Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством

Так как косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе, то

Так как косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе, то

Следовательно, можно принять Тогда по теореме Пифагора для

Следовательно,

Обозначим вершины, как показано на рисунке, и проведем среднюю линию трапеции:

По свойству средней линии Тогда по теореме Фалеса и — середины диагоналей трапеции. Следовательно, — искомый отрезок.

Заметим, что — средняя линия Следовательно, Также — средняя линия значит, Тогда

Обозначим вершины, как показано на рисунке:

Проведем Так как диагонали трапеции перпендикулярны, то Также, так как трапеция равнобедренная, то диагонали равны, следовательно, можно принять (по построению — параллелограмм, следовательно, ). Следовательно, равнобедренный.

Заметим, что численно равна высоте проведенной к которая также является и медианой. Обозначим ее за В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, следовательно,

Так как — параллелограмм, то Следовательно, Отсюда

Обозначим вершины, как показано на рисунке:

По свойству равнобедренной трапеции Следовательно, — прямоугольный и равнобедренный, значит, Рассмотрим Он прямоугольный, один из его острых углов равен следовательно, второй тоже, значит, — раввнобедренный. Отсюда следует, что

По свойству равнобедренной трапеции Тогда Следовательно,

В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны. Площад выпуклого четырехугольника, диагонали которого взаимно перпендикулярны, равна полупроизведению диагоналей. Следовательно, площадь ромба равна

Здесь за обозначена вторая диагональ, которую и нужно найти.

Обозначим вершины, как показано на рисунке:

По свойству равнобедренной трапеции Так как тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему, то

Так как — биссектриса, то Тогда Так как — медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, то она равна половине гипотенузы, следовательно, — равнобедренный, значит, Заметим, что следовательно, следовательно, и есть меньший угол в

Диагональ квадрата со стороной равна т.е. при диагональ равна

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, то есть

Тогда длина диагонали равна

Так как — прямоугольник, то его диагонали точкой пересечения делятся пополам:

Значит, треугольник — равнобедренный и

Тогда один из углов между диагоналями равен

При этом другой угол между диагоналями равен

Таким образом, острый угол между диагоналями равен

Так как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны, то поскольку эти углы опираются на дугу Тогда искомый угол равен

Так как площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание, к которому проведена эта высота, то

С другой стороны, если обозначить за высоту, проведенную к меньшей стороне, то

Тогда окончательно имеем:

Площадь треугольника равна полупроизведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Следовательно, с одной стороны, а с другой стороны Здесь — высота, которую нужно найти. Тогда имеем:

Так как для любого многоугольника, в который можно вписать окружность, верно где — полупериметр, а — радиус вписанной окружности, то

Так как четырехугольник вписан в окружность, то сумма его противоположных углов равна Следовательно,

Отсюда получаем

Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то

Аналогично меньшая дуга (см.рис.). Следовательно, меньшая дуга (см.рис.).

Значит как вписанный и опирающийся на дугу, равную сам равен

Пусть — боковая сторона треугольника.

Площадь треугольника равна полупроизведению сторон на синус угла между ними, следовательно,

Площадь треугольника равна полупроизведению сторон на синус угла между ними, следовательно,

Назовем трапецию как показано на рисунке.

Тогда и — ее основания.

Высота, опущенная из на прямую равна

Следовательно, площадь:

Назовем вершины прямоугольника:

Тогда длина отрезка — модуль разности абсцисс точек и длина отрезка — модуль разности ординат точек и

Следовательно, площадь прямоугольника равна