Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Убедиться в справедливости теоремы Кронекера-Капелли, а также в том, что количество главных неизвестных равно рангу, решив систему, а также вычислив ранги матрицы и расширенной матрицы системы
1. Найдем ранг матрицы .
Пойдем, например, методом окаймляющих миноров. Очевидно, что . Далее, возьмем левый
верхний минор . Следовательно, ранг нашей матрицы больше либо равен
двум.
Далее, давайте посчитаем миноры порядка три, содержащие минор .
(Это нормально, что некоторые из миноров вообще были одинаковыми - их конечно можно было
не вычислять по-новой, но выписать мы их все равно обязаны, формально все эти шесть
окаймляющих миноров получились вычеркиванием различных строк и столбцов исходной матрицы).
И мы видим, что .
2. Найдем ранг расширенной матрицы .
А в этом случае давайте приведем нашу матрицу к ступенчатому виду. В ступенчатом виде она будет
такой:
И мы видим, что . Следовательно, по теореме Кронекера-Капелли, данная система
линейных уравнений разрешима.
Более того, всего неизвестных у нас четыре, а ранг системы равен 2, следовательно, у нас должно
получиться 2 главных неизвестных (и, соответственно, свободных).
Так оно и есть: за главные мы берем и . Тогда из второй строчки мы получаем,
что
Тогда из первой строчки
Таким образом, можем записать общее решение нашей системы:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Составить параметрические уравнения плоскости
Найдем общее решение системы уравнений с матрицей
Домножим вторую строку на и вычтем из нее первую строку, умноженную на , получим эквивалентную систему:
Частное решение неоднородного уравнения – вектор . Найдем общее решение однородной системы, заодно разделив вторую строку на :
Для удобства прибавим к первой строке вторую, умноженную на :
Тогда общее решение однородной системы имеет вид
Общее решение неоднородной системы (совпадающее с требуемым параметрическим заданием плоскости):
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
a) Найти многочлен третьей степени, для которого:
b) Найти многочлен четвертой степени, для которого:
a) Пусть искомый многочлен имеет вид . Тогда из условия можно составить следующую систему из четырех уравнений:
Решением этой системы будет . Значит, искомый многочлен:
b) Сделаем то же самое для многочлена четвертой степени. Он имеет вид . Составим систему:
Решением этой системы будет . Искомый многочлен:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решить матричные уравнения
a)
b)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решить систему матричных уравнений и найти матрицу
Запишем первое уравнение системы, задав матрицу :
Составим систему уравнений для первой строки матрицы :
Решим ее.
Аналогично составим систему уравнений для второй строки матрицы :
. Составим систему уравнений для третьей строки матрицы
:
Мы получили матрицу :
Подставим её во второе уравнение системы:
Получившуюся систему решим стандартным способом через обратную матрицу:
Произведем проверку, подставив найденные матрицы и в исходную систему уравнений:
Система решена верно.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
1.Сначала решим систему, используя формулы Крамера:
2.Теперь матричным методом (через обратную матрицу):
Произведем проверку:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти ФСР ОСЛУ заданной
Присоединенную матрицу выписывать нет никакого смысла, поскольку система однородная и незачем
приписывать столбец нулей.
Далее, приводим нашу матрицу методом Гаусса к ступенчатому виду и получаем следующую
матрицу:
Это означает, что
или, выражая главные переменные через независимые:
Далее, базис пространства решений, т.е. ФСР нашей ОСЛУ в данном случае будет состоять из двух
векторов (по числу независимых переменных в общем решении). Cоставляется он так: в формулы для
общего решения мы поочередно подставляем вместо каждой независимой переменной а
вместо всех остальных независимых переменных И вычисляем, чему равны
Таким образом
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Перемножить матрицы:
Здесь всё делается стандартно по формуле умножения матриц. На выходе мы получим матрицу размера Вот вам ответ, чтобы было, с чем сверять собственные вычисления:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Перемножить матрицы:
По формуле умножения матриц, имеем:
(В конце мы воспользовались формулами синуса и косинуса суммы углов).
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Верно ли, что:
a) сумма
b) произведение
матриц не зависит от порядка, то есть
a) для любых матриц и для которых вообще возможно сложение и
b) для любых матриц и для которых вообще возможно умножение?
a) Это свойство очевидно выполнено для всех матриц, для которых вообще возможно сложение
(то есть для матриц одинакового размера). Просто вспомните определение - матрицы
складываются покомпонентно. То, что сложение матриц не зависит от их порядка, следует
из того, что с обычными числами работает такое же правило: например,
b) Здесь ответ будет нет сразу по двум причинам.
Во-первых, произведение матриц не всегда определено.
То есть, допустим, в то время как произведение в таком порядке
определено
Но если я мы их обменяем местами, то получится вот такое "произведение":
Это произведение уже очевидно не определено. Ведь произведение матрицы размера
на матрицу размера определено только в том случае, когда То есть,
количество столбцов матрицы, идущей первой в произведении. У нас же количество столбцов первой
матрицы - это 2, а количество строк второй матрицы равно 3. Перемножить их так просто-напросто
не получится.
Во-вторых, даже если произведение матриц и определено в обоих порядках, то есть можно
посчитать и и , то эти два произведения вовсе не обязательно должны получиться
одинаковыми.
К примеру, давайте возьмём и в качестве возьмём
Тогда, опять же таки по формуле произведения матриц, имеем:
Но если мы захотим перемножить их в другом порядке, то тогда получится матрица:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Перемножить матрицы:
По формуле произведения матриц получается, что
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решить методом Гаусса систему уравнений:
Запишем расширенную матрицу системы
Далее, нам нужно привести её к ступенчатому виду. Сначала умножим первую строку на 4, а вторую
на на 9. То есть мы что два раза применили Э.П. 2.
Получается такая матрица:
Поменяем для удобства строчки местами вот в таком порядке (это несколько раз применённое
Э.П.1):
Теперь отнимаем из третьей строки первую:
. Поделим обратно первую строчку на 9, чтобы числа не были такими большими:
Далее, умножим первую строку на 7, вторую строку на 4: и
прибавим ко второй строчке первую:
Умножим теперь третью строчку на :
И прибавим вторую строчку к третьей:
Смотрите, последнее уравнение гласит, что Конечно, таких
подобрать просто нельзя. Поэтому система наша не имеет решений.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решить методом Гаусса систему уравнений:
Здесь мы сталкиваемся с несколько необычным случаем. У нас уравнений получилось меньше, чем
неизвестных. Это означает, что либо наша система имеет бесконечно много решений, либо не имеет ни
одного. Но давайте не забегать вперёд. Мы и так это поймём, если попробуем решить её методом
Гаусса, как и раньше.
Запишем расширенную матрицу системы
Далее, нам нужно привести её к ступенчатому виду. Сначала умножим первую строку на 2, вторую
на 3, а третью на 6. (Так мы добьемся, что в первом столбце все коэффициенты станут равны
а это значит, что нам будет удобно все под левым верхним элементом обнулить!). То есть мы
считайте что три раза применили Э.П. 2.
Далее, мы вычитаем первую строчку из второй и из третьей, то есть
дважды применяем Э.П.2. Получается вот такая матрица:
Осталось лишь вторую строку умножить на 10: И далее
вычесть вторую строку из третьей: Последняя строчка у нас
занулилась, то есть на неё мы вообще не будем обращать внимания. Во второй строчке у нас
написано, что или, что то же самое, Значит, мы берём
за главную, или базисную, переменную, а будет у нас свободной переменной.
Подставляем в первое уравнение и получаем, что
То есть,
Таким образом,
Ответ: = где и - любые вещественные числа. Таким образом,
поскольку и мы можем брать любыми, у нас получилось бесконечно много решений.
Наши формулы и описывают зависимость между главными
переменными и и свободными переменными и
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решить методом Гаусса систему уравнений:
Поступим так, как и требуется от нас, согласно алгоритму метода Гаусса. Запишем расширенную
матрицу системы
Далее, мы хотим привести её к ступенчатому виду при помощи наших элементарных преобразований
(сокращённо Э.П.) Напомним, что:
Э.П. 1. Поменять местами какие-то две строки матрицы.
Э.П. 2. Умножить какую-то строку на ненулевое число.
Э.П. 3. Прибавить к одной из строк другую строку, умноженный на какое-то число.
Итак, нам нужно занулить только коэффициент под двойкой в левом верхнем углу, то есть только
Сделать это очень просто при помощи Э.П. 3.
Добавим ко второй строке первую, умноженную на Тогда получится вот такая матрица системы:
Тогда, из последней строчки матрицы сразу же немедленно следует, что
Откуда мы получаем, что Осталось лишь подставить это в первое
уравнение системы: Значит, подставляя получаем, что
Ответ: =