Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Из формулы разложения определителя по -ому столбцу:
вывести формулу разложения определителя по -ой строке:
Допустим, уже доказана формула разложения по ому столбцу
Тогда, с учётом того, что определитель при транспонировании не меняется:
Здесь мы воспользовались тем, что минор в транспонированной матрице равен -минору в
исходной матрице, то есть тем фактом, что .
Но в конце мы и получаем в точности формулу разложения по строке, осталось лишь заменить индекс
суммирования на , а фиксированный индекс наоборот на , но от переименования индексов здесь
ничего не зависит, потому что и в данном контексте являются независимыми индексами. Формула
доказана.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вычислить определитель
разлагая его по третьей строке.
По формуле разложения определителя по третьей строке получаем:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Шесть нулей и три единицы случайно записывают в матрицу . С какой вероятностью у получившейся матрицы будет ненулевой определитель?
Определитель состоит из суммы из 6 слагаемых:
Ясно, что если у нас в распоряжении только три единицы и шесть нулей, то только
одно из этих слагаемых может быть отлично от нуля. Таким образом, подходящих нам
исходов будет 6 - в зависимости от того, какое из этих шести слагаемых будет равно единице.
А сколько у нас всего исходов? Столько, сколько существует всего матриц , в которые мы
записываем шесть нулей и три единицы. Таким матриц будет столько, сколькими способами можно на
9 мест поставить куда-то три единицы, то есть
Таким образом, искомая вероятность равна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть - матрица размера , в которую мы записали по строкам все цифры
десятичной записи числа , начиная от 100000000000, заканчивая 100004090505 знаком.
Пусть - матрица размера , в которую мы записали по строкам даты рождения
всех когда-либо живших немецких, французских, английских и русских математиков, в
честь которых названа хоть одна теорема хоть в одном курсе по алгебре или мат. анализу.
Чему равняется ?
Ясно, что , аналогично, ранг не превосходит минимума из
количества строк и столбцов.
Тогда, по неравенству о рангах,
А при этом матрица имеет размеры . Но её ранг не больше 2022. Следовательно
- матрица неполного ранга, а, значит, .
Замечание. Если вы пытались это посчитать, расписав ,
проверьте, точно ли вы помните, что такое определитель и у каких матриц его
можно считать...
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Поверив в то (а это, конечно, правда), что числа делятся на , доказать, ничего не считая, что и определитель матрицы
Тоже делится на .
Замечание. Ещё раз обговорим условия - в этой задаче для доказательства вообще
запрещены любые вычисления - начиная от непосредственного вычисления определителя,
заканчивая любыми арифметическими операциями.
Введём для удобства такую вот матрицу .
А теперь заметим, что
Далее, по свойству определителей,
поскольку (при развертывании определителя из 24 слагаемых у только
одно слагаемое будет ненулевым - когда мы возьмём все элементы на главной диагонали).
Однако, коль скоро все указанные в условии числа делятся на 31, то для них, по определению
делимости, найдутся такие такие, что
Таким образом, мы можем написать, что
Теперь по свойству определителя, из последнего столбца определителя можно вынести общий множитель и получить:
Откуда видно, что делится на 31, поскольку он есть 31, умноженный на
, а - это явно целое число, поскольку все элементы этой
матрицы целые, а при подсчете определителя мы только умножаем и складываем, а, значит, если все
элементы матрицы целые, то и её определитель цел.
Таким образом, наш исходный получается равен целому определителю
, умноженному на 31. И мы всё доказали.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Показать, что определитель матрицы
Как функция от является многочленом. Этот многочлен называется характеристическим многочленом матрицы .
Когда мы будем расписывать определитель по явной формуле, у нас будет сумма из всевозможных
произведений этой матрицы, причем элементы будут в этом произведении каждый раз браться из
разных строк и из разных столбцов.
Таким образом, у нас эти будут умножаться либо на числа, либо сами на себя, а затем
складываться. Понятно, что при таких операциях может получиться только многочлен. Причём
очевидно, что это будет многочлен степени .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пользуясь определением через сумму по перестановкам, вычислить определитель матрицы
Итак, будем пользоваться определением определителя через сумму по перестановкам
По этой формуле для определителя получается слагаемых, и не очень-то хотелось бы
выписывать их все.
