Треугольник: задачи на подобие —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема 1. Геометрия на плоскости (планиметрия)

1.04 Треугольник: задачи на подобие

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия на плоскости (планиметрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#18478

Углы $A$ и $B$ треугольника $ABC$ равны углам $A1$ и $B1$ треугольника $A1B1C1$ соответственно. Известно, что $AB = 4,$ $AC = 8,$ $A1C1 = 4$ и $B1C1 = 3.$ Найдите сумму периметров треугольников $ABC$ и $A1B1C1.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Треугольники $ABC$ и $A1B1C1$ подобны по двум углам, тогда выполняется отношение подобия:

-AB-- -BC-- -AC-- 8 A1B1 = B1C1 = A1C1 = 4 =2 BC = 2B1C1 = 6 1 A1B1 = 2AB = 2

Тогда сумма периметров треугольников $ABC$ и $A1B1C1$ равна

AB + AC + BC +A1B1 + A1C1+ B1C1 = =4 +8 +6 +2 + 4+ 3= 27

Ответ: 27

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#18479

Углы $A$ и $B$ треугольника $ABC$ равны углам $A1$ и $B1$ треугольника $A1B1C1$ соответственно. Известно, что $A1B1 = 8,$ $B1C1 = 7,$ $C1A1 =5$ и $AB = 12.$ Найдите периметр треугольника $ABC.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Треугольники $ABC$ и $A1B1C1$ подобны по двум углам, тогда выполняется отношение подобия:

-AC-- -BC-- -AB-- 12 3 A1C1 = B1C1 = A1B1 = 8 = 2 3 BC = 2B1C1 = 10,5 AC = 3A1C1 = 7,5 2

Тогда периметр треугольника $ABC$ равен

P = AB + BC + AC = 12+ 10,5+ 7,5= 30

Ответ: 30

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#18480

Углы $A$ и $B$ треугольника $ABC$ равны углам $A1$ и $B1$ треугольника $A1B1C1$ соответственно. Известно, что $AB = 10,$ $BC =9,$ $CA = 8$ и $PA1B1C1 = 54.$ Найдите наименьшую сторону треугольника $A1B1C1.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Треугольники $ABC$ и $A1B1C1$ подобны по двум углам, тогда выполняется отношение подобия:

-AB-- AC--- BC--- A1B1 = A1C1 = B1C1 = P 10 +9 +8 1 = P-ABC--= ---54--- = 2 A1B1C1

Отсюда получаем равенства

A1B1 = 2AB = 20 B1C1 = 2BC = 18 A1C1 = 2AC = 16

Тогда наименьшая сторона треугольника $A1B1C1$ равна 16.

Ответ: 16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#18481

Углы $A$ и $B$ треугольника $ABC$ равны углам $A1$ и $B1$ треугольника $A1B1C1$ соответственно. Известно, что $a :b:c= 4:3 :5$ и $A1C1 =20.$ Найдите наименьшую сторону треугольника $A1B1C1.$

$PIC$

Показать ответ и решение

По условию имеем:

3 5 a:b:c =4 :3:5 ⇔ b= 4a; c= 4a

Треугольники $ABC$ и $A1B1C1$ подобны по двум углам, тогда выполняется отношение подобия:

AB BC AC A--B-= B--C-= A--C- 1 1 1 1 1 1 --a--= -34a-= -54a A1B1 B1C1 20 (| B1C1 3a 3 ( |{ -20--= 45a-= 5 { A1B1 = 16 || A1B1- 4a-- 4 ⇔ ( ( 20 = 54a = 5 B1C1 = 12

Тогда наименьшая сторона треугольника $A1B1C1$ равна 12.

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#18482

Углы $A$ и $B$ треугольника $ABC$ равны углам $A1$ и $B1$ треугольника $A1B1C1$ соответственно. Известно, что $y :x:z = 5 :6:7$ и $PA1B1C1 = 108.$ Найдите наибольшую сторону треугольника $A1B1C1.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Треугольники $ABC$ и $A1B1C1$ подобны по двум углам, тогда выполняется отношение подобия:

-AB-- -BC-- -AC-- A1B1 = B1C1 = A1C1 B1C1 :A1B1 :A1C1 = y :x:z = 5:6:7 6 7 A1B1 = 5B1C1; A1C1 = 5B1C1

Приравняем сумму длин сторон к периметру:

6 7 B1C1 + 5B1C1 +5 B1C1 = 108 18B1C1 = 108 5 B1C1 = 5-⋅108 18 B1C1 = 30; A1B1 = 36; A1C1 = 42

Тогда наибольшая сторона треугольника $A1B1C1$ равна 42.

