06. Решение уравнений —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема 6. Решение уравнений

6.01 Решение уравнений

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#36773

Решите уравнение: $(x − 1)3 +(x + 1)3 = 2(x + 2)(x2 − 2x + 4).$

Показать ответ и решение

Видим, что левая часть уравнения — это сумма кубов, применим соответствующую формулу:

(x− 1)3+(x+1)3 = ((x− 1)+ (x+1 ))((x− 1)2− (x− 1)(x+1 )+(x+1)2) = 2x(x2− 2x+1 − x2+1+x2+2x+1 ) = 2x(x2+3 ) = 2x3+6x.

Правая же часть из себя представляет удвоенную сумму кубов $x$ и $2$ . Действительно:

2(x + 2)(x2 − 2x+ 4) = 2(x+ 2)(x2 − 2⋅x + 22) = 2(x3 + 23) = 2x3 + 16.

Таким образом, получим уравнение:

$pict$

Ответ:

$8 3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#36772

Решите уравнение: $x2 − 16 = 3x − 12.$

Показать ответ и решение

$pict$

Ответ:

$− 1;4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#36771

Решите уравнение: $4x4 − 36x2 = 0.$

Показать ответ и решение

$pict$

Ответ: -3; 0 ; 3.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#19483

Решите уравнение $x−4 7 =49.$

Показать ответ и решение

По свойствам степени имеем:

x−4 7 = 49 7x−4 = 72 x− 4= 2 x = 6

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#18542

Найти корень уравнения $log0,5(x+ 5)= log2 0,2.$

Показать ответ и решение

По свойствам логарифма преобразуем обе части уравнения:

$pict$

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#18122

Найдите корень уравнения $log3(15− x)= log37.$

Показать ответ и решение

По свойствам логарифма имеем:

log3(15− x)= log37 15 − x = 7 x = 8

Ответ: 8

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#18017

Найдите корень уравнения $--1---= --1--. 5x− 14 4x − 3$

Показать ответ и решение

---1-- --1-- 5x − 14 = 4x− 3 4x− 3= 5x− 14 x= 11

Ответ: 11

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#18016

Найдите корень уравнения $1 1 2x−-3-= 8$ .

Показать ответ и решение

$pict$

Ответ: 5,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#17295

Найдите корень уравнения $(1 )x−2 x 6 = 6 .$

Показать ответ и решение

По свойствам степени имеем:

( 1)x−2 ( )x−2 6 = 6−1 =6−x+2

Тогда исходное уравнение примет вид

6−x+2 =6x ⇔ − x+ 2= x ⇔ x = 1

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#17255

Найдите корень уравнения $log4(x+ 3)= log4(4x − 15).$

Показать ответ и решение

$pict$

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#17254

Найдите корень уравнения

log2(15+ x) = log23

Показать ответ и решение

( { log2(15 + x) = log2 3 ⇔ 15+ x = 3 ⇔ x = − 12 ( 15+ x > 0

Ответ: -12

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#16741

Найдите корень уравнения $3 (x + 4) = − 125.$

Показать ответ и решение

Представим правую часть в виде куба и извлечем кубический корень из обеих частей уравнения:

3 3 3 (x +4) = − 125 ⇔ (x +4) = (−5) x +4 = −5 ⇔ x = −9

Ответ: -9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#15797

Решите уравнение $√------ 2x+ 37= 7.$

Показать ответ и решение

Возведем обе части в квадрат:

√ ------ ( 2x+ 37= 7 {2x +37 =49 ( 7 ≥ 0 2x = 12 x = 6

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#2756

Решите уравнение $cosx= −1.$

В ответе укажите сумму наименьших трех положительных корней уравнения, деленную на $π.$

Показать ответ и решение

Данное уравнение равносильно серии корней

x= − π+ 2πn, n ∈ ℤ

Найдем положительные корни уравнения, решив неравенство

−π + 2πn > 0 ⇔ n > 1 2

Значит, первые три положительных корня получаются при $n= 1; 2; 3$ и это $x = π; 3π; 5π.$

Следовательно, их сумма, деленная на $π,$ равна

(π+ 3π+ 5π):π = 9π :π = 9

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#2685

Найдите корень уравнения

√ ------- 2 − x + 22 = (− 2)

Показать ответ и решение

ОДЗ: $− x+ 22 ≥ 0,$ что равносильно $x ≤ 22.$ Решим на ОДЗ:

Исходное уравнение можно переписать в виде

√ ------- − x +22 = 4

При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: $− x+ 22 = 16,$ что равносильно $x = 6.$

Подставим в исходное уравнение: $√ − 6-+-22 = (− 2)2$ – верное равенство, таким образом, ответ $x = 6.$

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#2682

Найдите корень уравнения

2 1 9 x = 49

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

Умножим левую и правую часть уравнения на 9. После умножения: $2x = 37$ , что равносильно $x = 18,5$ – подходит по ОДЗ.

Ответ: 18,5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#2548

Найдите корень уравнения $√2x+-31= 9.$

Показать ответ и решение

ОДЗ уравнения: $2x+ 31≥ 0.$ Так как правая часть уравнения неотрицательна, то данное уравнение имеет решения и преобразуется в:

2x +31 =81 ⇒ x = 25

Данный корень подходит под ОДЗ.

Ответ: 25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#2233

Решите уравнение $√2 sinx = -2 .$

В ответе укажите деленный на $π$ наименьший положительный корень, принадлежащий первой четверти.

Показать ответ и решение

Решениями уравнения являются две серии:

x1 = π-+ 2πk, x2 = 3π+ 2πk, k ∈ ℤ 4 4

$PIC$

Видим, что в первой четверти лежит только серия

x1 = π-+2πk 4

Найдем наименьший положительный корень, решив неравенство

π 1 4-+2πk > 0 ⇔ k > − 8

Тогда наименьшее целое $k = 0,$ при этом получаем корень $π x = 4.$

Следовательно, в ответ запишем число

π- 1 4 :π = 4 = 0,25

Ответ: 0,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#2229

Решите уравнение $1 cosx= 2.$

В ответе укажите сумму наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней.

Показать ответ и решение

Данное уравнение равносильно двум сериям корней

π π x1 = 3 + 2πn, x2 = −3-+ 2πm, n,m ∈ℤ

Найдем положительные корни уравнения, решив неравенства

π-+2πn > 0 ⇔ n> − 1 3 6 − π-+ 2πm > 0 ⇔ m > 1 3 6

Наименьшее подходящее целое $n$ — это $n= 0,$ при нем получается $x= π-. 3$

Наименьшее подходящее целое $m$ — это $m = 1,$ при нем получается $5π x= 3 .$

При этом имеем $π-< 5π. 3 3$

Аналогично найдем наибольший отрицательный корень, он получается из второй серии корней при $m = 0 :$ $x = − π. 3$

Тогда сумма наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней равна

π π − 3 + 3-= 0

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#2228

Решите уравнение $sinα = 1.$

В ответе укажите наименьший положительный корень уравнения, деленный на $π.$

Показать ответ и решение

Данное уравнение равносильно серии корней

π α = 2-+2πn, n ∈ℤ

Найдем положительные корни уравнения, решив неравенство:

π-+2πn > 0 ⇔ n> − 1 2 4

Наименьшее подходящее целое $n$ — это $n= 0,$ при нем получается $α= π. 2$

Следовательно, в ответ пойдет

π 1 2-:π = 2 = 0,5

Ответ: 0,5

Предыдущий раздел

Следующий раздел