Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Отрезки и лежат на параллельных прямых, а отрезки и пересекаются в точке Найдите если
Источники:
Рассмотрим треугольники и как вертикальные, как накрест лежащие при параллельных прямых и и секущей Значит, треугольники и подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:
Пусть Тогда
Из отношения подобия треугольников и получаем:
Значит,
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ | 2 |
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Отрезки и лежат на параллельных прямых, а отрезки и пересекаются в точке Найдите если
Источники:
Рассмотрим треугольники и В них как накрест лежащие при параллельных прямых и а как вертикальные.
Тогда по двум углам. Запишем отношение подобия:
Пусть Так как по условию, то
Тогда
Значит,
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ | 2 |
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Прямая, параллельная стороне треугольника пересекает стороны и в точках и соответственно. Найдите если
Источники:
Пусть Тогда
Рассмотрим треугольники и Так как — общий, как соответственные углы при параллельных прямых и и секущей то треугольники и подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:
Тогда
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ | 2 |
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Прямая, параллельная стороне треугольника пересекает стороны и в точках и соответственно. Найдите если
Источники:
Пусть Тогда
Рассмотрим треугольники и Так как — общий, как соответственные углы при параллельных прямых и то треугольники и подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:
Тогда
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ | 2 |
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Катеты прямоугольного треугольника равны 18 и 24. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.
Источники:
Пусть в прямоугольном треугольнике с прямым углом проведена высота
В треугольнике по теореме Пифагора
Найдём несколькими способами.
Способ 1.
Из прямоугольного треугольника
Из прямоугольного треугольника
Способ 2.
Посчитаем площадь треугольника двумя способами:
Способ 3.
Рассмотрим треугольники и Так как и — общий, то треугольники и подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ | 2 |
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 20. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.
Источники:
Воспользуемся методом площадей: посчитаем площадь прямоугольного треугольника двумя способами:
По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника
Тогда
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ | 2 |
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 24 и 51. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
Источники:
Пусть в треугольнике с прямым углом проведена высота
По теореме Пифагора в треугольнике
Тогда
Значит,
Посчитаем площадь треугольника двумя способами:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ | 2 |
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 21 и 75. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
Источники:
Так как — высота, то
Найдем по теореме Пифагора:
Тогда
Рассмотрим треугольники и — общий. по двум углам. Запишем коэффициент подобия:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ | 2 |
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точка является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла треугольника к гипотенузе Найдите если
Источники:
Способ 1.
Рассмотрим треугольники и Так как — общий, то треугольники и подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:
Способ 2.
Найдём
По свойству высоты прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе:
В треугольнике по теореме Пифагора:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ | 2 |
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точка является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла треугольника к гипотенузе Найдите если
Источники:
Рассмотрим треугольники и В них по условию, а — общий. Тогда по двум углам.
Коэффициент подобия этих треугольников равен отношению соответственных сторон, тогда:
Следовательно,
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ | 2 |
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Прямая, параллельная основаниям трапеции пересекает её боковые стороны и в точках и соответственно. Найдите длину отрезка если
Источники:
Проведём диагональ Пусть Так как то Тогда
Рассмотрим треугольники и Так как — общий, как соответственные углы при то треугольники и подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:
Так как то по теореме Фалеса
Пусть тогда Найдём
Рассмотрим треугольники и В них — общий, как соответственные углы при Запишем отношение подобия:
Найдём длину отрезка
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ | 2 |
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Прямая, параллельная основаниям трапеции пересекает её боковые стороны и в точках и соответственно. Найдите длину отрезка если
Источники:
Проведем диагональ трапеции Пусть пересекает в точке Рассмотрим треугольники и Они подобны по двух углам: как соответственные углы, образованные параллельными прямыми и и секущей — общий. Тогда
Заметим, что в трапеции так как
Рассмотрим треугольники и Аналогично получим, что они подобны по двум углам, так как Тогда
Тогда
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ | 2 |
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите боковую сторону трапеции если углы и равны соответственно и а
Источники:
Проведём Так как то Значит, Тогда
Рассмотрим треугольник Так как в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна то
Тогда в треугольнике следовательно, треугольник равнобедренный и В этом треугольнике:
Проведём Так как высоты трапеции равны, то
Треугольник прямоугольный с В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в равен половине гипотенузы:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ | 2 |
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите боковую сторону трапеции если углы и равны соответственно и а
Источники:
Проведём высоты и Так как и — высоты трапеции, то
Так как и сумма односторонних углов равна то
Так как и накрест лежащие углы равны, то
Рассмотрим треугольник В нем тогда
Рассмотрим треугольник Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна то
Значит, треугольник — равнобедренный, то есть
В треугольнике по теореме Пифагора
Тогда
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ | 2 |
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Биссектриса угла параллелограмма пересекает сторону в точке Найдите периметр параллелограмма, если
Источники:
Рассмотрим треугольник В нем так как — биссектриса
С другой стороны, как накрест лежащие, образованные параллельными прямыми и и секущей значит, то есть — равнобедренный, и
В параллелограмме противоположные стороны равны, значит, и Тогда
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ | 2 |
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Биссектриса угла параллелограмма пересекает сторону в точке Найдите периметр параллелограмма, если
Источники:
как накрест лежащие при и секущей так как — биссектриса Тогда
Значит, треугольник равнобедренный, и Так как в параллелограмме противоположные стороны равны, то
Найдём периметр параллелограмма:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ | 2 |
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Биссектрисы углов и при боковой стороне трапеции пересекаются в точке Найдите если
Источники:
Пусть Так как — биссектриса то
Пусть Так как — биссектриса то
Сумма односторонних углов равна поэтому
В треугольнике по теореме о сумме углов треугольника
Значит, треугольник прямоугольный. По теореме Пифагора
Тогда
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ | 2 |
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Биссектрисы углов и при боковой стороне трапеции пересекаются в точке Найдите если
Источники:
Заметим, что так как Тогда
По сумме углов в треугольнике
Значит, — прямоугольный, по теореме Пифагора
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ | 2 |
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Углы и треугольника равны соответственно и Найдите если радиус окружности, описанной около треугольника равен 14.
Источники:
Сумма углов треугольника равна поэтому
Тогда по теореме синусов,
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ | 2 |
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Углы и треугольника равны соответственно и Найдите если радиус окружности, описанной около треугольника равен 15.
Источники:
В треугольнике известны два угла, то есть можем найти оставшийся угол
Тогда центральный угол опирающийся на ту же дугу, равен
При этом как радиусы. Тогда треугольник — равнобедренный, причем угол при вершине равен Тогда угла при основании этого треугольника тоже и он равносторонний, откуда
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ | 2 |
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |