Треугольники —Каталог задач по ОГЭ - Математика

Тема 23. Геометрическая задача на вычисление

23.02 Треугольники

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрическая задача на вычисление

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#32024

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ известны катеты: $AC = 5,$ $BC = 12.$ Найдите медиану $CK$ этого треугольника.

Показать ответ и решение

Найдем длину гипотенузы $AB$ прямоугольного треугольника $ABC.$ Для этого запишем теорему Пифагора:

2 2 2 ∘ --2-----2 ∘-2---2 √ ------- √--- √--2 AB = AC +BC ⇒ AB = AC + BC = 5 + 12 = 25 +144= 169= 13 = 13

$PIC$

Медиана $CK$ прямоугольного треугольника $ABC,$ проведенная к гипотенузе, равна ее половине. Таким образом,

AB 13 CK = -2-= -2 =6,5

Ответ: $CK = 6,5.$

Ответ: 6,5

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#32023

На сторонах угла $BAC$ , равного $20∘,$ и на его биссектрисе отложены равные отрезки $AB,$ $AC$ и $AD$ . Определите величину угла $BDC.$

Показать ответ и решение

По условию $AD$ — биссектриса угла $BAC$ , значит,

1 20∘ ∘ ∠BAD = ∠CAD = 2∠BAC = 2 = 10

$PIC$

Рассмотрим треугольник $BAD$ . По условию в нем $AB = AD$ , следовательно, этот треугольник равнобедренный. Найдем углы при основании этого равнобедренного треугольника:

∠ABD =∠ADB = 1(180∘− ∠BAD )= 1(180∘ − 10∘)= 170∘-=85∘ 2 2 2

Аналогично найдем углы при основании равнобедренного треугольника $CAD$ ( $AC = AD$ ):

1 ∘ 1 ∘ ∘ 170∘- ∘ ∠ACD =∠ADC = 2(180 − ∠CAD )= 2(180 − 10 )= 2 = 85

Теперь можем найти угол $BDC$ , который состоит из углов $ADB$ и $ADC$ :

∘ ∘ ∘ ∠BDC = ∠ADB + ∠ADC = 85 +85 = 170

Ответ: $∠BDC = 170∘.$

Ответ:

$170∘$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#30863

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ известны катеты $AC = 5$ и $BC =12$ . Чему равна высота $CH$ из прямого угла?

$PIC$

Показать ответ и решение

Найдем длину гипотенузы прямоугольного треугольника $ABC$ . По теореме Пифагора имеем:

2 2 2 AB =AC + BC =25+ 144 =169 ⇒ AB =13

Пусть точка $H$ делит гипотенузу $AB$ на отрезки $AH =x$ и $BH = 13− x$ .

$PIC$

Запишем теорему Пифагора для треугольника $ACH$ :

2 2 2 2 2 2 2 AC = AH +CH ⇔ 25=x +CH ⇔ CH = 25− x

Запишем теорему Пифагора для треугольника $BCH$ :

BC2 = BH2 +CH2 ⇔ 144 =(13− x)2+ CH2 ⇔

⇔ 144= 169+ x2 − 26x+ CH2 ⇔ CH2 = −x2+ 26x− 25

Тогда можем приравнять правые части:

25− x2 = −x2 +26x− 25 ⇔ 50= 26x ⇔ x= 25 13

Теперь можем найти $CH$ :

( ) CH2 =25− x2 = 25− 252-= 25 ⋅ 1− 25 = 25 ⋅ 144 ⇒ CH = 5⋅ 12= 60 169 169 169 13 13

Ответ:

$60 13$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#30845

Найдите длину гипотенузы прямоугольного треугольника, если острый угол равен $15∘$ , а высота, проведенная к гипотенузе, равна 1.

Показать ответ и решение

Пусть $∠C$ — прямой угол треугольника $ABC$ , $∠A = 15∘$ , $CH$ — высота, проведенная к гипотенузе $AB$ .

Проведем из прямого угла $C$ треугольника $ABC$ медиану $CM$ к гипотенузе $AB$ . По свойству прямоугольного треугольника $1 CM =AM =BM = 2AB$ .

Рассмотрим угол $CMB$ . Он является внешним для равнобедренного треугольника $AMC$ с углом $A$ , равным $∘ 15$ . Значит, $∘ ∠CMB = 2∠A= 30$ .

