09. Задачи прикладного характера —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема 9. Задачи прикладного характера

9.01 Задачи прикладного характера

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи прикладного характера

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#23589

Автомобиль, начав тормозить, за $t$ секунд проходит путь $at2 s(t)= v0t− 2 ,$ где $v0$ (м/с) — начальная скорость, $2 a (м/с )$ — ускорение в момент времени $t.$

С какой наименьшей скоростью двигался автомобиль до начала торможения, если за 6 секунд, тормозя с ускорением $5 м/с2,$ он проехал не менее 90 метров? Ответ дайте в м/с.

Показать ответ и решение

По условию $s(6)≥ 90$ при $a= 5.$ Тогда имеем неравенство:

s(6) ≥90 5⋅62 6v0− 2 ≥ 90 6v0 ≥ 90+ 90 6v0 ≥ 180 v0 ≥ 30

Значит, до начала торможения автомобиль двигался со скоростью не меньше 30 м/с.

Ответ: 30

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#1608

Купаясь в ванне, Игорь прикинул, что на него со стороны воды действует сила Архимеда

FA =ρgV,

где $ρ$ — плотность воды в кг/м $3,$ $g$ — ускорение свободного падения в м/с $2,$ $V$ — объем Игоря в м $3.$ Игорь задумался, во сколько раз увеличилась бы сила, действующая на него со стороны воды в ванне, если при неизменной плотности его объем увеличился в 8 раз. Какой ответ должен получить Игорь?

Показать ответ и решение

Пусть до увеличения объем Игоря был равен $VИгоря$ м $3.$ Сила Архимеда, с которой на него действовала вода, была равна $FA1.$

Тогда после увеличения объем Игоря стал равен $8VИгоря$ м $3,$ а сила Архимеда стала равна

FA2 = ρg⋅8VИгоря = 8ρgVИгоря = 8FA1

Значит, сила Архимеда увеличилась в 8 раз.

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#1602

Совершенный газ описывается законом Менделеева-Клапейрона $pV = νRT.$ Здесь $p$ — давление в паскалях, $V$ — объем в $м3,$ $ν$ — количество вещества в молях, $T$ — температура в кельвинах, $R$ — универсальная газовая постоянная, равная 8,31 Дж/(К $⋅$ моль). В некоторый момент давление газа увеличилось в 2 раза по сравнению с первоначальным.

Во сколько раз при этом должен был увеличиться объем газа, если его температура увеличилась в 7 раз?

Показать ответ и решение

Пусть $V1$ — начальный объём газа в $м3,$ $p1$ — начальное давление газа в паскалях, $T1$ — начальная температура газа в кельвинах, $V2$ — конечный объем газа в $м3.$

Тогда $7T1$ — конечная температура, $2p1$ — конечное давление газа.

Для начальных параметров известно, что

p1V1 = νRT1

Для конечных параметров известно, что

2p1V2 = νR ⋅7T1

Умножая первое уравнение на 7, получаем

7p1V1 = 7νRT1

Отсюда заключаем, что

7p1V1 = 2p1V2 ⇔ V2 = 3,5V1

Тогда объем совершенного газа должен был увеличиться в 3,5 раза.

Ответ: 3,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#1601

Совершенный газ описывается законом Менделеева-Клапейрона

pV =νRT

Здесь $p$ — давление в паскалях, $V$ — объем в $м3,$ $ν$ — количество вещества в молях, $T$ — температура в кельвинах, $R$ — универсальная газовая постоянная, равная 8,31 Дж/(K $⋅м оль).$ Во сколько раз надо увеличить температуру совершенного газа, чтобы при неизменном давлении его объем вырос в 3 раза?

Показать ответ и решение

Пусть $V1$ — начальный объём газа в $м3,$ $T1$ — начальная температура газа в кельвинах, $T2$ — конечная температура газа в кельвинах. Так как объем газа увеличился в 3 раза, то $3V1$ — конечный объём.

Для начальных параметров известно, что

pV1 = νRT1

Для конечных параметров известно, что

p⋅3V1 =νRT2

Умножая первое уравнение на 3, получаем

3pV1 = 3νRT1

Отсюда заключаем, что

3νRT1 = νRT2 ⇒ T2 =3T1

Тогда температуру совершенного газа надо увеличить в 3 раза.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#529

Совершенный газ описывается законом Менделеева-Клапейрона: $pV = νRT$ , где $p$ – давление в Паскалях, $V$ – объем в м $3$ , $ν$ – количество вещества в молях, $T$ – температура в кельвинах, $R$ – универсальная газовая постоянная, равная $8,31$ Дж/(К $⋅$ моль). Во сколько раз надо увеличить температуру совершенного газа, чтобы при неизменном давлении его объем вырос в 3 раза?

Показать ответ и решение

Пусть $V1$ – начальный объём газа в м $3$ , $T1$ – начальная температура газа в кельвинах, $T2$ – конечная температура газа в кельвинах (т.е. после увеличения объема в 3 раза), тогда $3V1$ – конечный объём.

Для начальных параметров известно, что

pV1 = νRT1,

для конечных параметров известно, что

p ⋅ 3V1 = νRT2.

Умножая первое уравнение на $3$ , получаем

3pV1 = 3νRT1,

откуда заключаем, что $3νRT1 = νRT2$ , следовательно, $T2 = 3T1$ , то есть, температуру совершенного газа надо увеличить в $3$ раза.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#421

Совершенный газ описывается законом Менделеева-Клапейрона: $pV = νRT$ , где $p$ – давление в паскалях, $V$ – объем в м $3$ , $ν$ – количество вещества в молях, $T$ – температура в кельвинах, $R$ – универсальная газовая постоянная, равная $8,31$ Дж/(К $⋅$ моль). В некоторый момент давление газа увеличилось в $1,5$ раза по сравнению с первоначальным. В какое минимальное число раз при этом должен был увеличиться объем газа, чтобы его температура увеличилась не менее, чем в 6 раз?

Показать ответ и решение

Обозначим начальные параметры с индексом 0. Выразим температуру:

T = pV-, νR

тогда при увеличении давления газа в 1,5 раза и увеличении его температуры не менее чем в 6 раз имеем:

1, 5p0V p0V0 --------= T ≥ 6T0 = 6 ⋅----, νR νR

откуда $V ≥ 4V0$ , то есть объем газа должен был увеличиться не менее, чем в 4 раза.

Ответ: 4

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#417

Совершенный газ описывается законом Менделеева-Клапейрона $pV = νRT.$ Здесь $p$ — давление в паскалях, $V$ — объем в $м3,$ $ν$ — количество вещества в молях, $T$ — температура в кельвинах, $R$ — универсальная газовая постоянная, равная 8,31 Дж/(К $⋅$ моль). В какое минимальное число раз надо увеличить температуру совершенного газа, чтобы при неизменном давлении его объем вырос не менее чем в 5 раз?

Показать ответ и решение

Обозначим начальные параметры с индексом 0. При увеличении объема не менее чем в 5 раз имеем:

νRT = pV ≥ 5pV0 = 5νRT0

Отсюда $T ≥ 5T0,$ то есть чтобы при неизменном давлении газа его объем вырос не менее чем в 5 раз, надо увеличить его температуру минимум в 5 раз.

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#286

В гидростатике сила давления жидкости на дно цилиндрического сосуда может быть найдена по формуле $F = ρghSдна,$ где $F$ — сила давления в ньютонах, $ρ$ — плотность жидкости в $кг/м3,$ $h$ — высота столба жидкости в метрах, $Sдна$ — площадь дна в $м2.$ Во сколько раз увеличится сила давления на дно сосуда, если высоту столба жидкости уменьшить в 2 раза при одновременном увеличении радиуса круглого дна в 5 раз?

Показать ответ и решение

Пусть начальная сила давления жидкости на дно сосуда равна $F1$ Н, высота столба жидкости в начальном состоянии равна $h1$ м, а радиус его основания $r1$ м.

Пусть конечная сила давления давления жидкости на дно сосуда равна $F2$ Н, тогда высота столба жидкости в конечном состоянии равна $0,5h1,$ а радиус основания равен $5r1.$

Для начальных параметров известно, что

2 F1 = ρgh1⋅πr1

Для конечных параметров известно, что

2 2 F2 = ρg⋅0,5h1⋅π(5r1) = 12,5ρgh1⋅πr1 =12,5F1

Тогда сила давления на дно сосуда увеличится в 12,5 раз.

Ответ: 12,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#86192

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 481 МГц. Скорость погружения батискафа $v$ вычисляется по формуле $f − f v = c⋅f +-f0, 0$ где $c =1500$ м/с — скорость звука в воде, $f0$ — частота испускаемых импульсов (в МГц), $f$ — частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите частоту отражённого сигнала в МГц, если скорость погружения батискафа равна 20 м/с.

Источник: СтатГрад 24.04.2024

Показать ответ и решение

Задача сводится к решению уравнения $v = 20$ м/с при известных значениях $c =1500$ м/с — скорости звука в воде и $f0 =481$ МГц — частоты испускаемых импульсов:

v = 20 f −-481 1500⋅ f + 481 = 20 f − 481 75⋅f-+481 = 1 75f − 75⋅481= f + 481 74f = 481⋅76 f = 13 ⋅38 = 494 М Гц.

Ответ: 494

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#83752

К электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет $R1 = 7$ Ом. Параллельно с ними к электросети предполагается подключить электроприбор. Определите наименьшее возможное сопротивление $R2$ этого электроприбора, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями $R1$ и $R2$ их общее сопротивление задаётся формулой $R1R2 Rобщ = R1+-R2.$ При этом для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше $2$ Ом. Ответ дайте в омах.

Показать ответ и решение

Подставим данные по условию числа и решим неравенство:

$pict$

Ответ: 2,8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#83439

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a$ $( ) в км/ч2 .$ Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $√--- v = 2la,$ где $l$ — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 1 км, приобрести скорость 120 км/ч. Ответ дайте в $км/ ч2.$

Источник: ЕГЭ 2024, досрочная волна

Показать ответ и решение

Подставим данные в формулу:

120= √2-⋅1⋅a- √-- 120= 2a 2 120 = 2a a= 120⋅60 a= 7200

Ответ: 7200

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#80085

Период колебаний пружинного маятника $T0$ определяется формулой $T0 = 2π∘ m- k$ , где $m$ $−$ масса подвешенного тела (в кг), $k$ $−$ жесткость пружины (в Н/м). Определите минимальную жесткость пружины $k$ , при которой период колебаний будет составлять не более $4π$ , если масса тела составляет 4 килограмма.

Показать ответ и решение

Подставим имеющиеся значения в формулу и решим полученное неравенство:

∘ -- 4 2π k ≤ 4π,

∘ -- 2 4≤ 4, k

4 4 ⋅k-≤ 16,

16 -- ≤ 16. k

Поскольку, очевидно, $k > 0,$ то неравенство можно домножить на $k :$

16 ≤ 16k,

1 ≤ k.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#76271

Дядя Фрэнк со своей семьей едут к Маккалистерам в гости на тепловозе. Перед отправкой их тепловоз издал гудок с частотой $f0 = 292$ Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка $f$ больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону $f(v)= -f0v- 1− c$ (Гц), где $c$ — скорость звука (в м/с).

Мать дяди Фрэнка, стоящая на платформе и провожающая их, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 8 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если мать дяди Фрэнка смогла различить сигналы, а $c= 300$ м/с. Ответ выразите в м/с.

Показать ответ и решение

По условию $f − f0 ≥ 8.$ Следовательно, $f ≥ 8 +f0.$ Тогда мы получаем следующее неравенство:

--292- 8+ 292≤ 1 − v300- 292⋅300 300≤ -300−-v

Так как $v < c,$ то $300 − v > 0.$ Умножим обе части неравенства на $300− v$ и получим

300− v ≤ 292 v ≥8

Следовательно, минимальная скорость равна 8 м/с.

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#75427

Период колебаний математического маятника $T0$ определяется формулой $∘ L- T0 = 2π g,$ где $g = 10$ $2 м/c$ — ускорение свободного падения, $L$ — длина невесомой нерастяжимой нити. Определите максимальную длину нити $L,$ при которой период колебаний будет составлять не более $3π -2 .$

Показать ответ и решение

Подставим имеющиеся значения в формулу и решим полученное неравенство:

∘ --- 3π L 2--≥ 2π 10,

∘ --- L- 3 ≥ 4 10,

L 9 ≥ 16 ⋅-, 10

90 --≥ L, 16

5,625 ≥ L.

Ответ: 5,625

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#75174

Снегурочка продумывает запуск фейерверков в новогоднюю ночь. В одном пиротехническом пособии она нашла следующую формулу:

B- S h(t) = sin α⋅T ⋅6 ,

где $h$ — высота взрыва фейерверка в метрах, $α$ — угол наклона капсулы с порохом к горизонту в градусах, $B$ — рейтинг производителя фейерверка, $T$ — время полёта в секундах, $S$ — стоимость фейерверка в тысячах рублей.

Снегурочка провела исследования и выделила следующие требования к качеству фейерверка:

1. Время полёта должно составить ровно 1 минуту;

2. Рейтинг производителя должен быть равным 20;

3. Угол наклона должен составить $∘ 30$ ;

4. Высота полёта должна составить не менее 216 метров.

Неясной осталось лишь финансовая сторона вопроса. Помогите Снегурочке найти наименьшее значение стоимости фейерверка в рублях, при котором все описанные требования будут соблюдены.

Показать ответ и решение

Подставим известные значения в формулу и составим неравенство:

∘ 20 S sin30 ⋅60 ⋅6 ≥ 216,

1 1 2 ⋅3 ⋅6S ≥ 216,

6S ≥ 216⋅6,

6S ≥ 64,

S ≥ 4.

Минимальное значение $S = 4$ тысячи рублей.

Ответ: 4000

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#72205

Груз массой $2,4$ кг колеблется на пружине. Его скорость $v$ меняется по закону $2πt v = v0cos T-,$ где $t$ — время с момента начала колебаний, $T = 2$ с — период колебаний, $v0 = 3,1$ м/с. Кинетическая энергия $E$ в джоулях груза вычисляется по формуле $mv2 E = -2--$ , где $m$ — масса груза в килограммах, $v$ — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 3 секунды после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Показать ответ и решение

Запишем общую формулу кинетической энергии $E :$

( 2πt)2 m v0cos-T- E = -------2------ .

Подставим имеющиеся значения переменных в формулу:

( ) 2π-⋅3 2 2,4--3,1cos--2---- 2,4(3,1cos3π)2 E = 2 = 2 =

2,4 ⋅9,61 = --------= 1,2 ⋅9,61 = 11,532. 2

Ответ: 11,532

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#58799

Груз массой 0,08 кг колеблется на пружине. Его скорость $v$ меняется по закону $v = v0sin 2πTt,$ где $t$ — время с момента начала колебаний, $T = 12$ с — период колебаний, $v0 =0,5$ м/с. Кинетическая энергия $E$ (в джоулях) груза вычисляется по формуле $2 E = mv2-,$ где $m$ — масса груза в килограммах, $v$ — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 1 секунду после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Показать ответ и решение

Вместо $v$ подставим в формулу кинетической энергии соответствующее выражение для скорости груза:

mv2 m(v0sin 2πt)2 E = -2--= -----2-T---

Подставим известные из условия значения:

mv20sin2 2πTt 0,08-⋅0,52sin2 2π1⋅12 E = 2 = 2 = = 0,04 ⋅0,25sin2 π-= 0,04 ⋅0,25⋅0,52 = 0,0025 6

Ответ: 0,0025

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#58780

Водолазный колокол, содержащий $ν = 2$ моль воздуха при давлении $p1 = 1,5$ атмосферы, медленно опускают на дно водоема. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p2.$ Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $p A = ανT log2p21,$ где $α = 5,75$ — постоянная, $T =300$ К — температура воздуха. Найдите, какое давление $p2$ (в атмосферах) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 6900 Дж.

Показать ответ и решение

Подставим все известные из условия величины в формулу:

p2- 6900= 5,75⋅2 ⋅300⋅log21,5 p2- 23= 11,5 ⋅log21,5 p 23 log2 12,5-= 11,5- log2 p2-= 2 1,5 p2-= 22 1,5 -p2= 4 1,5 p2 = 6

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#58468

Сила тока в неразветвлённой части полной цепи с $n$ параллельно соединенными одинаковыми элементами ЭДС может быть найдена по формуле $I = --ℰ--, R + rn$ где $ℰ$ — ЭДС каждого источника в вольтах, $R =5,6$ Ом — сопротивление цепи в омах, $r =2$ Ом — внутреннее сопротивление каждого источника. Сила тока составила треть от силы тока короткого замыкания одного источника $ℰ Iкз = r.$ Сколько элементов ЭДС в цепи?

Показать ответ и решение

По условию сила тока составила треть от силы тока короткого замыкания одного источника:

1 I = 3Iкз ℰ 1 ℰ R+-r-= 3 ⋅r- n --1r-= 1 ⋅ 1 R+ n 3 r R+ r-= 3r n --r--- ---2---- -2- n = 3r− R = 3⋅2− 5,6 = 0,4 =5

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#47419

Двигаясь со скоростью $v = 4$ м/с, трактор тащит сани с силой $F = 90$ кН, направленной под острым углом $α$ к горизонту. Мощность, развиваемая трактором, вычисляется по формуле $N = Fvcosα.$ Найдите, при каком угле $α$ эта мощность будет равна 180 кВт (кВт — это $кН-⋅м с$ ). Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

Подставим данные в формулу:

1 180= 90⋅4 ⋅cosα ⇔ cosα = 2

Так как по условию угол острый, то выбираем $∘ α= 60 .$

Ответ: 60

Предыдущий раздел

Следующий раздел