Так как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны, то поскольку эти углы опираются на дугу Тогда искомый угол равен

Так как четырехугольник вписан в окружность, то сумма его противоположных углов равна Следовательно,

Отсюда получаем

Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то

Аналогично меньшая дуга (см.рис.). Следовательно, меньшая дуга (см.рис.).

Значит как вписанный и опирающийся на дугу, равную сам равен

Так как четырехугольник вписан в окружность, то сумма его противоположных углов равна Так как то нам даны градусные меры не противоположных углов. Следовательно, нам даны градусные меры односторонних углов. Допустим Тогда наибольшим из оставшихся углов будет

Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны. Следовательно,

Тогда имеем:

Проведем радиусы к каждой вершине правильного шестиугольника. Весь шестиугольник разбит на 6 одинаковых равносторонних треугольника. Угол между соседними радиусами равен ; все шесть треугольников равнобедренные, так как две стороны равны радиусу описанной окружности; следовательно, углы в каждом треугольнике равны Следовательно, радиус описанной окружности равен стороне шестиугольника. Сторона шестиугольника

В равностороннем треугольнике — высота, медиана и биссектриса. — радиус окружности вписанной в шестиугольник. Из треугольника с углами

катет, лежащий напротив угла

Диаметр вписанной окружности

Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна Так как не равно значит и — градусные меры соседних углов вписанного четырехугольника. Найдем два оставшихся угла треугольника:

и

Больший угол четырехугольника равен

Площадь треугольника можно вычислить по формуле где — стороны треугольника, — радиус описанной окружности. Тогда Площадь треугольника равна где — высота треугольника

Треугольник равнобедренный, следовательно и высота, и медиана. найдем из треугольника по теореме Пифагора:

Так как треугольник прямоугольный — является диаметром и точка принадлежит Рассмотрим как угол вписанный в окружность. Тогда — центральный угол, следовательно,

Углы и — смежные, тогда

Так как — центральный, опирающийся на дугу его градусная мера равна градусной мере этой дуги —

Обозначим точки как на картинке ниже.

следовательно, и — биссектрисы соответствующих углов, следовательно, сумма углов и равна полусумме углов и т.е. Тогда по сумме углов треугольника его угол также равен как вертикальные.

Проведя аналогичные рассуждения для биссектрис и получим, что угол также равен Тогда в четырехугольнике сумма противоположных углов

Следовательно, — вписанный.

Рассмотрим картинку:

Т.к. хорды и равны, то равны дуги и Следовательно, вписанные углы, опирающиеся на эти дуги, будут тоже равны:

Таким образом, — трапеция ( — накрест лежащие при прямых и и секущей ). Значит, как сумма односторонних углов при параллельных прямых.

1 способ.

Рассмотрим чертеж:

Пусть — центр окружности, — три последовательные вершины правильного многоугольника. Тогда

Заметим, что правильный многоугольник не может иметь 3 или 4 вершины, так как в этом случае это будет правильный треугольник или квадрат, а у этих фигур угол между соседними сторонами равен и соответственно.

Проведем — радиусы. Так как то К тому же эти треугольники равнобедренные ( и их основания), следовательно,

Отсюда

Значит, дуга равна Так как равные хорды стягивают равные дуги, а все стороны многоугольника равны (он правильный), то вершин многоугольника разбивают окружность на дуг, градусные меры которых равны То есть

2 способ.
Так как многоугольник правильный, его угол равен а сумма всех углов правильного многоугольника равна где — число вершин, то

В таком случае информацию о том, что многоугольник вписан в окружность, мы не использовали.

1 способ.

Пусть Проведем

Тогда также является и медианой, следовательно, Тогда Следовательно,

По теореме синусов

2 способ.

Если — радиус описанной окружности, то верна формула

Найдем площадь треугольника по формуле Герона (полупериметр ):

Тогда

…, — вписанные, тогда …,

Назовём меньшую дугу малой. Аналогично назовём меньшие дуги …, малыми. Каждую из дуг …, можно разложить в сумму малых дуг.

(сумму некоторых малых дуг).

Остаётся понять, сколько раз в данную сумму войдёт каждая малая дуга.

Например, войдёт раз (среди слагаемых , …, она не входит только в ).

Аналогично любая дуга войдёт в данную сумму раз, следовательно,

где — градусная мера окружности.

Так как то

и — вписанные, тогда

Таким образом,

где — градусная мера окружности.

Так как то

Рассмотрим картинку:

Т.к. равные хорды стягивают равные дуги, то меньшие полуокружности дуги равны:

Следовательно, откуда

Значит, вписанный Следовательно, из прямоугольного треугольника

Рассмотрим картинку:

Т.к. равные хорды стягивают равные дуги, то меньшие полуокружности дуги равны:

Следовательно,

Т.к. градусная мера всей окружности равна то

Тогда вписанный

Рассмотрим картинку:

Т.к. равные хорды стягивают равные дуги, то меньшие полуокружности дуги равны:

Т.к. то

Т.к. градусная мера всей окружности равна то

Таким образом,

Следовательно, меньший из углов равен

Рассмотрим картинку:

По признаку около этого четырехугольника можно описать окружность. Следовательно, сумма двух противоположных его углов равна Таким образом,

Рассмотрим картинку:

Т.к. треугольники — равнобедренные, то

Значит,

Т.к. сумма углов треугольника равна то