$PIC$

Рассмотрим треугольник $CMH$ . Он прямоугольный, так как $CH ⊥ AB$ . При этом его угол $CMH$ равен $30∘$ . По свойству прямоугольного треугольника с углом $30∘$ катет, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы, то есть $CH = 12CM$ . Таким образом,

( ) CH = 12CM = 12 12AB = 14AB ⇒ AB = 4CH = 4

Ответ: 4

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#46330

Прямая пересекает стороны $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ в точках $K$ и $N$ соответственно. Известно, что $AB =12,$ $BC = 15,$ $AC = 24,$ $AK = 7,$ $CN = 11.$ Найдите длину отрезка $KN.$

Показать ответ и решение

Посчитаем длины отрезков $KB$ и $BN$ :

KB = AB − AK = 12− 7= 5 BN = BC − CN = 15 − 11 = 4

Теперь найдем $KN.$

Способ 1.

Рассмотрим треугольник $ABC.$ Запишем для него теорему косинусов:

2 2 2 AC = AB + BC − 2⋅AB ⋅BC ⋅cos∠ABC

$PIC$

Таким образом,

AB2 + BC2 − AC2 cos∠ABC = ---2⋅AB-⋅BC---- = 144 +225− 576 207 23 = --2-⋅12-⋅15----=− 360 = − 40

Теперь рассмотрим треугольник $KBN$ и запишем теорему косинусов для него.

KN2 = BK2 + BN2 − 2⋅BK ⋅BN ⋅cos∠KBN = ( ) = 25+ 16− 2⋅5⋅4⋅ − 23 = 41 + 23 = 64 40

Следовательно,

√-- KN = 64= 8

Способ 2.

Рассмотрим треугольники $KBN$ и $CBA :$

1.: $KB--= 5-= 1; BC 15 3$
2.: $BN--= 4-= 1; AB 12 3$
3.: $∠ABC =∠KBN.$

$PIC$

Тогда $△ KBN ∼ △CBA$ по двум сторонам и углу между ними. Значит, $KN 1 -AC-= 3 .$

Найдём $KN :$

KN = 1AC = 1⋅24= 8 3 3

Ответ: 8

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#38206

Высота $RS,$ проведенная из прямого угла $R$ треугольника $PQR,$ делит гипотенузу $PQ$ на отрезки $P S$ и $QS.$ Известно, что $PS = 18,$ $∠RP Q= 60∘.$ Найдите $QS.$

Показать ответ и решение

Рассмотрим треугольник $PSR.$ Он прямоугольный, а его угол $SP R$ равен $60∘.$ В прямоугольном треугольнике тангенс острого угла равен отношению длины противолежащего катета к длине прилежащего. Значит,

RS- ∘ √ - tg ∠P = PS ⇒ RS = PS tg60 =18 3

$PIC$

По сумме углов треугольника $PSR$

∠P RS = 180∘ − ∠SP R − ∠PSR = 180∘− 60∘− 90∘ =30∘

Тогда

∠SRQ = ∠P RQ − ∠PRS = 90∘− 30∘ = 60∘

Таким образом, $△ QRS$ — прямоугольный треугольник с углом $60∘.$ Аналогично треугольнику $PSR$

tg∠R = QS- ⇒ QS = RS tg 60∘ = 18√3-⋅√3 = 54 RS

Ответ: 54

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#38200

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ известны катеты: $AC = 6,$ $BC = 8.$ Найдите медиану $CM$ этого треугольника.

Показать ответ и решение

Медиана $CM$ прямоугольного треугольника проведена к середине гипотенузы, а значит равна ее половине. Найдем длину гипотенузы $AB.$ По теореме Пифагора для треугольника $ABC$

AB2 = AC2 + BC2 = 36+ 64= 100 ⇒ AB = 10 ⇒ CM = AB-= 5 2

$PIC$

Ответ: 5

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#27828

Прямая пересекает стороны $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ в точках $K$ и $N$ соответственно. Известно, что $AB = CN = 16,$ $BC =20,$ $AC =28,$ $AK = 11.$ Найдите длину отрезка $KN.$

Показать ответ и решение

По условию $BC = 20$ и $CN = 16,$ значит,

BN = BC − CN = 20− 16= 4

Также по условию $AB = 16$ и $AK = 11,$ значит,

BK = AB − AK = 16− 11= 5

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $NBK :$ $∠B$ — общий и

KB-- 5- 1 4- BN-- BC = 20 = 4 = 16 = AB

$PIC$

Тогда $△ KBN ∼ CBA$ по двум сторонам и углу между ними. Запишем коэффициент подобия:

KB--= KN--= BN--= 1 BC AC AB 4

Значит,

KN--= 1 ⇒ KN = 1AC = 1⋅28= 7 AC 4 4 4

Ответ: 7

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#21355

На гипотенузу $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ опущена высота $CH$ , $AH =4$ , $BH = 16$ . Найдите $CH$ .

Показать ответ и решение

Так как треугольник $ABC$ — прямоугольный, $2 CH = AH ⋅BH = 4 ⋅16 = 64$ . Отсюда $CH = 8$ .

$PIC$

Ответ: 8

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел