Задачи из сборника И. В. Ященко ЕГЭ —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема 5. Задачи на теорию вероятностей

5.01 Задачи из сборника И. В. Ященко ЕГЭ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи на теорию вероятностей

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#74233

На одной полке стоит 25 блюдец: 16 красных и 9 синих. На другой полке стоит 25 чашек: 13 красных и 12 синих. Наугад берут два блюдца и две чашки. Найдите вероятность, что из них можно будет составить две чайные пары (блюдце с чашкой), каждая из которых будет одного цвета.

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 2

Показать ответ и решение

Нам подходит любое из трех событий:

$A = {2 красных блюдца и 2 красных чаш ки}$ или

$B = {2 синих блюдца и 2 синих чашки}$ или

$C = C1$ и $C2.$

Здесь $C1 = {взяли в любом порядке 1 красное блюдце и 1 синее блю дце с первой п&$ ,

$C2 = {взяли в любом порядке 1 красную чаш ку и 1 синюю чаш ку со второй по&#x0$ .

Следовательно, вероятность события $X = {A или B или C }$ равна

P(X)= P (A )+ P(B)+ P(C)= P (A )+ P(B)+ P(C1)⋅P(C2)

Взять два красных блюдца с первой полки можно с вероятностью $16-⋅ 15, 25 24$ взять две красных чашки со второй полки можно с вероятностью $13⋅ 12. 25 24$ Следовательно,

P (A )= 16⋅ 15-⋅ 13⋅ 12. 25 24 25 24

Тогда, записав аналогично вероятности $P(B),$ $P (C1)$ и $P (C2),$ найдем

( ) ( ) P (X )= 16 ⋅ 15⋅ 13 ⋅ 12+ 9-⋅-8 ⋅ 12⋅ 11 + 2⋅ 16⋅-9 ⋅ 2⋅ 13 ⋅ 12 = 2◟5--24◝◜25--24◞ 2◟5-24◝◜25-24◞ ◟---25◝◜-24-◞ ◟--25◝◜-24◞ P(A) P(B) P (C1) P(C2) = --12---⋅(16 ⋅15 ⋅13 +9 ⋅8⋅11+ 4⋅16⋅9⋅13)= 0,38 252⋅242

Ответ: 0,38

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#74234

Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень дается не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно две мишени» больше вероятности события «стрелок поразит ровно одну мишень»?

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024г. Вариант 3

Показать ответ и решение

Пусть в нашей терминологии каждая мишень называется целью. Событие «стрелок поражает цель» равно событию «стрелок поражает мишень при первом выстреле ИЛИ стрелок поражает эту же мишень при втором выстреле». Следовательно, вероятность этого события равна $p= 0,6+ 0,4 ⋅0,6 =0,84.$ Следовательно, $1 − p = 0,16$ — вероятность того, что цель не будет поражена.

Тогда вероятность того, что спустя все выстрелы стрелок поразит ровно одну мишень, равна

4 P1 = (0,84 ⋅0,16 )⋅5

(вероятность поразить только первую мишень равна $0,84⋅0,164$ , только вторую — $3 0,16 ⋅0,84⋅0,16,$ только третью — $2 2 0,16 ⋅0,84⋅0,16$ и т.д.; всего пять различных способов: пнннн, нпннн, ннпнн, нннпн, ннннп, где п — поразит, н — не поразит, вероятность каждого одинакова и равна $0,84⋅0,164$ ).

Вероятность поразить спустя все выстрелы ровно две мишени равна

2 3 P2 = (0,84 ⋅0,16 )⋅10

(аналогично предыдущему рассуждению получаем 10 различных способов: ппннн, пнпнн, пннпн, пнннп, нппнн, нпнпн, нпннп, ннппн, ннпнп, нннпп, где п — поразит, н — не поразит).

Следовательно, искомое отношение этих вероятностей равно

P2 P1 = 10,5

Ответ: 10,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#74235

В верхнем ящике стола лежит 10 белых и 15 черных одинаковых по размеру кубиков. В нижнем ящике стола лежит 15 белых и 10 черных таких же кубиков. Аня наугад взяла из верхнего ящика два кубика, а Оля — два кубика из нижнего ящика. После этого Аня положила свои кубики в нижний ящик, а Оля — в верхний. Найдите вероятность того, что в верхнем ящике по прежнему будет 10 белых и 15 черных кубиков.

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024г. Вариант 7

Показать ответ и решение

Для того, чтобы в верхнем ящике по прежнему осталось 10 белых и 15 черных кубиков, нам подходит одно из следующих событий:

$A =$ «Аня взяла 1 белый и 1 черный кубик И Оля взяла 1 белый и 1 черный кубик»;

$B =$ «Аня взяла 2 черных кубика И Оля взяла 2 черных кубика»;

$C =$ «Аня взяла 2 белых кубика И Оля взяла 2 белых кубика».

Тогда вероятность искомого события равна $P = P(A)+ P(B) +P (C )$ и равна

( ) ( ) P = 2⋅ 10⋅ 15 ⋅ 2 ⋅ 15⋅ 10 + 15⋅ 14 ⋅ 10⋅-9+ 10 ⋅ 9-⋅ 15 ⋅ 14= ◟---25--24--◝◜----25-24-◞ ◟25-24◝◜25-24◞ 2◟5--24◝◜25--24◞ P(A ) P(B) P(C ) = -10⋅15-⋅(4⋅15⋅10+ 14⋅9⋅2)= 0,355 252⋅242

Ответ: 0,355

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#74236

В верхнем ящике стола лежит 10 белых и 15 черных одинаковых по размеру кубиков. В нижнем ящике стола лежит 15 белых и 10 черных таких же кубиков. Ваня наугад взял из верхнего ящика два кубика, а Толя — два кубика из нижнего ящика. После этого Ваня положил свои кубики в нижний ящик, а Толя — в верхний. Найдите вероятность того, что в верхнем ящике стало 11 белых и 14 черных кубиков.

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 8

Показать ответ и решение

Для того, чтобы в верхнем ящике стало 11 белых и 14 черных кубиков, нам подходит одно из следующих событий:

$A =$ «Ваня взял 1 белый и 1 черный кубик, а Толя — 2 белых кубика»;

$B =$ «Ваня взял 2 черных кубика, а Толя — 1 белый и 1 черный кубик».

Тогда вероятность искомого события равна $P = P(A)+ P(B)$ и равна

( ) ( ) P = 2⋅ 10 ⋅ 15 ⋅ 15⋅ 14+ 15 ⋅ 14⋅ 2 ⋅ 15⋅ 10 = ◟--25--24◝◜---25-24◞ 2◟5--24--◝◜-25-24-◞ P(A) P(B) 2 = 2 ⋅ 2⋅15-⋅14⋅10=--7- = 0,35 252⋅242 5 ⋅22

Ответ: 0,35

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#74237

Ваня бросил игральный кубик, и у него выпало больше 2 очков. Петя бросил игральный кубик, и у него выпало меньше 6 очков. Найдите вероятность того, что у Пети выпало очков больше, чем у Вани.

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024г. Вариант 9

Показать ответ и решение

Если у Вани выпало больше 2 очков, то у него могло выпасть одно из чисел 3,4,5 или 6. Тогда у Пети могло выпасть одно из чисел 1,2,3,4 или 5.

Так как у Вани выпало очков меньше, чем у Пети, то нам подходят следующие пары «Ваня, Петя»: «3,4», «3,5» или «4,5». При этом общее количество пар равно произведению количества вариантов Вани на количество вариантов Пети.

Заметим, что вероятность выпадения любой пары «Ваня, Петя» равна $-1 36.$ Следовательно, вероятность искомого события равна

число подходящих пар 3 P = ---число всех пар--= 4⋅5-= 0,15

Ответ: 0,15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#74240

В классе 26 учащихся, среди них три подружки — Оля, Аня и Юля. Класс случайным образом разбивают на две равные группы. Найдите вероятность того, что все три девочки окажутся в одной группе.

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 29

Показать ответ и решение

Без ограничения общности можно считать, что Олю распределяют первой в какую-то группу, затем Аню, а затем Юлю. Тогда с вероятностью 1 Оля попадет в одну из двух групп. Тогда для Ани осталось 12 подходящих мест из 25, для Юли — 11 подходящих мест из 24. Следовательно, вероятность того, что все три девочки окажутся в одной группе, равна

p= 1⋅ 12 ⋅ 11= 0,22 25 24

Ответ: 0,22

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#74241

В группе туристов 15 человек, в том числе три друга — Юра, Боря и Егор. Группу случайным образом разбивают на три равные подгруппы. Найдите вероятность того, что все трое окажутся в разных подгруппах. Ответ округлите до сотых.

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 30

Показать ответ и решение

Без ограничения общности можно считать, что Юру распределяют первым в какую-то подгруппу, затем Борю, а затем Егора. Тогда с вероятностью 1 Юра попадет в одну из трех подгрупп. Тогда для Бори осталось 10 подходящих мест из 14, для Егора — 5 подходящих мест из 13. Следовательно, вероятность того, что все три друга окажутся в разных подгруппах, равна

p= 1⋅ 10-⋅ 5-= 50- 14 13 182

После округления до сотых получаем $0,27.$

Ответ: 0,27

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#80081

В викторине участвуют 6 команд. Все команды разной силы, и в каждой встрече выигрывает та команда, которая сильнее. В первом раунде встречаются две случайно выбранные команды. Ничья невозможна. Проигравшая команда выбывает из викторины, а победившая команда играет со следующим случайно выбранным соперником. Известно, что в первых трёх играх победила команда А. Какова вероятность того, что эта команда выиграет четвёртый раунд?

Показать ответ и решение

Мы не знаем вероятность победы команды А ни в каком раунде (прямым текстом в условии об этом не говорится), но мы можем выстроить гипотетический порядок побед и поражений команды А, чтобы компенсировать этот недостаток информации.

Как, а главное, зачем это сделать?

Смотрим в условие: «Все команды разной силы, и в каждой встрече выигрывает та команда, которая сильнее.» То есть в любом возможном исходе все 6 команд так или иначе встают в некоторую турнирную таблицу — от самой слабой команды до самой сильной.

Ещё раз, все команды разной силы, ничья невозможна, значит, можем выстроить следующие цепочки событий в тр̈eх благоприятных для нас ситуациях:

1. 4 раза подряд победа за А.

Итоговый турнирный лист: (не А), (не А), (не А), (А), (не А), (не А).

2. 5 раз подряд победа за А.

Итоговый турнирный лист: (не А), (не А), (не А), (не А), (А), (не А).

3. 6 раз подряд победа за А.

Итоговый турнирный лист: (не А), (не А), (не А), (не А), (не А), (А).

Теперь внимательно изучим каждый случай:

1. Как вы понимаете, мы не знаем точное ранжирование сил команд, но нам важно, чтобы команда А попала ровно на 3 место по силе, места 1, 2 и 6, 5, 4 могут быть заняты кем угодно. Что значит это "кем угодно"? Что нужно учесть все варианты расположения остальных 5 команд:

3!⋅1⋅(1⋅2) = 12.

Это число исходов, где команда А третья из шести по силе.

Резонный вопрос: а что это за $(1⋅2)$ ? Ответ: мы не знаем, с какой именно командой будет играть команда А в четвёртом раунде, но мы точно знаем, что к его началу в викторине останутся лишь 3 команды, одна из которых А. Сила остальных двух неизвестна, поэтому приклеим двойку, чтобы учесть и тот исход, где одна команда более сильная, а другая менее, и тот, где ситуация обратна.

Теперь заметим самую хитрую мелочь: вероятность выиграть в этих 12 исходах у команды А нулевая. Почему?

Да потому что если команда А третья по силе, то как же она выступит в 4 раунде, когда осталась только она, команда сильнее её и команда сильнее их обеих? Очевидно, она проиграет в раунде с обеими более сильными командами.

Таким образом, вероятность победы в первом случае равна 0.

2. По аналогичному принципу ищем число исходов, где команда А вторая по силе:

4!⋅1⋅(1⋅2) = 48.

Резонный вопрос: а что это за $(1⋅2)$ ? Ответ: мы не знаем, с какой именно командой будет играть команда А в четвёртом раунде, но мы точно знаем что к его началу в викторине останутся лишь 3 команды, одна из которых А. Сила остальных двух неизвестна, поэтому приклеим двойку, чтобы учесть и тот исход, где одна команда сильнее А, а другая слабее, и тот, где ситуация обратна.

Опять же вопрос: а какова вероятность, что с наличием одной более слабой и одной более сильной команды в оппонентах команда А победит? С вероятностью $0,5.$ Либо она сыграет со слабой и победит, либо сыграет с сильной и проиграет. Третьего не дано.