Треугольник: высота, биссектриса, медиана —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Треугольник: высота, биссектриса, медиана

Тема 1. Геометрия на плоскости (планиметрия)

1.03 Треугольник: высота, биссектриса, медиана

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия на плоскости (планиметрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#86190

Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна 45.

Источник: СтатГрад 24.04.2024

Показать ответ и решение

В правильном треугольнике радиус вписанной окружности в три раза меньше его высоты, медианы и биссектрисы. Значит,

h- 45 r = 3 = 3 = 15.

Ответ: 15

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#75870

В прямоугольном треугольнике $NSK$ с прямым углом $N$ проведена медиана $N M$ и высота $N H.$ Во сколько раз угол $K$ больше угла $S,$ если угол $M N H = 18∘.$

Показать ответ и решение

$PIC$

В треугольнике $NHM$ угол $NHM = 90∘,$ т.к. $N H$ — высота.

∠N M H = 90∘ − ∠M NH = 90∘ − 18∘ = 72∘.

∘ ∘ ∘ ∘ ∠SM N = 180 − ∠N M H = 180 − 72 = 108

как смежные углы. В прямоугольном треугольнике $N SK$ медиана $N M$ проведена из прямого угла, значит медиана равна половине гипотенузы $N M = KS ∕2 = KM = M S.$ Следовательно, треугольник $SM N$ — равнобедренный

180∘ −-∠SM-N- 180∘-−-108∘- ∘ ∠M SN = ∠M N S = 2 = 2 = 36 .

В прямоугольном треугольнике $NSK$

∘ ∘ ∘ ∘ ∠K = 90 − ∠S = 90 − 36 = 54 .

$PIC$

Найдем во сколько раз угол $K$ больше угла $S :$

∠K--= 54 = 1,5. ∠S 36

Ответ: 1,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#75869

В треугольнике $NSK$ биссектрисы $NM$ и $SD$ пересекаются в точке $A$ . Угол $DAM$ равен $104∘.$ Найдите угол $N KS.$ Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

$PIC$

$∠NAS = ∠DAM = 104∘$ (вертикальные). Пусть $∠SN K = 2x,$ $∠N SK = 2.$ Так как $N M$ и $SD$ — биссектрисы треугольника $N SK,$ получаем в треугольнике $N AS :$

x +y + 104∘ = 180∘,

∘ ∘ ∘ x + y = 180 − 104 = 76.

В треугольнике $N SK :$

∠N + ∠S + ∠K = 180∘,

∘ 2x + 2y+ ∠K = 180,

∘ 2(x+ y)+ ∠K = 180 ,

∠K = 180∘ − 2(x+ y) = 180∘ − 2⋅76∘ = 180∘ − 152∘ = 28∘.

Ответ: 28

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#74518

В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 12,$ $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC =BM$ . Найдите длину отрезка $AH.$

Показать ответ и решение

По условию $BC = BM,$ значит $△CBM$ — равнобедренный. $BH$ — высота и медиана. $CH = HM$
$BM$ — медиана, значит, $CM = MA = 6.$

$PIC$

CH = 6= 3, 2

AH =AC − CH = 12− 3= 9.

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#74516

Острые углы прямоугольного треугольника равны $85∘$ и $5∘.$ Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как $BH$ — высота, то $∠HBC =90∘− 5∘ = 85∘.$
$BE$ — биссектриса, следовательно, $∠EBC = 45∘.$
Отсюда $∠HBE = 45∘− 5∘ = 40∘.$

Ответ: 40

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#74515

В треугольнике $ABC$ $√- AC = BC = 7 3,$ $∠C = 120∘.$ Найдите высоту $AH.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Важное замечание. Так как $△ABC$ — тупоугольный, то высота, опущенная на сторону $BC$ , будет находиться вне треугольника.

∠ACH = 180∘ − 120∘ = 60∘,

√ - √3 AH = AC ⋅sin ∠ACB = 7 3⋅-2-= 10,5.

Ответ: 10,5

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#74514

В остроугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $40∘.$ $O$ — точка пересечения биссектрис треугольника. Найдите угол $AOB.$ Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

Пусть в $△ABC$ $∠B = 2α,$ $∠A = 2β.$
Так как $O$ — точка пересечения биссектрис, то $∠BAO = β,$ $∠ABO = α.$

$PIC$

Сумма углов $△ABC$ равна $180∘.$

∘ 2α + 2β+ ∠C = 180,

∘ ∘ α+ β = 180--− 40-=70∘. 2

В $△ABO$ сумма углов равна $180∘ :$

∠BAO +∠ABO + ∠BOA = 180∘,

∠AOB + α+ β = 180∘,

∠AOB +70∘ =180∘,

∠AOB = 180∘ − 70∘ = 110∘.

Ответ: 110

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#74513

Боковая сторона равнобедренного треугошльника равна 10, а оснвоание равно 12. Найдите высоту этого треугольника, опущенную на боковую сторону.

Показать ответ и решение

Опустим высоту из вершины $B.$
Найдем $S△ABC = 12 ⋅BH1 ⋅AC.$
Так как $△ABC$ — равнобедренный, то $BH$ — высота и медиана. Отсюда, $AH1 = H1C = 6.$
В $△ABH1AB = 10= 5⋅2,AH1 = 6= 3⋅2.$ Значит, $BH1 = 4⋅2= 8$ (Пифагорова тройка $3,4,5.$ )

$PIC$

$S△ABC = 12 ⋅8⋅12= 48.$
С другой стороны $S △ABC = 12 ⋅BC ⋅AH.$
Тогда

2⋅S△ABC-- 2⋅48 AH = BC = 10 = 9,6.

Ответ: 9,6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#74362

В треугольнике $ABC$ известно, что угол $BAC$ равен $48∘,$ $AD$ — биссектриса. Найдите угол $BAD.$ Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

$PIC$

По определению, биссектрика — отрезок, который делит угол пополам. Значит, $∘ ∠BAC = 482-= 24∘.$

Ответ: 24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#51638

Угол между биссектрисой $CD$ и медианой $CM,$ проведенными из вершины прямого угла $C$ треугольника $ABC,$ равен $10∘.$ Найдите меньший угол этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как $CD$ — биссектриса, то $∠ACD = 45∘.$ Следовательно, $∠ACM =∠ACD − ∠MCD =45∘− 10∘ = 35∘.$ Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит его на два равнобедренных треугольника, то есть $△ACM$ — равнобедренный и $AM = CM.$ Следовательно, $∘ ∠CAM =∠ACM = 35 .$ Так как градусная мера меньшего угла прямоугольного треугольника не больше $∘ 45 ,$ то $∘ ∠A = ∠CAM = 35$ и есть меньший угол $△ABC.$

Ответ: 35

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#16743

В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $∘ 45,$ угол $BAD$ равен $∘ 30,$ $AD$ — биссектриса. Найдите угол $C.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как $AD$ — биссектриса, то имеем:

∘ ∘ ∠A = 2∠BAD =2 ⋅30 = 60

Сумма углов в треугольнике равна $180∘,$ значит,

∘ ∠A+ ∠B + ∠C = 180

Тогда искомый угол равен

∠C = 180∘− ∠A − ∠B = = 180∘− 60∘− 45∘ = 75∘

Ответ: 75

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#2680

В треугольнике $ABC$ $∠A = 27∘,$ $CD$ — высота, $∠BCD = 18∘.$ Найдите $∠ACB.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как $CD$ — высота, то $∠ADC = 90∘.$ Сумма углов треугольника равна $180∘,$ тогда

∘ ∘ ∘ ∠A + ∠ACD = 180 − 90 = 90

Так как $∠ACD = ∠ACB +∠BCD,$ то

∘ ∠ACD = ∠ACB + 18

При этом $∠A = 27∘,$ тогда

∘ ∘ ∘ 27 + ∠ACB + 18 = 90

Найдем $∠ACB :$

∘ ∘ ∘ ∘ ∠ACB = 90 − 27 − 18 = 45

Ответ: 45

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#2509

В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $56∘,$ углы $B$ и $C$ — острые. Высоты $BD$ и $CE$ пересекаются в точке $O.$ Найдите угол $DOE.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

1 способ

Проведем $OA.$

$PIC$

Тогда

∠DOE = ∠DOA + ∠EOA

Так как $∘ ∠AEO = ∠ADO = 90 ,$ то из прямоугольных треугольников $AEO$ и $ADO$

∠EOA = 90∘ − ∠OAE, ∠DOA = 90∘− ∠OAD

Следовательно:

∘ ∘ ∠DOE = ∠DOA + ∠EOA = 90 − ∠OAD + 90 − ∠OAE = = 180∘ − (∠OAD + ∠OAE )= 180∘− ∠A =180∘− 56∘ = 124∘

2 способ

Вспомним, что сумма углов выпуклого четырехугольника равна $360∘.$ Тогда для четырехугольника $AEOD :$

∠A +∠E + ∠O + ∠D = 360∘

Откуда

∠DOE = ∠O = 360∘ − 90∘− 90∘− 56∘ = 124∘

Ответ: 124

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#2508

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $58∘,$ биссектрисы $AD$ и $BE$ пересекаются в точке $O.$ Найдите угол $AOB.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

В треугольнике $ABC$ имеем:

∘ ∘ ∘ ∘ ∠A + ∠B = 180 − ∠C = 180 − 58 = 122

Тогда для треугольника $AOB$ получаем

∠AOB = 180∘− (∠OAB + ∠OBA ) = ∘ = 180 − 0,5(∠A +∠B )= = 180∘ − 0,5⋅122∘ = 119∘

Ответ: 119

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#2507

В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла, равен $14∘.$ Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

По условию $∠MAP = 14∘.$ Так как $AP$ — биссектриса и $∠A = 90∘,$ то $∠CAP = 45∘.$ Тогда для углов с общей вершиной $A$ имеем:

∠CAM = 45∘− 14∘ = 31∘

$PIC$

Тогда в прямоугольном треугольнике $BAM$ получаем

∠C = 90∘− 31∘ = 59∘

Следовательно, $∠B = ∠CAM = 31∘$ — наименьший угол треугольника $ABC.$

Ответ: 31

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#2419

В $△ABC$ $AH$ — высота, $BD$ — биссектриса, $O$ — точка пересечения прямых $AH$ и $BD,$ угол $ABD$ равен $62∘.$ Найдите угол $AOB.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как $BD$ — биссектриса, то

∘ ∠CBD = ∠ABD =62

Так как вертикальные углы равны, то

∘ ∠HBO = ∠CBD = 62

$AH$ — высота, поэтому

∘ ∠OHB = ∠AHB = 90

Так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90∘,$

∘ ∘ ∘ ∘ ∠AOB = ∠HOB = 90 − ∠HBO = 90 − 62 = 28

Ответ: 28

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#1851

В треугольнике $ABC$ $∠B =90∘,$ $BE$ — медиана, $∠CBE = 22∘.$ Найдите $∠BAC.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Тогда $AE = BE,$ значит, треугольник $AEB$ — равнобедренный.