Запишем формулу площади ромба двумя способами: Выразим длину стороны из первой формулы и подставим во вторую формулу

Высота ромба находим синус угла

Следовательно, меньший угол ромба равен

суммы противоположных сторон описанного около окружности четырехугольника равны. Периметр равен 34, поэтому сумма противоположных сторон равна Стороны длиной 8 и 15 являются соседними, так как их сумма не равна 17. Оставшиеся две стороны равны и Меньшая из оставшихся сторон имеет длину 2.

суммы противоположных сторон описанного около окружности четырехугольника равны, следовательно

По условию большая боковая сторона равна 21, значит

Радиус вписанной окружности

так как трапеция прямоугольная.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле где — полупериметр треугольника, — радиус вписанной в него окружности. Полупериметр тогда периметр треугольника

В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности можно найти по формуле

где — катеты, — гипотенуза.
По теореме Пифагора в треугольнике находим катет

Найдем

Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника равны. Следовательно, сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то есть равна 11. Так как средняя линия трапеции равна половине суммы оснований, то средняя линия равна

По теореме Пифагора

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен

Проведем из центра вписанной в ромб окружности радиусы и к сторонам и соответственно. Тогда получим отрезок, который является высотой ромба, так как точки лежат на одной прямой. Значит, длина равна

Опустим из вершины ромба перпендикуляр на прямую Прямые так как и С учетом получаем, что — параллелограмм и

Рассмотрим треугольник В нём и катет лежит напротив угла в

Тогда сторона ромба равна

Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны. Следовательно, сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то есть равна Так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то ответ:

Для любого многоугольника, в который можно вписать окружность, верно где — полупериметр, а — радиус вписанной окружности.

где — сторона ромба, – его угол. Следовательно, Полупериметр ромба равен Тогда

1 способ.

Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Так как треугольник правильный, то его биссектрисы также являются высотами и медианами. Пусть — точка касания окружности со стороной (то есть — радиус). Следовательно, (как часть высоты) и (как часть медианы, так как медианы точкой пересечения делятся в отношении считая от вершины).

Если то следовательно, тогда

2 способ.
Площадь правильного треугольника со стороной равна Тогда по формуле где — полупериметр, — радиус вписанной окружности, имеем:

1 способ.

Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Так как треугольник правильный, то его биссектрисы также являются высотами и медианами. Пусть — точка касания окружности со стороной (то есть — радиус). Следовательно, (как часть высоты) и (как часть медианы, так как медианы точкой пересечения делятся в отношении считая от вершины).

Если то следовательно, тогда

2 способ.

Площадь правильного треугольника со стороной равна Тогда по формуле где — полупериметр, — радиус вписанной окружности, имеем:

Рассмотрим рисунок. Пусть –= точки касания сторон треугольника с окружностью. — точки на окружности, через которые проведены касательные параллельно сторонам треугольника. Получились треугольники Пусть

Так как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны, то Следовательно,

Аналогично для других треугольников:

Следовательно,

Рассмотрим прямоугольный треугольник (), Пусть — центр вписанной в него окружности. Пусть также — точки касания на сторонах соответственно.

Т.к. отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны, то

Заметим также, что радиусы и перпендикулярны и соответственно (как радиусы, проведенные в точку касания). Следовательно, — прямоугольник (четырехугольник, имеющий три прямых угла). Но т.к. его смежные стороны равны, то это – квадрат. Следовательно,

Тогда периметр треугольника равен:

Пусть — центр окружности.

— радиус окружности, причем (т.к. — касательная, а радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной).

Т.к. окружность вписана в угол, то ее центр лежит на биссектрисе этого угла, то есть Тогда прямоугольный треугольник является равнобедренным, то есть Т.к. отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны, то Следовательно, по теореме Пифагора

Пусть — центр окружности.

— радиус окружности, причем (т.к. — касательная, а радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной).

Т.к. окружность вписана в угол, то ее центр лежит на биссектрисе этого угла, то есть Тогда прямоугольный треугольник является равнобедренным, то есть Т.к. отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны, то Следовательно, площадь прямоугольного треугольника равна

Обозначим одну из точек касания окружности и сторон угла за Пусть также — центр окружности. То есть необходимо найти

— радиус окружности, причем (т.к. — касательная, а радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной).

Т.к. окружность вписана в угол, то ее центр лежит на биссектрисе этого угла, то есть Тогда прямоугольный треугольник является равнобедренным, то есть По теореме Пифагора:

Обозначим точки касания окружности и сторон угла за и Тогда известно, что Пусть также — центр окружности.

Тогда — радиус окружности, причем (т.к. — касательная, а радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной).

Рассмотрим треугольник он равнобедренный ( как отрезки касательных, проведенных из одной точки), следовательно,

Таким образом, он равносторонний, следовательно,

Т.к. окружность вписана в угол, то ее центр лежит на биссектрисе этого угла, то есть Тогда из прямоугольного треугольника

Так как центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника, то — биссектрисы углов соответственно. Тогда в треугольнике имеем:

Следовательно, получаем

Значит, искомый угол равен

Известно, что для любого треугольника где — полупериметр, — радиус вписанной окружности. В нашем случае по формуле Герона (полупериметр )

Следовательно,