Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Установить в каждом из следующих случаев, лежит ли прямая в плоскости , параллельна плоскости или пересекает ее; в последнем случае найти точку пересечения прямой и плоскости:
- 1.
- ,
- 2.
- ,
- 3.
- ,
- 4.
- ,
- 5.
- ,
Заметим, что чтобы прямая была параллельна плоскости или лежала в ней, необходимо, чтобы её
направляющий вектор был параллелен этой плоскости ( направляющий вектор прямой был
перпендикулярен нормали к плоскости). Соответственно, так как плоскости заданы общим
уравнением , то мы будет проверять, перпендикулярен ли направляющий
веткор прямой вектору через скалярное произведение (если вектора перпендикулярны, то их
скалярное произведение равно 0).
Чтобы различить лежит ли прямая в плоскости или она ей параллельна, нужно будет проверить, лежит
ли какая-то одна точка прямой на плоскости (подставив точку в уравнение плоскости).
- 1.
- ,
Прямая задана каноническим уравнением, так что мы сразу получаем:
Направляющий вектор прямой:
Точку на прямой:
Проверим, пересекает ли прямая плоскость:
- получаем, что прямая либо параллельна, либо принадлежит плоскости.
Проверим, лежит ли прямая в плоскости:
- получаем, что прямая не принадлежит плоскости. Значит, параллельна.
- 2.
- ,
Прямая задана каноническим уравнением, так что мы сразу получаем:
Направляющий вектор прямой:
Точку на прямой:
Проверим, пересекает ли прямая плоскость:
- получаем, что прямая пересекает плоскость
Чтобы найти в какой именно точке это происходит, перепишем уравнение прямой в параметрическом виде, а потом подставим получившиеся соотношения в уравнение плоскости:
Подставляем:
Получаем точку:
- 3.
- ,
Прямая задана каноническим уравнением, так что мы сразу получаем:
Направляющий вектор прямой:
Точку на прямой:
Проверим, пересекает ли прямая плоскость:
- получаем, что прямая либо параллельна, либо принадлежит плоскости.
Проверим, лежит ли прямая в плоскости:
- получаем, что прямая принадлежит плоскости
- 4.
- ,
Так как прямая здесь задана пересечением плоскостей, то можем сразу найти есть ли у прямой и плоскости общие точки. Если есть одна общая точка, то прямая пересекает плоскость , если общих точек бесконечно много, то прямая лежит в плоскости , а если общих точек нет, то прямая плоскости параллельна.
Общие точки (если они есть) будут принадлежать и плоскости , и плоскостям, пересечение которых образует прямую . Таким образом общие точки будут решением системы:
У этой системы есть одно решение: . Значит, прямая пересекает плоскость.
- 5.
- ,
Так как и здесь прямая задана пересечением плоскостей, то будем решать аналогично предыдущему пункту. Запишем систему:
У этой системы решений нет. Следовательно, прямая параллельна плоскости.
Ответ.
- 1.
- параллельна
- 2.
- пересекает в точке
- 3.
- прямая лежит в плоскости
- 4.
- пересекает в точке
- 5.
- параллельна
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!