Четырёхугольники —Каталог задач по ОГЭ - Математика

Тема 23. Геометрическая задача на вычисление

23.03 Четырёхугольники

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрическая задача на вычисление

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#46942

В равнобедренной трапеции $ABCD$ с большим основанием $AD$ биссектриса угла $A$ пересекается с биссектрисой угла $C$ в точке $F,$ а также пересекает сторону $CD$ в точке $K.$ Известно, что угол $AF C$ равен $150∘.$ Найдите $CK,$ если $√ - F K = 6 3.$

Показать ответ и решение

Докажем, что биссектрисы односторонних углов перпендикулярны.

В трапеции $ABCD$ биссектрисы углов $A$ и $B$ пересекаются в точке $O,$ $∠DAO = ∠OAB = α, ∠ABO = ∠OBC = β.$

$PIC$

По свойству односторонних углов при параллельных прямых

2α + 2β = 180∘ ⇒ α+ β = 90∘

Тогда в прямоугольном треугольнике $ABO$ по теореме о сумме углов треугольника

∠BOA = 180∘− (α +β )= 90∘

Значит, в трапеции $ABCD$ биссектрисы углов $A$ и $B$ перпендикулярны.

$PIC$

Так как трапеции $ABCD$ — равнобедренная, то углы при основании равны, то есть $∠B = ∠C.$ Тогда $∠BCF = ∠F CK = β.$

В четырёхугольнике $ABCF$ сумма углов равна $∘ 360 ,$ поэтому

∘ ∠ABC = 360 − ∠CF A− ∠F AB − ∠BCF = = 360∘− 150∘− (α+ β)= 360∘− 150∘− 90∘ = 120∘

Тогда

∘ ∠B = ∠C = 120∘ ⇒ β = 120- = 60∘ 2

Сумма смежных углов равна $180∘,$ поэтому

∘ ∘ ∘ ∠CF K = 180 − 150 = 30

В треугольнике $CF K$ по теореме о сумме углов треугольника

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∠FKC = 180 − ∠KF C − ∠F CK = 180 − 30 − 60 = 90

Таким образом, треугольник $CF K$ — прямоугольный. По определению $tg∠CF K = CK-. FK$ Тогда

√ - √- √ - ∘ CK- --3 CK-- 6-3⋅--3 tg30 = KF ⇒ 3 = 6√3 ⇒ CK = 3 = 6

Ответ: 6

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#27829

В равнобедренной трапеции $ABCD$ с большим основанием $AD$ биссектриса угла $A$ пересекается с биссектрисой угла $C$ в точке $F,$ а также пересекает сторону $CD$ в точке $K.$ Известно, что прямые $AB$ и $CF$ параллельны. Найдите $CF,$ если $√ - F K = 4 3.$

Показать ответ и решение

$ABCD$ — равнобедренная трапеция, тогда пусть $∠BCD = ∠ABC = 2α.$ По условию $∠BCF = ∠F CD = α.$ Так же по условию $AB ∥ CF,$ значит,

∠ABC + ∠BCF = 180∘ ⇔ 2α +α = 180∘ ⇒ α= 60∘

$ABCD$ — равнобедренная трапеция, значит,

∘ ∘ ∘ ∠BAD = ∠CDA =180 − ∠ABC = 180 − 2α = 60

Пусть $CF$ пересекает основание $AD$ в точке $T.$ Тогда $∠BAF =∠T FA$ как накрест лежащие, образованные параллельными прямыми $AB$ и $CF$ и секущей $AF.$ Так как $AF$ — биссектриса угла $BAD,$

1 ∠BAF = 2∠BAD =30∘ ⇒ ∠T FA = 30∘

$PIC$

Рассмотрим треугольник $CF K.$ В нем $∠CF K = ∠TFA = 30∘$ как вертикальные; $∠KCF = ∠BCF = 60∘,$ значит, по сумме углов в треугольнике

∠CKF = 180∘− ∠CFK − ∠KCF = 180∘− 30∘− 60∘ = 90∘

Тогда

F K 4√3- FK =CF cos∠CF K ⇒ CF = cos30∘ =-√3-= 8 2

Ответ: 8

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#22457

Высота $BH$ параллелограмма $ABCD$ делит его сторону $AD$ на отрезки $AH = 2$ и $HD = 6$ . Диагональ параллелограмма $BD$ равна 10. Найдите площадь параллелограмма.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Треугольник $BDH$ — прямоугольный, так как $BH$ — высота. Тогда по теореме Пифагора найдем $BH$ :

2 2 2 2 2 2 BD = BH + HD ⇒ BH = BD − HD = 100− 36 = 64 ⇒ BH = 8.

Так как мы знаем, что $AH = 2$ , $HD = 6$ , то можем найти $AD$ :

AD = AH + HD = 2+ 6 = 8.

Площадь параллелограмма можно найти как произведение стороны и высоты, опущенной на эту сторону:

SABCD = BH ⋅AD = 8⋅8 = 64.

Ответ: 64

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел