Прямые и плоскости в трёхмерном пространстве. —Каталог задач по Высшей математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Другое - Высшая математика
Прямые и плоскости в трёхмерном пространстве.

Тема Аналитическая геометрия

06 Прямые и плоскости в трёхмерном пространстве.

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела аналитическая геометрия

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#71897

Составить уравнения ортогональной проекции прямой $x−31= y+21 = z−12$ на плоскость $5x + 6y − 2z + 1 = 0$ .

Показать ответ и решение

Проведем через нашу прямую плоскость, перпендикулярную данной плоскости. И тогда пересечение этих плоскостей и будет ортогональной проекцией нашей прямой на данную плоскость.

Из канонического уравнения прямой мы знаем:
направляющий вектор прямой: $(3,2,1)$
точка, принадлежащая прямой: $(1,− 1,2)$

Чтобы новая плоскость содержала нашу прямую, она должна содержать точку $(1,− 1,2)$ и быть параллельной веткору $(3,2,1)$ .
А чтобы новая плоскость была перпендикулярна плоскости $5x + 6y − 2z + 1 = 0$ , нужно, чтобы она была параллельна вектору нормали к этой плоскости, то есть вектору $(5,6,− 2)$ . Получаем параметрическое уравнение плоскости:
$( ||x = 1 + 3v + 5u |{ y = − 1+ 2v + 6u |||( z = 2 + v − 2u$
В целом, этого достаточно.

Или можем переписать уравнение новой плоскости в общем виде: $10x − 11y − 8z − 5 = 0$ .

Ответ.

$({ 10x− 11y − 8z − 5 = 0 ( 5x+ 6y − 2z + 1 = 0$

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#71896

Составить уравнения биссекторных плоскостей двугранных углов между плоскостями:

1): $α : 7x+ y − 6 = 0, β : 3x + 5y − 4z + 1 = 0$ ;
2): $α : x− 2y + 2z + 3 = 0, β : 4x+ y − 8z − 1 = 0$ .

Показать ответ и решение

1)

Найдем какую-нибудь точку пересечения плоскостей $α$ и $β$ (она нам пригодится в конце). Например, подойдет точка $1 P (1,− 1,−-) 4$ . Найдем направляющий вектор линии пересечения плоскостей, т.е. такой вектор $v = (v1,v2,v3)$ , который параллелен обеим плоскостям:

( { 7v + v = 0 1 2 ( 3v1 + 5v2 − 4v3 = 0

Например, подойдет вектор $v = (− 1,7,8)$ .

Тогда в качестве плоскости, перпендикулярной обеим данным, можно взять плоскость $γ : − x + 7y + 8z = 0$ .

Найдем направляющий вектор пересечения $γ$ с $α$ , т.е. вектор $u = (u1,u2,u3)$ , удовлетворяющий системе:

({ 7u1 + u2 = 0 ( − u + 7u + 8u = 0 1 2 3

Например, подойдет вектор $u = (− 4,28,− 25)$ .

Найдем направляющий вектор пересечения $γ$ с $β$ , т.е. вектор $w = (w1,w2, w3)$ , удовлетворяющий системе:

( { 3w1 + 5w2 − 4w3 = 0 ( − w1 + 7w2 + 8w3 = 0

Например, подойдет вектор $w = (34,− 10,13)$ .

Можно проверить, что $u$ и $w$ имеют одинаковую длину (нам просто повезло; в отсутствие такого везения пришлось бы их отнормировать).

Векторы $u ||α$ и $w ||β$ по построению являются перпендикулярами к линии пересечения плоскостей $α$ и $β$ , поэтому одна биссекторная плоскость натянута на векторы $v = (− 1,7,8)$ и $u+ w = (30,18,− 12) ∼ (5,3,− 2)$ , а вторая – на векторы $v = (− 1,7,8)$ и $u − w = (− 38,38,− 38) ∼ (− 1,1,− 1)$ .

Найдем вектор нормали к первой биссекторной плоскости, т.е. $n = (n1,n2,n3)$ , удовлетворяющий системе:

( { − n + 7n + 8n = 0 1 2 3 ( 5n1 + 3n2 − 2n3 = 0

например, подойдет вектор $(1,− 1,1)$ .

Тогда первая биссекторная плоскость задается уравнением вида $x − y + z + c = 0$ , $c$ находится из условия принадлежности этой плоскости точки $P$ , которую мы нашли в начале:

1- 7- 1+ 1 − 4 + c = 0 ⇔ c = − 4 .

Итак, первая биссекторная плоскость имеет уравнение $4x− 4y + 4z − 7 = 0$ .

Вторая ищется совершенно аналогично. Сначала из системы

( { − m1 + 7m2 + 8m3 = 0 ( − m1 + m2 − m3 = 0

находим вектор $m = (m1,m2, m3 )$ , перпендикулярный $v$ и $u − w$ , т.е. вектор нормали ко второй биссекторной плоскости. Получаем $m = (− 5,− 3,2)$ .

Тогда вторая биссекторная плоскость задается уравнением вида $− 5x − 3y + 2z + d = 0$ , где $d$ находится из условия принадлежности этой плоскости точки $P$ :

1 5 − 5 + 3− --+ d = 0 ⇔ d = -. 2 2

Итого, вторая биссекторная плоскость задается уравнением $10x+ 6y − 4z − 5 = 0$ .

2)

Снова начнем с поиска пересечения плоскостей. Точка $P(3,5,2)$ удовлетворяет обоим уравнениям, следовательно лежит на линии пересечения (понадобится в конце). Направляющий вектор $v = (v1,v2,v3)$ линии пересечения находится из системы

( { v − 2v + 2v = 0 1 2 3 ( 4v1 + v2 − 8v3 = 0

которая говорит о том, что вектор $v$ параллелен $α$ и $β$ . Например, подойдет вектор $(14,16,9)$ .

Плоскость $α$ натянута на векторы $a = (2,1,0) 1$ и $a = (0,1,1) 2$ . Найдем вектор $a = k1a1 + k2a2$ плоскости $α$ , который перпендикулярен вектору $v$ , т.е. линии пересечения плоскостей $α$ и $β$ :

14⋅2k1 + 16 ⋅(k1 + k2)+ 9 ⋅k2 = 0 ⇔ 44k1 + 25k2 = 0.

Положим $k1 = − 25, k2 = 44$ . Тогда $a = (− 50,19,44)$ .

Плоскость $β$ натянута на векторы $b1 = (− 1,4,0)$ и $b2 = (0,8,1)$ . Найдем вектор $b = s1b1 + s2b2$ плоскости $β$ , который перпендикулярен вектору $v$ :

− 14s1 + 16⋅ (4s1 + 8s2)+ 9s2 = 0 ⇔ 50s1 + 137s2 = 0.

Положим $s1 = − 137,s2 = 50$ . Тогда $b = (137,− 148,50)$ . Можно проверить, что векторы $a ′ = 3⋅a = (− 150,57,132)$ и $b$ имеют равные длины.

Тогда первая биссекторная плоскость натянута на векторы $v = (14,16,9)$ и $a ′ + b = (− 13,− 91,182) ∼ (− 1,− 7,14)$ , а вторая – на векторы $v = (14,16, 9)$ и $a ′ − b = (− 287,205,82) ∼ (− 7,5,2)$ .

Нормаль $n = (n1, n2,n3)$ к первой биссекторной плоскости удовлетворяет системе

({ 14n1 + 16n2 + 9n3 = 0 ( − n1 − 7n2 + 14n3 = 0

Например, можно взять $n = (− 7,5,2)$ . Тогда первая биссекторная плоскость задается уравнением вида $− 7x+ 5y + 2z + c = 0$ , где $c = − 8$ находится подстановкой точки $P (3,5,2)$ (нашли ее в начале решения).

Нормаль $m = (m1, m2,m3 )$ ко второй биссекторной плоскости удовлетворяет системе

( {14m1 + 16m2 + 9m3 = 0 ( − 7m1 + 5m2 + 2m3 = 0

Например, подойдет $m = (− 1,− 7,14 )$ . Тогда вторая биссекторная плоскость задается уравнением вида $− x− 7y + 14z + d = 0$ , где $d = 10$ определяется подстановкой точки $P$ .

Таким образом, получены ответы $7x − 5y − 2z + 8 = 0$ и $x + 7y − 14z − 10 = 0$ .

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#71895

Найти точку, симметричную точке $(1,3,− 4)$ относительно плоскости $3x + y − 2z = 0$ .

Показать ответ и решение

Чтобы точка $B$ была симметрична точке $A$ относительно плоскости $π$ , нужно, чтобы прямая $AB$ была перпендикулярна плоскости $π$ и чтобы точка пересечения плоскости $π$ и прямой $AB$ делила отрезок $AB$ попалам.

Проведем через точку $A = (1,3,− 4)$ прямую, перпендикулярную плоскости. Направляющим вектором данной прямой будет нормаль к плоскости. Таким образом, мы можем взять $(3,1,− 2)$ как направляющий вектор прямой. Получаем:
$( ||x = 1 + 3t |{ y = 3 + t ||| (z = − 4− 2t$
Это и будет нашей прямой $AB$ .

Найдем значение параметра $t$ , соответствующего точке пересечения этой прямой и нашей плоскости:
$3(1 + 3t0) + (3+ t0)− 2(− 4− 2t0) = 0$
$t0 = − 1$

Точке $A$ соответствует $t = 0$ , середине отрезка $AB$ соответствует $t = − 1$ , следовательно, точке $B$ соответствует $t = 2 ⋅(− 1) = − 2$ .
Отсюда: $B = (1 + 3(− 2),3+ (− 2),− 4 − 2(− 2 )) = (− 5,1,0)$ .

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#71894

Найти точку $B$ , симметричную точке $A (1,2,3 )$ относительно прямой

x − 8 y − 11 z − 4 l :----- = ------ = -----. 1 3 − 1

Показать ответ и решение

Найдем точку $C$ на прямой $l$ такую, что $− → AC ⊥ l$ .

Любая точка $C$ прямой $l$ имеет вид $(8+ t,11+ 3t,4 − t)$ при некотором $t$ . Соответственно, вектор $−→ AC$ , проведенный в точку прямой $l$ , имеет координаты $(7+ t,9 + 3t,1 − t)$ . Условие $−→ AC ⊥ l$ означает равенство нулю скалярного произведения направляющего вектора прямой и вектора $−→ AC$ :

1 ⋅(7 + t)+ 3 ⋅(9+ 3t)− 1 ⋅(1− t) = 0 ⇔ t = − 3.

Точку $B$ теперь можно найти так: $−→ B = A + 2 ⋅AC$ , т.е.

B = (1,2,3) + 2⋅(4,0,4) = (9,2,11).

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#71892

Найти расстояние от точки $(1,3,5)$ до прямой: $( { 2x + y + z − 1 = 0 ( 3x + y + 2z − 3 = 0$

Показать ответ и решение

Идея решения: прямая у нас задана пересечением плоскостей. Проведем через точку $A = (1,3,5)$ плоскость $π$ , перпендикулярную нашей прямой. Тогда мы сможем найти точку $P$ пересечения плоскости $π$ и нашей прямой. Эта точка пересечения будет основанием перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на нашу прямую (так как вся плоскость $π$ перпендикулярна прямой, то и $AP$ будет ей перпендикулярно).
Таким образом, расстояние от точки $A$ до прямой будет равно расстоянию от $A$ до точки $P$ .

Заметим, что так как прямая задана пересечением плоскостей, то нормали к этим плоскостям перпендикулярны нашей прямой. То есть мы можем использовать векторы $(2,1,1)$ и $(3,1,2)$ как направляющие для плоскости $π$ .
Таким образом, мы можем записать параметрическое уравнение $π$ , используя векторы $(2,1,1)$ и $(3,1,2)$ и точку $A = (1,3,5)$ (так как нам нужно, чтобы плоскость проходила через эту точку):
$( |||{x = 1 + 2 ⋅u+ 3 ⋅v = 1+ 2u + 3v ||y = 3 + 1⋅u + 1 ⋅v = 3+ u + v |(z = 5 + 1⋅u + 2 ⋅v = 5+ u + 2v$

Теперь найдем точку пересечения этой плоскости и нашей прямой:
$( {2(1 + 2u + 3v)+ (3+ u+ v) + (5+ u + 2v)− 1 = 0 ( 3(1 + 2u + 3v)+ (3+ u+ v) + 2(5+ u + 2v)− 3 = 0$ $⇔$

$({ 6u+ 9v + 9 = 0 ( 9u+ 14v + 13 = 0$ $⇔$ $({ v = 1 (u = − 3$

Получаем, что точкой пересечения будет $P = (− 2,1,4)$ .

Тогда расстояние от $A$ до нашей прямой = расстоянию между точками $A$ и $P$ , что равно $∘ ------------------------------ √ --------- √--- (1 − (− 2)2 + (3 − 1)2 + (5 − 4)2) = 9+ 4 + 1 = 14$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#71891

Составить уравнение плоскости, проходящей через ось $Oz$ и равноудаленной от точек $A(2,3,− 10 )$ и $B (1,− 3,19)$ .

Показать ответ и решение

Рассмотрим плоскость $yOz$ , задающуюся уравнением $x = 0$ . Расстояние от нее до точки $A$ равно $|xA| = 2$ . Расстояние от нее до точки $B$ равно $|xB | = 1$ . Таким образом, эта плоскость не удовлетворяет условию задачи.

Все остальные плоскости, проходящие через ось $Oz$ , имеют вид $αk : y = kx$ (однопараметрическое семейство). Вектор нормали к плоскости $αk$ имеет вид $nk = (− k,1,0)$ .

«Пройдем» в направлении $n k$ от точки $A$ так, чтобы попасть на плоскость, т.е. найдем такое $q$ , что $A + q ⋅nk = (2− kq, 3+ q, − 10) ∈ αk$ :

2k − 3 3 + q = k (2 − kq) ⇔ q = 1-+-k2.

Таким образом, расстояние от точки $A$ до плоскости $αk$ равно длине вектора $q ⋅nk$ :

ρ(A, α ) = |2k-−-3| ⋅||(− k,1,0)|| = |√2k-−-3|. k 1+ k2 1+ k2

Аналогично, найдем такое $p$ , что $B + p ⋅n = (1− pk, − 3 + p,19) ∈ α k k$ :

− 3+ p = k(1 − pk) ⇔ p = -k +-3-. 1 + k2

Расстояние от $B$ до $αk$ равно

|k + 3| ρ(B,αk ) = |p|⋅||nk || = √----2. 1 + k

Из условия $ρ(A,αk ) = ρ(B, αk)$ находим $k = 6$ или $k = 0$ .

Итого, нам подходят две плоскости: $6x− y = 0$ и $y = 0$ .

Ответ:

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#71890

Установить в каждом из следующих случаев, лежит ли прямая $l$ в плоскости $P$ , параллельна плоскости $P$ или пересекает ее; в последнем случае найти точку пересечения прямой и плоскости:

1.: $x−1 y+2 z+1 l :-−1 = -7- = --7$ , $P : 7x+ 2y − z + 7 = 0$
2.: $l : x = y−2 = z+1 0 2 1$ , $P : 5x− y + 6z = 0$
3.: $l : x1 = y−11 = z+11$ , $P : x− 3y + 2z + 5 = 0$
4.: $l : x − 3y + 1 = 0, 2x+ y − 5 = 0$ , $P : x + 2y − 2z − 2 = 0$
5.: $l : x + 2y + z − 1 = 0,x+ y − 2 = 0$ , $P : 3x + 2y − z − 6 = 0$

Показать ответ и решение

Заметим, что чтобы прямая была параллельна плоскости или лежала в ней, необходимо, чтобы её направляющий вектор был параллелен этой плоскости ( $⇔$ направляющий вектор прямой был перпендикулярен нормали к плоскости). Соответственно, так как плоскости $P$ заданы общим уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$ , то мы будет проверять, перпендикулярен ли направляющий веткор прямой вектору $(A,B, C )$ через скалярное произведение (если вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение равно 0).
Чтобы различить лежит ли прямая в плоскости или она ей параллельна, нужно будет проверить, лежит ли какая-то одна точка прямой на плоскости (подставив точку в уравнение плоскости).

1.

$l : x−1 = y+2 = z+1 −1 7 7$ , $P : 7x+ 2y − z + 7 = 0$

Прямая задана каноническим уравнением, так что мы сразу получаем:
Направляющий вектор прямой: $(− 1,7,7)$
Точку на прямой: $(1,− 2,− 1)$

Проверим, пересекает ли прямая плоскость:
$(− 1,7,7)(7,2,− 1) = − 7 + 17− 7 = 0$ - получаем, что прямая либо параллельна, либо принадлежит плоскости.

Проверим, лежит ли прямая в плоскости:
$7 ⋅1 + 2⋅(− 2)− 1⋅ (− 1)+ 7 = 11 ⁄= 0$ - получаем, что прямая не принадлежит плоскости. Значит, параллельна.

2.

$l : x = y−2 = z+1 0 2 1$ , $P : 5x− y + 6z = 0$

Прямая задана каноническим уравнением, так что мы сразу получаем:
Направляющий вектор прямой: $(0,2,1)$
Точку на прямой: $(0,2,− 1)$

Проверим, пересекает ли прямая плоскость:
$(0,2,1)(5,− 1,6) = 0 − 2+ 6 = 4$ - получаем, что прямая пересекает плоскость

Чтобы найти в какой именно точке это происходит, перепишем уравнение прямой в параметрическом виде, а потом подставим получившиеся соотношения в уравнение плоскости:

$(||| x = 0+ 0 ⋅t = 0 { || y = 2+ 2 ⋅t = 2 + 2t |( z = − 1 + 1⋅t = − 1 + t$

Подставляем:
$5 ⋅0 − (2 + 2t)+ 6(− 1+ t) = 0$
$4t − 8 = 0$
$t = 2$

Получаем точку: $x = 0, y = 2+ 4 = 6, z = − 1 + 2 = 1$

3.

$y−1 l : x1 =-1- = z+11$ , $P : x− 3y + 2z + 5 = 0$

Прямая задана каноническим уравнением, так что мы сразу получаем:
Направляющий вектор прямой: $(1,1,1)$
Точку на прямой: $(0,1,− 1)$

Проверим, пересекает ли прямая плоскость:
$(1,1,1)(1,− 3,2) = 1 − 3+ 2 = 0$ - получаем, что прямая либо параллельна, либо принадлежит плоскости.

Проверим, лежит ли прямая в плоскости:
$1 ⋅0 + (− 3)⋅1 + 2⋅ (− 1)+ 5 = − 5+ 5 = 0$ - получаем, что прямая принадлежит плоскости

4.

$l : x − 3y + 1 = 0, 2x+ y − 5 = 0$ , $P : x + 2y − 2z − 2 = 0$

Так как прямая здесь задана пересечением плоскостей, то можем сразу найти есть ли у прямой и плоскости $P$ общие точки. Если есть одна общая точка, то прямая пересекает плоскость $P$ , если общих точек бесконечно много, то прямая лежит в плоскости $P$ , а если общих точек нет, то прямая плоскости $P$ параллельна.

Общие точки (если они есть) будут принадлежать и плоскости $P$ , и плоскостям, пересечение которых образует прямую $l$ . Таким образом общие точки будут решением системы:

$(||| x− 3y + 1 = 0 { || 2x+ y − 5 = 0 |( x+ 2y − 2z − 2 = 0$

У этой системы есть одно решение: $(2,1,1)$ . Значит, прямая пересекает плоскость.

5.

$l : x + 2y + z − 1 = 0,x+ y − 2 = 0$ , $P : 3x + 2y − z − 6 = 0$

Так как и здесь прямая задана пересечением плоскостей, то будем решать аналогично предыдущему пункту. Запишем систему:

$( || x+ 2y + z − 1 = 0 |{ x+ y − 2 = 0 |||( 3x+ 2y − z − 6 = 0$

У этой системы решений нет. Следовательно, прямая параллельна плоскости.

Ответ.

1.: параллельна
2.: пересекает в точке $(0,6,1)$
3.: прямая лежит в плоскости
4.: пересекает в точке $(2,1,1)$
5.: параллельна

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#71889

При каком необходимом и достаточном условии четыре плоскости образуют тетраэдр?

A x + B y + C z + D = 0, A x + B y + C z + D = 0 1 1 1 1 2 2 2 2

A3x + B3y + C3z + D3 = 0, A4x + B4y + C4z + D4 = 0

Показать ответ и решение

Если наши четыре плоскости образуют тетраэдр, то это означают, что любые три плоскости из этих четырех имеют только одну общую точку.

Это означает, что никакая тройка нормалей к этим четырем плоскостям некомпланарна. То есть:

( A B C ) ( A B C ) | 1 1 1| | 1 1 1| det|( A2 B2 C2|) ⁄= 0 det|( A2 B2 C2|) ⁄= 0 A B C A B C 3 3 3 4 4 4

( ) ( ) A B C A B C | 1 1 1| | 4 4 4| det|( A3 B3 C3|) ⁄= 0 det|( A2 B2 C2|) ⁄= 0 A B C A B C 4 4 4 3 3 3

Далее, нам нужно, чтобы все четыре плоскости не пересекались в одной точке, иначе никакого тетраэдра не получится.

Четыре плоскости не пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

( ) | A1 B1 C1 D1| || A2 B2 C2 D2|| det|| || ⁄= 0 ( A3 B3 C3 D3) A4 B4 C4 D4

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#71888

Провести плоскость через параллельные прямые:

x − 1 y + 1 z − 2 x y − 1 z + 2 ----- = ----- = -----, --= -----= ----- 1 − 2 3 1 − 2 3

Показать ответ и решение

Пусть уравнение плоскости $ax + by + cz + d = 0$ . Нам известны 2 точки на плоскости $(1,− 1,2),(0,1,− 2)$ и вектор направления прямых $(1,− 2,3)$ . Найдем еще один вектор, лежащий на этой плоскости $(1,− 2,4)$ . Теперь мы можем найти вектор нормали плоскости $(a,b,c)$ , используя то, что вектор нормали перпендикулярен двум векторам:

({ x − 2y + 3z = 0 (x − 2y + 4z = 0

Получаем вектор $(2,1,0)$ . Осталось найти свободный член, подставив в уравение плоскости точку:

2x+ y + d = 0, 1 + d = 0, d = − 1

Тогда уравнение плоскости: $2x + y − 1 = 0$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#71887

Составить уравнения прямой, которая проходит через точку $A (1,− 5,3)$ и образует с осями координат углы, соответственно равные $π∕3,π∕4,2π ∕3$ . Система координат прямоугольная.

Показать ответ и решение

Направляющий вектор прямой, в соответствии с условием, имеет координаты

π π 2π 1 √2-- 1 ( cos-, cos--, cos--) = (-,---,− -). 3 4 3 2 2 2

Таким образом, канонические уравнения прямой в пространстве

x-−-1 y√+-5 z-−-3 1- = 2 = 1-, 2 -2- − 2

или, что то же самое,

x-−-1 = y√+-5 = z-−-3. 1 2 − 1

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#71465

Составить уравнения прямой, лежащей в плоскости $α : x + z = 0$ и пересекающей прямую

x − 2 y − 8 z − 3 l1 :----- = -----= -----, 3 11 2

но не имеющей общих точек с прямой

( || x = 1 + t |{ l2 : y = 3+ 4t, |||( z = − 1− t,

Показать ответ и решение

Заметим, что прямая $l2$ лежит в плоскости $α$ . Это можно понять, если подставить формулы для $x$ , $y$ , $z$ из параметрического уравнения $l2$ в общее уравнение $α$ , и увидеть, что будет:

1 + t+ (− 1− t) = 0 дл я л юбого t

То есть тождественное равенство нулю вне зависимости от $t$ . Таким образом, любая точка, лежащая в $l2$ , лежит также и в $α$ .

Далее, поскольку искомая прямая тоже лежит в плоскости $α$ и не пересекает $l2$ , она должна быть параллельна $l2$ . Следовательно, за направляющий вектор искомой прямой можно взять направляющий вектор прямой $l2$ , то есть $(1,4,− 1)$ .

Определим, в какой точке пересекаются прямая $l1$ и плоскость $α$ , для этого решим систему:

(| x-−-2 y-−-8 ||| 3 = 11 |||| ||{ z-−-3 = y-−-8 ||| 2 11 |||| ||| ( x + z = 0

Ее решением является точка $(− 1,− 3,1)$ . Таким образом, искомая прямая должна проходить через эту точку, т.е. ее каноническое уравнение

x + 1 y + 3 z − 1 ----- = ----- − -----. 1 4 − 1

Ответ:

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#71464

Определить, какие из следующих пар плоскостей пересекаются, параллельны или совпадают. Если плоскости пересекаются, найти канонические уравнения линии пересечения:

1.: $x + 2y − z + 1 = 0, x + y − 2z + 1 = 0$
2.: $x − 3y + 7z + 1 = 0, 3x − 9y + 21z + 3 = 0$
3.: $x − 3y + 2z + 2 = 0, 2x − 6y + 4z + 5 = 0$
4.: $( | x = 1+ 2u + v ||{ y = 3u+ 2v ||| ( z = − 1 + u+ v$ $( | x = 4u + 3v ||{ y = − 2+ u − 4v ||| ( z = 3+ u+ 2v$
5.: $(| ||{ x = − 3 + u + 2v y = − v ||| ( z = u$ $(| ||{ x = 1 + 3u y = 2 − u+ v ||| ( z = 8 + u+ 2v$
6.: $( ||| x = − 3 + u + 4v { || y = 3+ u + v , x + 2y − 3z + 2 = 0 |( z = 2+ u + 2v$

Показать ответ и решение

1.

$x + 2y − z + 1 = 0, x + y − 2z + 1 = 0$ . Так как вектора нормали не коллинеарны, то плоскости пересекаются. Вектор направления прямой будет векторным произведением нормалей к плоскостям. Нормали $⃗ ⃗a = (1,2,− 1),b = (1,1,− 2)$ , тогда векторное произведение: $⃗ [⃗a, b] = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) = (− 4 − (− 1),− 1− (− 2),1− 2) = (− 3,1,− 1)$ . Точка, через которую проходят обе плоскости, $(0, −31, 13)$ . Тогда каноническое уравнение линии пересечения: $x--= y+-13= z− 13 −3 1 − 1$ .

2.

$x − 3y + 7z + 1 = 0, 3x − 9y + 21z + 3 = 0$ . Мы можем второе уравнение плоскости поделить на 3 и от этого плоскость не изменится: $x− 3y + 7z + 1 = 0$ , получится первое уравнение, то есть плоскости совпадают.

3.

$x − 3y + 2z + 2 = 0, 2x − 6y + 4z + 5 = 0$ . Вектора нормали $(1,− 3,2)$ и $(2,− 6,4)$ , они отличаются умножением на константу, следовательно коллинеарны. Если поделим на два второе уравнение, то получим: $x − 3y + 2z + 2.5 = 0$ . Отличается только свободный член, значит, плоскости параллельны.

4.

Нам даны направляющие векторы плоскостей $⃗a1 = (2,3,1),⃗a2 = (1,2,1)$ и $⃗b = (4,1,1),⃗b = (3,− 4,2) 1 2$ . Нужно понять являются ли они компланарными, для этого запишем их в матрицу и найдем ранг. Если ранг равен двум, то 4 вектора компланарны, значит, плоскости либо совпадают, либо параллельны.

( ) ( ) | 2 3 1| | 1 2 1| || 1 2 1|| || 0 − 1 − 1|| | | − > | | |( 4 1 1|) |( 0 0 4|) 3 − 4 2 0 0 9

Ранг получился три, то есть вектора не компланарны. Следовательно, плоскости пересекаются. Найдем вектор направления прямой пресечения этих двух плоскостей как векторное произведение нормалей. Нормали к этим плоскостям, в свою очередь, найдем как векторное произведение направляющих векторов плоскости: $⃗n1 = [⃗a1, ⃗a2] = (1,− 1,1)$ , $⃗n2 = [⃗b1, ⃗b2] = (6,− 5,− 19 )$ .

Далее: $⃗v = [⃗n1, ⃗n2] = (24,25,1)$ - направляющий вектор искомой прямой пересечения. Осталось найти точку на прямой. Для этого давайте сначала запишем уравнение первой и второй плоскости в общем виде:

x− y + z = 0

6x − 5y − 19z + 47 = 0

И нам нужна точка, удовлетворяющая и первому и второму уравнению. Подойдёт, например, точка $(1,3,2)$ Тогда можем записать каноническое уравнение прямой пересечения наших плоскостей:

x− 1 y − 3 z − 2 -----= -----= ----- 24 25 1

5.

Нам даны направляющие векторы плоскостей $⃗a1 = (1,0,1),⃗a2 = (2,− 1,0)$ и $⃗ ⃗ b1 = (3,− 1,1),b2 = (0,1,2)$ . Найдем нормали этих плоскостей $⃗n1 = [⃗a1, ⃗a2] = (1,2,− 1)$ , $⃗n2 = [⃗b1, ⃗b2] = (− 3,− 6,3)$ . Заметим, что вектора нормали коллинеарны, значит, плоскости либо параллельны либо совпадают. Если они совпадают, то любая точка, принадлежащая первой плоскости, принадлежит и второй. Проверим точку $(− 3,0,0)$ : из первого равенства для $x$ , следует, что $u = −34-$ , подставляя это значение $u$ во второе для $y$ , получим $v = − 313$ , тогда $z = 8 − 4 − 62 = 0 3 3$ . Следовательно, точка принадлежит второй плоскости. Следовательно, параллельными эти плоскости быть не могут. Значит, они совпадают.

6.

Рассмотрим нормаль к первой плоскости: $⃗n = [⃗a1, ⃗a2] = [(1,1,1),(4,1,2)] = (1,2,− 3)$ . Заметим, что у второй плоскости такой же вектор нормали. Значит, они либо параллельны, либо совпадают. Если они совпадают, то любая точка, принадлежащая первой плоскости, принадлежит и второй. Проверим точку $(− 3,3,2 )$ , лежащую в первой плоскости и подставим её координаты во второе уравнение: $− 3 + 6− 6+ 2 ⁄= 0$ , точка не лежит на второй плоскости. Значит, плоскости параллельны.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#71463

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку $(3,5,1)$ и отсекающей на осях координат равные по длине отрезки.

Показать ответ и решение

Напомним, что общее уравнение плоскости имеют вид: $Ax + By + Cz + D = 0$ , где $(A,B, C )$ - вектор нормали к данной плоскости.

Пусть плоскостей отсекает от осей координат равные по длине отрезки. Это означает, плоскость будет проходить через точки вида $(±a,0,0)$ , $(0,±a,0)$ и $(0,0,±a)$ .

Тогда подставим такие точки в общее уравнение плоскости, получим:
$± Aa + D = 0$ , $± Ba + D = 0$ , $± Ca + D = 0$ .
Отсюда следует, что $|D | = |Aa| = |Ba | = |Ca |$ , а, значит, и $|A | = |B | = |C | ⁄= 0$ .

Получили, что нормалями к плоскостям из условия будут вектора вида $(±n, ±n,±n ), n ⁄= 0$ . Заметим, что нормали вида $(n,n, n)$ и вида $(− n,− n,− n)$ задают параллельные плоскости (то есть нам достаточно взять только одну нормаль из подобной пары).

Мы можем взять любой $n ⁄= 0$ для нормали, например, $n = 1$ . Тогда получаем следующие возможные нормали: $(1,1,1), (1,1,− 1), (1,− 1,1)$ , $(1,− 1,− 1)$ .
Получаем, что возможные плоскости имеют вид:
$x + y + z + D1 = 0$
$x + y − z + D2 = 0$
$x − y + z + D3 = 0$
$x − y − z + D4 = 0$

Осталось понять, какие выбрать $D$ , чтобы плоскости проходили через нужную точку. Для этого подставим точку в уравнения плоскостей:
$3 + 5+ 1 + D = 0 ⇒ D = − 9 1 1$
$3 + 5− 1 + D2 = 0 ⇒ D2 = − 7$
$3 − 5+ 1 + D = 0 ⇒ D = 1 3 3$
$3 − 5− 1 + D4 = 0 ⇒ D4 = 3$

Ответ.

$x + y + z − 9 = 0$ , $x + y − z − 7 = 0$ , $x− y + z + 1 = 0$ , $x − y − z + 3 = 0$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#71462

От общего уравнения плоскости

7x + 5y − 4z + 11 = 0

перейти к её параметрическому уравнению.

Показать ответ и решение

По сути, параметрическое уравнение плоскости является просто-напросто общим решением вот этого уравнения

7x + 5y − 4z + 11 = 0

Из этого уравнения следует, что $7x = − 5y + 4z − 11$ . Обозначим $t = − 5y,s = 4z − 11$ .

Тогда $7x = t+ s,x = t7 + s7$ . Далее, надо $y$ и $z$ просто выразить через $t$ и $s$ .

Ясно, что $y = −5t$ , $z = s+411= s4 + 141$ . Получаем параметрическое уравнение:

( t s |||{ x = 7 + 7 −t || y = 5 , |( z = s+ 11, 4 4

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#47429

Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей $x− 2y + z − 1 = 0$ и $2x − 3y + 4z − 5 = 0$ и параллельной вектору $(3,2,− 2 )$ .

Показать ответ и решение

Пусть общее уравнение искомой плоскости есть

Ax + By + Cz + D = 0

Тогда, во-первых, найдём направляющий вектор линии пересечения плоскостей $x − 2y + z − 1 = 0$ и $2x − 3y + 4z − 5 = 0$ . Он равен векторному произведению нормалей пересекающихся плоскостей $n1 = (1,− 2,1)$ и $n2 = (2,− 3,4)$ . То есть, направляющий вектор прямой $( {x − 2y + z − 1 = 0 (2x − 3y + 4z − 5 = 0,$ есть $v = [n1,n2 ] = (− 5,− 2,1)$ .

Следовательно, раз искомая плоскость проходит через эту прямую, то её нормаль $(A,B, C )$ ортогональна к $v$ . Получаем, таким образом, первое условие на коэффициенты:

− 5A − 2B + C = 0

Далее, видно, что на прямой $( { x− 2y + z − 1 = 0 ( 2x− 3y + 4z − 5 = 0,$ лежит, например, точка $(2,1,1)$ . Значит, получаем второе условие:

2A + B + C + D = 0

Кроме того, по условию нам дано, что искомая плоскость параллельна вектору $(3,2,− 2 )$ . Таким образом, получаем третье условие:

3A + 2B − 2C = 0

так как нормаль к плоскости должна быть ортогональна этому вектору.

Таким образом, имеем систему с четырьмя неизвестными и тремя уравнениями:

( || − 5A − 2B + C = 0 |{ 2A + B + C + D = 0, |||( 3A + 2B − 2C = 0,

Поскольку уравнений на одно меньше, чем неизвестных, то система имеет бесконечно много решений - но это и так понятно, поскольку общее уравнение плоскости определено с точностью до умножения на ненулевой скаляр. Тогда, зафиксировав одно из чисел $A, B,C$ или $D,$ получим, например, такое решение системы:

A = 2,B = − 7,C = − 4,D = 7

то есть уравнение плоскости будет

2x − 7y − 4z + 7 = 0

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#47428

Установить , лежит ли прямая $l$ в плоскости $P,$ параллельна плоскости $P$ или пересекает ее; в последнем случае найти точку пересечения прямой и плоскости:

l : x-= y-−-2 = z-+-1, P : 5x − y + 6z = 0 0 2 1

Показать ответ и решение

Направляющий вектор прямой можно сразу увидеть из её канонического уравнения. Он равен $v = (0,2,1)$ .

Нормаль же к плоскости тоже сразу видна из её общего уравнения - это вектор $n = (5,− 1,6)$ .

И, поскольку $v//⊥n$ (т.к. их скалярное произведение не равно 0), то прямая $l$ точно не лежит в плоскости $P$ - иначе бы её направляющий вектор был бы перпендикулярен нормали к плоскости.

Из канонического уравнения $l$ легко соорудить её параметрическое уравнение:

( | ||{ x = 0 y = 2t+ 2, ||| ( z = t− 1,

Попробуем найти точку их пересечения, подставив параметрическое задание прямой в уравнение плоскости $P : 5x − y + 6z = 0$ и найдя $t,$ при котором получается пересечение:

− 2t− 2 + 6t− 6 = 0

Откуда $t = 2$ . Значит, прямая $l$ пересекает плоскость $P$ при $t = 2,$ то есть в точке $(0,6,1)$

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#42773

Составить уравнение плоскости, проходящей через 3 точки $A(2,1,0),B (4,− 3,0),C(− 7,0,5)$

Показать ответ и решение

Наша плоскость проходит через точку $A(2,1,0)$ и имеет направляющие векторы $−−→ AB = (2,− 4,0)$ и $−→ AC = (− 9,− 1,5).$

Значит, любая точка нашей плоскости удовлетворяет уравнению

( ) x − 2 y − 1 z det || 2 − 4 0|| = 0 ( ) − 9 − 1 5

Раскрывая определитель, получим такое уравнение

10x + 5y + 19z − 25 = 0

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#42771

Найти угол между прямыми

( { 13x + 69y − z + 1 = 0 l1 :( 25x − y − z + 100 = 0,

( { 5y − z + 6 = 0 l2 :( − 3x− 2y − 1 = 0,

Показать ответ и решение

Для начала, нужно вычислить направляющие векторы прямых $l1,l2,$ заданных как пересечения плоскостей.

Направляющий вектор первой прямой $−→ v1$ находится по формуле

−→v = [−→n ,−→n ] 1 1 2

где $−→ −→ n1,n2$ - нормали к первой и второй плоскости, которые пересекаются по прямой $l1.$ Таким образом, $−→v1 = (− 70,− 12,− 1738).$

Аналогично, направляющий вектор второй прямой $−→v2$ находится по формуле

−→ −→ −→ v2 = [m1, m2 ]

где $−m→1, −→m2$ - нормали к первой и второй плоскости, которые пересекаются по прямой $l2.$ Таким образом, $−→ v2 = (− 7,3,15)$

Тогда угол $α$ между $l1$ и $l2$ - это то же самое, что угол между их направляющими векторами $−→ v1$ и $−→v2.$ Значит, он вычисляется по формуле

−→ −→ √ ---------- cosα = <--v1,v2 > = − --6404----⋅ 214067426 |−→v1||−→v2| 107033713

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#42770

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку $M (1,0,− 1)$ и параллельную прямой $x−-1 y−2 z−3 l : 1 = 0 = 1$

Показать ответ и решение

Раз точка $M (1,0,− 1)$ должна лежать в этой плоскости, то обязательно должно быть выполнено, что $A − C + D = 0.$ Кроме того, нормаль к нашей плоскости обязана быть коллинеарна нормали прямой

x − 1 y − 2 z − 3 l :----- = ----- = ----- 1 0 1

Нормаль к прямой $l$ - это любой вектор, ортогональный её направляющему вектору $−→ v = (1,0,1).$
Можно, к примеру, взять вектор $−→ n = (− 1,2,1).$

Таким образом, наше уравнение плоскости имеет вид $− x + 2y + z + D = 0,$ притом обязательно $A − C + D = 0,$ следовательно, $D = 2.$ Итого имеем уравнение нашей плоскости $− x+ 2y + z + 2 = 0.$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#42769

Написать каноническое уравнение линии пересечения плоскостей
$x + 2y − z + 2 = 0$ и $2x + y + z + 1 = 0$

Показать ответ и решение

Ясно, что, поскольку нормальные векторы $−→n1 = (1,2,− 1)$ и $−→n2 = (2,1,1)$ неколлинеарны, то наши плоскости пересекаются.

Таким образом, нам нужно написать каноническое уравнение прямой в трёхмерном пространстве $3 ℝ ,$ по которой пересекаются эти плоскости.

Направляющий вектор $−→ v$ этой прямой должен быть ортогонален обоим нормалям $−→ −→ n1,n2.$ Таким образом, проще всего этот направляющий вектор $−→v$ найти как векторное произведение $−→n 1$ и $−→n . 2$
То есть