Так как прямая проходит через начало координат, то она задается уравнением Заметим, что она проходит через точку с координатами Следовательно,

Значение производной функции в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Тогда получаем

Так как прямая проходит через начало координат, то она задается уравнением Заметим, что она проходит через точку с координатами Следовательно,

Значение производной функции в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Тогда получаем

Поскольку касательная параллельна прямой то уравнение касательной имеет вид где Поскольку прямая является касательной, то это может быть, только если функции совпадают. Но при этом решение может быть только одно, то есть должно получиться уравнение, дискриминант которого равен 0:

Однако если квадратное уравнение имеет то его корень равен

Зто значение и есть абсцисса точки касания.

Пусть — абцисса точки касания. Тогда угловой коэффициент касательной в точке равен значению производной в этой точке. Найдём производную функции в точке

Если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны, значит,

Способ 1.

Прямая и парабола касаются, если их функции совпадают только в одной точке. Нужно приравнять функции, тогда получится квадратное уравнение, которое будет иметь один корень при нулевом дискриминанте:

Способ 2.

В точке касания значения функций и их производных равны:

Чтобы найти подставим в квадратное уравнение:

Производная функции в точке положительна, если функция в этой точке возрастает. Значит, в точках и Этих точек 4.

Так как — одна из первообразных функции то

Производная равна нулю в точках, в которых касательная к графику функции расположена горизонтально. Таких точек на отрезке ровно 6.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке. Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона данной прямой.

По условию касательная проходит через точки и Если прямая проходит через точки и то тангенс угла её наклона равен

Тогда мы можем вычислить производную функции в точке

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке. По условию эта касательная проходит через точки и . Если прямая проходит через точки и , то тангенс угла её наклона равен

Тогда мы может вычислить производную функции в точке :

Для функции у которой производная в точке существует, равносильно тому, что возрастает в

На интервале целыми являются точки 0, 1, 2, 3, 4. Среди этих точек возрастает только в точках 1, 2, 4.

Таким образом, производная функции положительна в трех целых точках.

Значение производной в точке равно тангенсу угла наклона касательной в этой точке. Касательная проходит через точки и тогда тангенс угла наклона равен

Рассмотрим прямоугольный

Так как равно тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс, то Следовательно,

Если производная положительна на промежутке то функция на этом промежутке возрастает. Следовательно, нам необходимо определить по графику те промежутки, которые соответствуют частям графика находящимся выше оси

Это промежутки и Таким образом, функция возрастает на промежутках и Наибольшую длину, равную 4, имеет промежуток

Производная функции положительна на тех промежутках, где функция возрастает. Тогда в точках производная функции больше 0. Этих точек 4.

Производная функции в точке с абциссой равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.

Если прямая проходит через точки и то тангенс угла наклона этой прямой равен

По картинке видно, что касательная проходит через точки и

Тогда имеем:

Пусть — точка касания. Так как значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной и то

Так как и имеют общую точку, то

Подставим в

Так как параллельные прямые имеют равные угловые коэффициенты и прямая имеет вид то уравнение касательной будет выглядеть как

Здесь — некоторое число. Так как значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, то

Точка максимума — значение в котором производная меняет свой знак с «» на «» при движении слева направо.

Следовательно, в этой точке график производной пересекает ось абсцисс «сверху вниз». На отрезке таких точек 2.

Графики функций и касаются в точке тогда и только тогда, когда

Тогда график функции и прямая касаются в точке тогда и только тогда, когда

то есть ответ: .

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику в точке

По рисунку видно, что касательная проходит через точки и тогда тангенс угла наклона касательной составляет следовательно,