Окружности, круги —Каталог задач по ОГЭ - Математика

Тема 23. Геометрическая задача на вычисление

23.04 Окружности, круги

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрическая задача на вычисление

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#44293

Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как $6 :13:17.$ Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 18.

Показать ответ и решение

Пусть длина дуги $AB$ равна $6x.$ Так как длины дуг $AB, BC, CA$ относятся как $6 :13 :17,$ то длина дуги $BC$ равна $13x,$ длина дуги $CA$ равна $17x.$

$PIC$

Дуги $AB, BC, CA$ составляют полную окружность, поэтому

6x+ 13x+ 17x= 360∘ ⇔ 36x = 360∘ ⇔ x= 10∘

Так как дуга $AB = 6x$ — меньшая из дуг, то хорда, которая её стягивает, тоже наименьшая. Значит, $AB$ — меньшая из сторон треугольника $ABC.$ Тогда $AB = 18$ по условию.

Градусная мера дуги $AB$ равна $6x = 60∘.$

Так как $∠ACB$ — вписанный, опирающицся на дугу $AB,$ то

1 ⌣ 1 ∘ ∘ ∠ACB = 2AB = 2 ⋅60 = 30

В треугольнике $ABC$ по теореме синусов:

-AB---= 2R ⇒ R = --AB---= ---18---= -181-= 18 sin∠C 2sin ∠C 2⋅sin 30∘ 2⋅2

Ответ: 18

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#42123

Точка $H$ является основанием высоты $BH,$ проведённой из вершины прямого угла $B$ прямоугольного треугольника $ABC.$ Окружность с диаметром $BH$ пересекает стороны $AB$ и $CB$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Найдите $BH,$ если $P K = 12.$

Показать ответ и решение

Отметим точку $O$ — центр окружности. Так как $BH$ — диаметр, то точка $O$ — середина $BH.$

$PIC$

$∠P BK$ — вписанный, $∘ ∠P BK = 90 .$ Вписанный угол опирается на диаметр тогда и только тогда, когда он прямой. Значит, $∠P BK$ опирается на диаметр, то есть $P K$ — диаметр.

Так как $PK, BH$ — диаметры, то

PK = BH = 12

Ответ: 12

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#40199

Углы $B$ и $C$ треугольника $ABC$ равны соответственно $64∘$ и $86∘.$ Найдите $BC,$ если диаметр окружности, описанной около треугольника $ABC,$ равен 13.

Показать ответ и решение

$PIC$

По теореме о сумме углов треугольника:

∘ ∠A + ∠B + ∠C = 180

Тогда:

∠A = 180∘− ∠B − ∠C =180∘− 64∘− 86∘ = 30∘

По теореме синусов:

-AB- BC-- -AC- sin C = sinA = sin B = 2R,

где $R$ – радиус описанной окружности, тогда $2R$ – диаметр описанной окружности.

Найдем $BC :$

BC = 2R ⋅sinA = 13⋅ 1 = 6,5 2

Ответ: 6,5

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел