпнн, пннпн, пнннп, нппнн, нпнпн, нпннп, ннппн, ннпнп, нннпп, где п — поразит, н — не поразит).

Следовательно, искомое отношение этих вероятностей равно

Для того, чтобы в верхнем ящике по прежнему осталось 10 белых и 15 черных кубиков, нам подходит одно из следующих событий:

«Аня взяла 1 белый и 1 черный кубик И Оля взяла 1 белый и 1 черный кубик»;

«Аня взяла 2 черных кубика И Оля взяла 2 черных кубика»;

«Аня взяла 2 белых кубика И Оля взяла 2 белых кубика».

Тогда вероятность искомого события равна и равна

Для того, чтобы в верхнем ящике стало 11 белых и 14 черных кубиков, нам подходит одно из следующих событий:

«Ваня взял 1 белый и 1 черный кубик, а Толя — 2 белых кубика»;

«Ваня взял 2 черных кубика, а Толя — 1 белый и 1 черный кубик».

Тогда вероятность искомого события равна и равна

Если у Вани выпало больше 2 очков, то у него могло выпасть одно из чисел 3,4,5 или 6. Тогда у Пети могло выпасть одно из чисел 1,2,3,4 или 5.

Так как у Вани выпало очков меньше, чем у Пети, то нам подходят следующие пары «Ваня, Петя»: «3,4», «3,5» или «4,5». При этом общее количество пар равно произведению количества вариантов Вани на количество вариантов Пети.

Заметим, что вероятность выпадения любой пары «Ваня, Петя» равна Следовательно, вероятность искомого события равна

Без ограничения общности можно считать, что Олю распределяют первой в какую-то группу, затем Аню, а затем Юлю. Тогда с вероятностью 1 Оля попадет в одну из двух групп. Тогда для Ани осталось 12 подходящих мест из 25, для Юли — 11 подходящих мест из 24. Следовательно, вероятность того, что все три девочки окажутся в одной группе, равна

Без ограничения общности можно считать, что Юру распределяют первым в какую-то подгруппу, затем Борю, а затем Егора. Тогда с вероятностью 1 Юра попадет в одну из трех подгрупп. Тогда для Бори осталось 10 подходящих мест из 14, для Егора — 5 подходящих мест из 13. Следовательно, вероятность того, что все три друга окажутся в разных подгруппах, равна

После округления до сотых получаем

Составим все возможные комбинации и сразу выделим подходящие:

2+1+3, 2+3+1 — 3 варианта;

3+1+2, — 2 варианта;

4+1+1 — 1 вариант.

Таким образом, искомая вероятность равна

После деления в столбик и округления до сотых получим 0,33.

Посчитаем все случаи, кроме тех, в которых хотя бы единожды выпало 6 очков. Таких случаев поскольку в каждом из двух бросков могло выпасть одно из пяти чисел

Посчитаем теперь случаи, когда сумма очков равна 10, причем ни в одном из бросков не выпало 6 очков. Такой случай ровно один:

Тогда искомая вероятноcть равна

Мы не знаем вероятность победы команды А ни в каком раунде (прямым текстом в условии об этом не говорится), но мы можем выстроить гипотетический порядок побед и поражений команды А, чтобы компенсировать этот недостаток информации.

Смотрим в условие: «Все команды разной силы, и в каждой встрече выигрывает та команда, которая сильнее.» То есть в любом возможном исходе все 6 команд так или иначе встают в некоторую турнирную таблицу — от самой слабой команды до самой сильной.

Ещё раз, все команды разной силы, ничья невозможна, значит, можем выстроить следующие цепочки событий в тр̈eх благоприятных для нас ситуациях:

Итоговый турнирный лист: (не А), (не А), (не А), (А), (не А), (не А).

Итоговый турнирный лист: (не А), (не А), (не А), (не А), (А), (не А).

Итоговый турнирный лист: (не А), (не А), (не А), (не А), (не А), (А).

1. Как вы понимаете, мы не знаем точное ранжирование сил команд, но нам важно, чтобы команда А попала ровно на 3 место по силе, места 1, 2 и 6, 5, 4 могут быть заняты кем угодно. Что значит это "кем угодно"? Что нужно учесть все варианты расположения остальных 5 команд:

Это число исходов, где команда А третья из шести по силе.

Резонный вопрос: а что это за ? Ответ: мы не знаем, с какой именно командой будет играть команда А в четвёртом раунде, но мы точно знаем, что к его началу в викторине останутся лишь 3 команды, одна из которых А. Сила остальных двух неизвестна, поэтому приклеим двойку, чтобы учесть и тот исход, где одна команда более сильная, а другая менее, и тот, где ситуация обратна.

Теперь заметим самую хитрую мелочь: вероятность выиграть в этих 12 исходах у команды А нулевая. Почему?

Да потому что если команда А третья по силе, то как же она выступит в 4 раунде, когда осталась только она, команда сильнее её и команда сильнее их обеих? Очевидно, она проиграет в раунде с обеими более сильными командами.

Таким образом, вероятность победы в первом случае равна 0.

2. По аналогичному принципу ищем число исходов, где команда А вторая по силе:

Резонный вопрос: а что это за ? Ответ: мы не знаем, с какой именно командой будет играть команда А в четвёртом раунде, но мы точно знаем что к его началу в викторине останутся лишь 3 команды, одна из которых А. Сила остальных двух неизвестна, поэтому приклеим двойку, чтобы учесть и тот исход, где одна команда сильнее А, а другая слабее, и тот, где ситуация обратна.

Опять же вопрос: а какова вероятность, что с наличием одной более слабой и одной более сильной команды в оппонентах команда А победит? С вероятностью Либо она сыграет со слабой и победит, либо сыграет с сильной и проиграет. Третьего не дано.

3. Ну и самый лёгкий случай: команда А — сильнейшая из шести. Число исходов, где команда А первая по силе:

Раз команда сильнейшая, то она победит в четвёртом раунде с вероятностью 1.

Заметим, что всего исходов при условии, что А выиграла первые три раунда:

Собер̈eм воедино кусочки ответа:

Общее число комбинаций из 4 цифр равно 10000 (от 0000 до 9999).

Пусть первая из 4 цифр равна . Тогда существует единственный вариант, когда цифры идут подряд, причем первая из них равна В качестве могут быть использованы цифры от 3 до 9, так как при число не является цифрой. Значит имеем 7 (количество цифр от 3 до 9) «благоприятных» исходов:

Из 10000 вариантов нам подходит только 7, значит, искомая вероятность равна

Заметим, что в первом раунде возможны только следующие варианты противостояния:

Рассмотрим каждый вариант по отдельности.

1. По условию Паша точно знает, что выберет Маша, значит, он точно выиграет в раунде с ней.

2. По условию Маша точно знает, что выберет Миша, значит, она точно выиграет в раунде с ним.

3. И Миша, и Паша — мальчики, следовательно, в раунде с участием этих ребят в любом случае победит мальчик.

Таким образом (помним, что раз за выбор противников в первом раунде отвечает жеребьёвка, то у каждого варианта противостояния из трёх равные шансы быть осуществлённым в первом раунде):

В условии не уточняется то, каким цветов фигур оппоненты начинают игру, значит введём переменные:

Пусть — вероятность того, что АН первую партию будет играть белыми, тогда — вероятность того, что АН первую партию будет играть черными.

Рассмотрим два варианта:

1. АН начинает белыми:

2. АН начинает черными:

Нас утроит оба исхода, причем события выше являются несовместными, значит, ответ:

Нам подходит любое из трех событий:

(взяли 2 синих блюдца с первой полки и 2 синих чашки со второй полки) или

(взяли 2 красных блюдца с первой полки и 2 красных чашки со второй полки) или

и

Здесь (взяли 1 красное блюдце и 1 синее блюдце с первой полки или взяли 1 синее блюдце и 1 красное блюдце с первой полки),

(взяли 1 красную чашку и 1 синюю чашку со второй полки или взяли 1 синюю чашку и 1 красную чашку со второй полки).

Следовательно, вероятность события равна

Взять два синих блюдца с первой полки можно с вероятностью взять две синих чашки со второй полки можно с вероятностью Следовательно,

Тогда, записав аналогично вероятности и найдем

Ровно 9 решек без учета комбинаций выпадают с вероятностью , а 7 решек — с вероятностью

Количество перестановок элементов из можно посчитать по формуле биномиального коэффициента

Тогда a

Посчитаем отношение вероятностей

Найдём вероятность, что тетрадь в мелкую клетку вынута второй.
Первой была вынута тетрадь в линеечку или крупную клетку. Нам подходят тетрадей из 20. Второй была вынута тетрадь в мелкую клетку. Нам подходят 4 тетради из оставшихся 19. Тогда вероятность равна

Аналогично посчитаем вероятность, что нужная нам тетрадь была вынута третьей:

Тогда итоговая вероятность равна:

Пусть всего в городе людей. Тогда — девушки, — парни.
Тогда подростков–девушек , а просто подростков —
Тогда парней–подростков
Если всего парней то вероятность, что случайный парень является подростком равна

Пусть всего поступают в клинику человек. Тогда человек либо болен гепатитом и у него положительный тест, либо он здоров, но тест у него ложноположительный. Тогда вероятность первого события равна

второго —

а их сумма равна

Вероятность того, что стрелок попадёт первым выстрелом:

Вероятность того, что стрелок попадёт вторым выстрелом при условии, что первый выстрел был неудачным:
Тогда вероятность того, что цель поражена первым или вторым выстрелом равна сумме двух вероятностей выше:

Вероятность того, что стрелок попадёт третьим выстрелом при условии, что первые два выстрела были неудачными:
Тогда вероятность того, что цель поражена первым или вторым или третьим выстрелом равна сумме трёх вероятностей выше:

Следовательно, стрелку нужно дать 3 патрона, чтобы он поразил цель с вероятностью не менее

Составим все возможные комбинации и сразу выделим подходящие:
2+1+5, 2+2+4, , 2+4+2, 2+5+1 — 5 вариантов;
3+1+4, 3+2+3, , 3+4+1 — 4 варианта;
4+1+3, 4+2+2, — 3 варианта;
5+1+2, 5+2+1 — 2 варианта;
6+1+1 — 1 вариант.
Таким образом вероятность равна