Обратим внимание, что у нас четвертая строка почти вся состоит из нулей. А это означает, что у нас
автоматически занулятся слагаемые, которые имеют вид
Для тех , для которых (то есть слагаемые из четвертой строчки и нечетвёртого столбца). Таким образом, незанулятся только слагаемые для тех , для которых . Таких слагаемых будет 6 штучек:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Выбрать значения так, чтобы произведение
входило в развернутую сумму для вычисления определителя матрицы со знаком минус.
Ясно, что , поскольку первые индексы всегда пробегают все возможные строки, а на первых
индексах у нас стоят все числа, кроме двойки.
Далее, чтобы это слагаемое входило со знаком минус, нам нужно, чтобы перестановка
была нечётной.
У нас всего два варианта, либо , либо наоборот , ибо числа внизу не должны
повторяться.
Если , то мы получаем такую перестановку:
И в ней будет 11 инверсий, то есть она будет нечетной, то есть это то, что нам нужно.
Следовательно, .
Нетрудно увидеть, что если бы , то в перестановке было бы 10 инверсий, и нам бы это не
подошло.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
a) Для матрицы выписать полностью явно формулу определителя
b) Вычислить по этой формуле определитель матрицы
a) Если выписывать явную формулу для определителя, то получится:
b) По приведенной выше формуле мы получим
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
a) Сколько будет слагаемых в комбинаторной формуле вычисления определителя матрицы ?
b) А сколько из них будет со знаком ? А со знаком ?
a) Слагаемых будет столько, сколько существует различных перестановок на элементах .
Каждая перестановка имеет вид
это следует из того, что , коль скоро она в , обязана быть биекцией
Тогда получается, что для есть вариантов, потому что единичку перестановка может
отправить в любое число от до .
Далее, для есть вариант, поскольку двойку может отправить в любое число от до
, за исключением того числа, в которое отправила единичку.
Для , по аналогичным соображениям, возможны всего варианта, потому что два уже
запрещены - те, в которые отправила 1 и 2.
Тем самым, всего вариантов для заполнения нижней строки в двустрочной записи перестановки
будет
b) Слагаемое определении определителя через сумму по перестановкам будет со знаком плюс, если
оно соответствует четной перестановке (четное число инверсий), и со знаком минус, если оно
соответствует нечетной перестановке (нечетное число инверсий).
Итак, мы утверждаем, что в всегда чётных и нечётных перестановок поровну.
Обозначим через - это множество нечётных перестановок, а через - множество
чётных перестановок.
Ясно, что
Теперь, пусть некоторая , то есть - чётная перестановка. Возьмём теперь такую , которая меняет местами 1 и 2, а остальные элементы оставляет на месте:
Тогда мы утверждаем, что , то есть если умножить произвольную чётную перестановку
на , то получится нечётная перестановка.
Действительно, это так, потому что если пара составляла инверсию в , то в она не будет
составлять инверсию, и наоборот, если пара не составляла инверсию в , то в она начнёт
составлять инверсию.
Таким образом, количество инверсий в и в отличаются на 1, значит, и имеют разную
четность. Поэтому, если , то .
На самом деле, мы с вами построили сейчас отображение
по правилу
Это отображение будет инъективно. Действительно, пусть , но это то же самое, что . Тогда, коль скоро у каждой перестановки есть обратная, домножим это равенство на справа, и получим, что
Следовательно, если , то . Это и есть определение инъекции. А раз у нас есть инъекция
то заведомо можно утверждать, что .
Наоборот, при помощи той же самой можно построить инъекцию
По правилу: если - произвольная нечетная перестановка, то будет уже чётной, поэтому правило для будет таким:
Аналогично проверяется, что - инъекция из в , следовательно, .
Таким образом получается, что , а с учётом того, что , мы получаем,
что
И, таким образом, когда мы будем расписывать наш определитель в виде суммы по перестановкам, ровно половина слагаемых у нас будет с плюсом, и ровно половина - с минусом.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти объем тетраэдра, натянутого на векторы , , .
Поскольку объем тетраэдра, натянутого на векторы равен от объема параллелепипеда,
натянутого на те же самые векторы , то искомый объем будет равен
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти высоту , опущенную из вершины на сторону , где , треугольника .
Ясно, что . В то же самое время, .
В то же время - длина вектора есть корень из суммы
квадратов его координат - это по сути теорема Пифагора.
Следовательно, .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Доказать, что площадь треугольника, составленного из медиан данного треугольника , равна
от его площади, т.е. .
Пусть , . Кроме того, для удобства обозначим медианы данного треугольника через , .
Тогда ясно, что , . Но тогда
.
Что и требовалось доказать.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Доказать явную формулу определителя . То есть доказать, что определитель можно вычислять как .
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вычислите определитель с помощью представления в виде суммы определителей
- 1.
- 2.
- 3.
Определители обладают следующим свойством:
если - столбцы матрицы, то
. То же верно и для строк
Воспользуемся этим свойством для поиска определителей:
- 1.
Заметим, что , так как сумма первой и второй строки дает третью, а значит, если их вычесть из третьей, то будет определитель с нулевой строкой, и он равен 0.
Видим, что , так как, опять же, сумма первой и второй строк дает третью.
- 2.
Заметим, что , так как это определитель с двумя одинаковыми столбцами и , так как если прибавить к последнему столбцу два первых, то будет нулевой столбец.
- 3.
Заметим, что и .
Ответ
- 1.
- 2.
- 3.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Доказать, что след произведения двух матриц не зависит от порядка сомножителей.
Пусть у нас есть две матрицы - и . Мы хотим доказать, что .
Для того, чтобы и , и были определены, нужно чтобы соответствующие размеры
матриц были равны: если матрица размера , то матрица должна иметь размер
. Тогда матрица будет размера , а матрица - размера .
У матриц и , по определению умножения матриц, будут следующие элементы:
.
, где - матрица размера .
Тогда:
.
Если заменить индексы в последней сумме: , то получится в точности . Получаем, что .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
С помощью правила Крамера решить систему уравнений:
По правилу Крамера, , где получена из заменой -того столбца на столбец свободных членов. Проведем вычисления в соответствии с этим правилом.
- а)
-
- б)
-
- в)
-
- г)
-
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Доказать, что если матрицы и перестановочны, то
Привести пример двух матриц, для которых эта формула неверна.
Если матрицы перестановочны, то . Поэтому когда мы из произведения скобок выбираем раз матрицу (и, следовательно, выбираем раз матрицу ), то мы получаем слагаемых, состоящих из произведения матриц и . Пользуясь перестановочностью матриц, меняем местами множители и , перенося таким образом в левую часть произведения, – в правую. И получаем требуемое равенство.
На неперестановочных матрицах, конечно же, такое свойство не работает: возьмём для примера матрицы
Следовательно,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Считая определитель по определению через сумму по перестановкам найти члены, содержащие и .
Определитель матрицы - это большая сумма:
Это определение в точности означает, что слагаемые, входящие в
определитель, состоят из произведения множителей, где каждая пара
множителей не имеет ни общую строку, ни общий столбец.
Следовательно, можем сразу же найти все члены, содержащие : так как
дана матрица , то необходимо с каждой строки взять множитель, равный
. В первой и третьей строке такие элементы единственные – из первого и
третьего столбца соответственно.
Тогда из второй строки мы обязаны взять элемент из второго столбца
(ведь элемент из первого столбца уже есть в нашем произведении). С
четвёртой строкой аналогично – берём элемент из четвёртого столбца.
Следовательно, член, содержащий , единственный и равен .
Аналогично найдём члены, содержащие – нам нужно взять ровно из трёх строк по , – коэффициент. Но мы не сможем взять из первой строки, потому что это будет означать, что из оставшихся строк мы можем взять либо три , либо меньше двух (проверьте!). Поэтому возьмём со второй, третьей и четвёртой строки, а с первой возьмём число. Следовательно, возможны такие варианты:
Осталось посчитать количество перестановок, чтобы найти члены, содержащие – у первой матрицы число перестановок равно , у второй равно . Поэтому элементы равны и .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вычислить определитель
Поскольку определитель матрицы не меняется при сложении и вычитании строк, то
Разложим матрицу по последнему столбцу. У нас получится произведение элемента на определитель верхнетреугольной матрицы. Поменяем столбцы верхнетреугольной матрицы местами, ведь определитель матрицы
равен 1. С учётом знака перестановки получаем
Осталось посчитать степень у . Если , то
Если , то
Если , то
Если , то
Следовательно, получаем ответ: