Треугольник: внутренние и внешние углы —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Треугольник: внутренние и внешние углы

Тема 1. Геометрия на плоскости (планиметрия)

1.02 Треугольник: внутренние и внешние углы

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия на плоскости (планиметрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#1392

В треугольнике $ABC :$ $AB =BC,$ внешний угол при вершине $B$ равен $138∘.$ Найдите $∠C.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Согласно теореме о внешнем угле треугольника,

∘ ∠A + ∠C = 138

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда

∠A = ∠C

Таким образом,

∘ ∘ ∠C = 138 :2= 69

Ответ: 69

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#1391

В треугольнике $ABC :$ $∠B =39∘,$ $AB =BC.$ Найдите внешний угол при вершине $A.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда

∠BAC =∠C

Так как у любого треугольника сумма углов равна $180∘,$ то

∘ ∘ ∘ 180 = 39 + ∠A + ∠C = 39 +2∠C,

откуда

∘ 2∠C = 141

Тогда

∘ ∠C = 70,5

По теореме о внешнем угле треугольника

∠Aвнеш = ∠B + ∠C,

тогда искомый угол равен

39∘ +70,5∘ = 109,5∘

Ответ: 109,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#1389

В треугольнике $ABC$ известно, что $∠B = 73∘,$ $AB = BC.$ Найдите $∠C.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда

∠A = ∠C

Так как у любого треугольника сумма углов равна $180∘,$ то

∘ ∘ ∘ 180 = 73 +∠A + ∠C = 73 + 2⋅∠A,

откуда

∘ 2⋅∠A = 107

Тогда

∘ ∠A = 53,5

Ответ: 53,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#83430

В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Внешний угол при вершине $B$ равен $107∘.$ Найдите угол $C.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источник: ЕГЭ 2024, досрочная волна

Показать ответ и решение

Если внешний угол треугольника при вершине $B$ равен $107∘,$ то угол при вершине $B$ треугольника $ABC$ равен $180∘− 107∘ = 73∘,$ так как это смежные углы. Тогда, так как $AC = BC,$

∠A = ∠B = 73∘ ⇒ ∠A +∠B =146∘.

Значит, по сумме углов треугольника

∠C = 180∘− ∠A − ∠B = 180∘− 146∘ = 34∘

Ответ: 34

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#75869

В треугольнике $NSK$ биссектрисы $NM$ и $SD$ пересекаются в точке $A$ . Угол $DAM$ равен $104∘.$ Найдите угол $N KS.$ Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

$PIC$

$∠NAS = ∠DAM = 104∘$ (вертикальные). Пусть $∠SN K = 2x,$ $∠N SK = 2.$ Так как $N M$ и $SD$ — биссектрисы треугольника $N SK,$ получаем в треугольнике $N AS :$

x +y + 104∘ = 180∘,

∘ ∘ ∘ x + y = 180 − 104 = 76.

В треугольнике $N SK :$

∠N + ∠S + ∠K = 180∘,

∘ 2x + 2y+ ∠K = 180,

∘ 2(x+ y)+ ∠K = 180 ,

∠K = 180∘ − 2(x+ y) = 180∘ − 2⋅76∘ = 180∘ − 152∘ = 28∘.

Ответ: 28

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#75866

Один из углов треугольника в 5 раз больше другого и в 6 раз меньше третьего. Найдите меньший угол треугольника.

Показать ответ и решение

пусть первый угол равен $\text{[math]}$ , тогда второй — $x, 5$ а третий — $6.$ Сумма углов треугольника равна $180∘.$ Тогда

x + x+ 6x = 180, 5

5x + x+ 30x = 900,

36x = 900,

x = 25.

Значит, первый угол треугольника равен $25∘,$ второй $25∘ : 5 = 5∘,$ а третий $25∘ ⋅6 = 150∘.$

Ответ: 5

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#74366

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = BC.$ Внешний угол при вершине $B$ равен $128∘.$ Найдите угол $C.$ Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

$PIC$

$∠CBA = 180∘− 128∘ = 52∘$ (как смежный угол к $∠CBK$ ).

По условию, треугольник $ABC$ — равнобедренный, значит, углы при основании равны.

∠CAB = ∠CBA = 52∘,

∠C = 180∘− ∠CAB − ∠ABC = 180∘− 52∘− 52∘ = 76∘.

Ответ: 76

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#74360

Найдите угол правильного треугольника. Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

В правильном = равностороннем треугольнике равны все стороны и углы. Пусть угол равностороннего треугольника равен $x.$ Так как сумма углов треугольника равняется $180∘,$ то $x+ x +x = 180∘.$
$∘ 3x =180 ,$
$∘ x = 60 .$

Ответ: 60

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#74358

В равнобедренном треугольнике угол, лежащий напротив основания, равен $66∘.$ Найдите угол при основании. Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

$PIC$

У равнобедренного треугольника углы при основании равны, значит, $∠CAB = ∠ABC.$ Пусть $∠CAB =∠ABC = x.$ Тогда

66∘ +x +x = 180∘,

2x= 114∘,

∘ x= 57 .

Ответ: 57

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#74357

В треугольнике два угла равны $23∘$ и $103∘.$ Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

$PIC$

Теорема. Сумма углов треугольника равна $180∘.$

$∠BAC = 180∘− ∠ABC − ∠BCA =180∘− 103∘− 23∘ = 54∘.$

Ответ: 54

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#20857

Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен $∘ 86.$ Найдите наименьший из внутренних углов этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Углы при основании равнобедренного треугольника всегда меньше $∘ 90 .$ Значит, смежные им углы всегда больше $∘ 90$ градусов. Тогда внешний угол, данный в условии, смежен углу при противоположной основанию вершине равнобедренного треугольника.

Следовательно, угол при противоположной основанию вершине равнобедренного треугольника равен

180∘− 86∘ = 94∘

$PIC$

Углы при основании равнобедренного треугольника одинаковые, тогда по сумме углов треугольника они равны

180∘− 94∘ 86∘ ∘ ----2----= -2- =43

Так как $43< 94,$ то меньший из углов треугольника равен $43∘.$

Ответ: 43

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#2185

В равнобедренном треугольнике один из углов равен $100∘.$ Найдите наибольший из внешних углов этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а сумма углов треугольника равна $180∘,$ следовательно, в треугольнике не может быть двух углов по $100∘,$ тогда угол при вершине равен $100∘,$ а углы при основании равны по

(180∘− 100∘):2 =40∘

Внешние углы этого треугольника равны

180∘− 100∘ = 80∘, 180∘− 40∘ = 140∘, 180∘ − 40∘ = 140∘

Больший из них равен $140∘.$

Ответ: 140

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#1398

В треугольнике $ABC$ при вершинах $A,B$ и $C$ построено по одному внешнему углу. Найдите сумму этих внешних углов. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Согласно теореме о внешнем угле треугольника, внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним. Тогда внешний угол при вершине $A$ в треугольнике $ABC$ равен

∠B + ∠C

Аналогично внешний угол при вершине $B$ в треугольнике $ABC$ равен

∠A + ∠C,

внешний угол при вершине $C$ в треугольнике $ABC$ равен

∠A + ∠B

Таким образом, сумма внешних углов в треугольнике $ABC$ равна

∠B + ∠C + ∠A +∠C + ∠A + ∠B = 2(∠A + ∠B + ∠C ),

но эта сумма есть удвоенная сумма углов треугольника.

Так как сумма углов треугольника равна $180∘,$ то сумма внешних углов равна

180∘⋅2= 360∘

Ответ: 360

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#1396

В треугольнике $ABC$ $∠A = 52∘,$ $∠C = 71∘.$ На продолжении стороны $BC$ за точку $B$ отложен отрезок $BD = AB.$ Найдите $∠D$ треугольника $ABD.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

У равнобедренного треугольника углы при основании равны. Так как $AB = BD,$ то

∠BAD = ∠D

Согласно теореме о внешнем угле треугольника,

∠ABD = ∠C + ∠BAC = 71∘+52∘ =123∘

Так как сумма углов в треугольнике равна $180∘,$

∠D + ∠BAD + ∠ABD = 180∘

Но $∠BAD = ∠D,$ тогда

2⋅∠D + ∠ABD = 180∘ ⇒ ∠D = 28,5∘

Ответ: 28,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#1395

В треугольнике $ABC$ $∠A = 32∘,$ $∠B = 70∘.$ На продолжении стороны $AC$ за точку $C$ отложен отрезок $CK = BC.$ Найдите $∠K$ треугольника $BCK.$ Ответ дайте в градусах.