Ответ: 42

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#18483

Углы $A$ и $B$ треугольника $ABC$ равны углам $A1$ и $B1$ треугольника $A1B1C1$ соответственно. Известно, что $AB = 8,$ $BC =9,$ $AC = 10,$ $PA1B1C1 = 9.$ Найдите среднюю по длине сторону треугольника $A1B1C1.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Треугольники $ABC$ и $A1B1C1$ подобны по двум углам, тогда выполняется отношение подобия:

-AB-- -AC-- -BC-- -PABC-- 10+-9+-8 A1B1 = A1C1 = B1C1 = PA1B1C1 = 9 = 3 1 8 A1B1 = 3AB = 3 B1C1 = 1BC = 3 3 A1C1 = 1AC = 10 3 3

Тогда средняя по длине сторона треугольника $A B C 1 1 1$ равна 3.

Ответ: 3

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#18484

Углы $A$ и $B$ треугольника $ABC$ равны углам $A1$ и $B1$ треугольника $A1B1C1$ соответственно. Известно, что $A1C1 = 11,$ $B1C1 :A1B1 = 2:3,$ $PABC =39,$ $PA1B1C1 = 26.$ Найдите среднюю по длине сторону треугольника $ABC.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Для длин сторон треугольника $A1B1C1$ имеем систему

({ B1C1 + A1B1 = PA1B1C1 − A1C1 = 15 (B1C1 :A1B1 = 2:3

Отсюда получаем

B1C1 = 2 ⋅15 = 6 5 A1B1 = 3 ⋅15= 9 5

Треугольники $ABC$ и $A1B1C1$ подобны по двум углам, тогда выполняется отношение подобия:

AB--- AC--- BC--- -PABC-- 39 3 A1B1 = A1C1 = B1C1 = PA1B1C1 = 26 = 2

Отсюда найдем длины сторон треугольника $ABC :$

AB BC AC 3 -9-= -6- = 11-= 2 AB = 13,5; BC = 9; AC = 16,5

Тогда средняя по длине сторона треугольника $ABC$ равна 13,5.

Ответ: 13,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#18485

Отрезки $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $E,$ как показано на рисунке. Известно, что $∠ABC = ∠DCB$ и $AD :ED = 5:3.$ Найдите отношение $DC :AB.$

$PIC$

Показать ответ и решение

По условию имеем систему

({ AD- 5 ED = 3 ( AD = AE + ED

Отсюда получаем

AD-= AE-+-ED- = AE-+ 1= 5 ED ED ED 3 ED- = 3 AE 2

Треугольники $△ ABE ∼ △CDE$ по двум углам, так как углы при вершине $E$ равны как вертикальные и $∠ABE = ∠DCE.$ Тогда выполняется отношение подобия:

DC CE ED 3 DC 3 -AB = BE- = AE-= 2 ⇒ AB- = 2 = 1,5

Ответ: 1,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#22836

Площадь треугольника $ABC$ равна 8, $DE$ — средняя линия. Найдите площадь треугольника $CDE.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Треугольники $CDE$ и $CAB$ подобны по двум углам, так как угол $C$ общий и $∠CDE =∠CAB$ как соответственные. Коэффициент подобия равен

CD- 1 k = AC = 2

Тогда отношение площадей этих треугольников равно

k2 = 1 4

Значит, площадь треугольника $CDE$ равна

8:4 = 2

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#18489

Точки $D$ и $E$ на сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ соответственно таковы, что $∠CAB = ∠EDB.$ Найдите отношение $AC :DE,$ если известно, что $BE :EC =4 :1.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Обозначим $EC = x,$ $BE = 4x,$ тогда имеем:

BC = BE + EC = 5x

Далее, $△ ABC ∼ △DBE$ по двум углам, поскольку $∠B$ — общий и $∠CAB = ∠EDB.$

Отсюда можем записать отношение подобия:

AC BC 5x 5 DE- = BE- = 4x = 4 = 1,25

Ответ: 1,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#18492

К гипотенузе $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ проведена высота $CD.$ Найдите $CD,$ если известно, что $AD =4, DB = 9.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Обозначим $∠ACD = α.$ Тогда имеем:

∘ ∘ ∠DCB = 90 − ∠ACD = 90 − α

По сумме углов прямоугольного треугольника $ACD :$

∘ ∘ ∠DAC = 90 − ∠ACD = 90 − α

Отсюда получаем

∘ ∠DAC = 90 − α = ∠DCB

$PIC$

Тогда $△ ACD ∼ △CBD$ по двум углам, так как

∠DAC = ∠DCB, ∠CDA = 90∘ =∠BDC

Следовательно, можем записать отношение подобия:

AD CD CD-= DB- ⇒ CD2 = AD ⋅DB

Тогда искомый отрезок равен

CD = √AD--⋅DB-= 6

Ответ: 6

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#18490

Из точки $D$ катета $CB$ прямоугольного треугольника $ABC$ опустили перпендикуляр $DE$ на гипотенузу $AB.$ Найдите длину $AB,$ если известно, что $CB = 12, DE = 2,5, EB = 6.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Треугольники $△ ACB ∼ △DEB$ по двум углам, так как $∠B$ — общий и $∘ ∠ACB = ∠BED =90 .$ Следовательно, можем записать отношение подобия:

AC CB DE ⋅CB 2,5⋅12 DE- = EB- ⇒ AC = --EB---= --6---= 5

По теореме Пифагора для треугольника $ACB$ искомый отрезок равен

AB = ∘AC2--+CB2--=√25-+-144= √169= 13

Ответ: 13

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#75871

В треугольнике $NSK$ точки $H$ и $P$ — середины сторон $N K$ и $SK$ соответственно. Найдите площадь треугольника $KHP,$ если площадь четырехугольника $N HP S$ равна 54.

Показать ответ и решение

Отметим точку $M$ — середину стороны $NS.$ Отрезки $HP,$ $P M,$ $M H$ — средние линии треугольника. Средняя линия треугольника равна половине той стороны треугольника, которой она параллельна. Получаем, что средние линии треугольника делят его на 4 равных треугольника (треугольники равны по трем сторонам).

$PIC$

Тогда:

SNHP S 54 SKHP = ---3---= 3-= 18.

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#74517

В треугольнике $ABC$ $DE$ — средняя линия, параллельная стороне $AB$ . Площадь треугольника $CDE$ равна 17. Найдите площадь треугольника $ABC$ .

Показать ответ и решение

Так как $DE ∥AB,$ то $∠CDE = ∠CAB$ и $∠CED = ∠CBA$ (как соответственные углы). Значит $△CDE ∼ △CAB$ с коэффициентом $k = 12,$ так как $DE$ — средняя линия треугольника.

$PIC$

Площади подобных треугольников относятся как квадрат их коэффициента подобия.
Отсюда

S S△CDE-= k2, △CAB

S△CDE- 17-- S△ABC = k2 = 0,25 = 68.

Полезное замечание. Важно, в каком именно порядке вы рассматриваете треугольники. Коэффициент подобия $1 k = 2$ при $△CDE- △CAB$ , но $k =2$ при $△CAB △CDE-.$

Ответ: 68

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#46553

Отрезок $BK$ соединяет вершину $B$ треугольника $ABC$ с точкой на противоположной стороне, причем $∠AKB = ∠ABC.$ При этом известно, что $BK = 10,$ $AB = 12,$ $AC = 18.$ Найдите $BC.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Рассмотрим треугольники $ABK$ и $ACB :$ $∠AKB = ∠ABC,$ $∠A$ — общий. Тогда треугольники $ABK$ и $ACB$ подобны по двум углам.

В подобных треугольниках против равных углов лежат пропорциональные стороны, тогда

BK AB BC--= AC- ⇒ ⇒ 10-= 12- ⇒ BC = 15 BC 18

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#43906

Точки $K$ и $P$ на сторонах $BA$ и $BC$ треугольника $ABC$ таковы, что $∠BP K = ∠CAK.$ Найдите значение отношения $BK :BC,$ если известно, что $BP =1,$ $AK = 0,5$ и $BK = 3,5.$

Показать ответ и решение

$PIC$

$△BKP ∼ △BCA$ по двум углам ( $∠B$ — общий). Следовательно,

BK-- BP- 1 BC = BA = 4 = 0,25.

Ответ: 0,25

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#43904

Дан параллелограмм $ABCD$ со сторонами $AB = 3$ и $BC = 4.$ Из вершины $B$ опущены перпендикуляры $BF$ и $BK$ на стороны $AD$ и $CD$ соответственно. Найдите $CK,$ если $3√3 BF = -2-.$

Показать ответ и решение

Так как противоположные углы параллелограмма равны, то есть $∠A = ∠C,$ то $△ABF ∼ △CBK$ (как прямоугольные по острому углу). Следовательно,

CK- BC- 4 4 AF = AB = 3 ⇔ CK = 3AF

$PIC$

Найдем $AF$ по теореме Пифагора из $△ABF :$

∘ --------- AF = 32− 32 ⋅ 3= 3 4 2

Следовательно,

4 4 3 CK = 3AF = 3 ⋅2 =2.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#43903

Точка $K$ на стороне $P F$ параллелограмма $AP F C$ такова, что $P K :KF = 1:2.$ Прямая $CK$ пересекается с прямой $AP$ в точке $B.$ Найдите $PB,$ если $AB = 3.$

Показать ответ и решение

Из условия $PK :KF = 1:2$ следует, что $PK = 1P F = 1AC, 3 3$ так как $P F = AC$ как противоположные стороны параллелограмма.

$PIC$

$∠BP K = ∠BAC$ как соответственные при $PF ∥ AC$ и секущей $BA.$ Следовательно, по двум углам ( $∠B$ — общий) $△P BK ∼ △ABC,$ следовательно,

P-B = PK- = 1 ⇒ PB = 1 AC = 13 ⋅3= 1. AB AC 3 3

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#18498

На стороне $AC$ треугольника $ABC$ выбрана такая точка $D,$ что $∠ABC = ∠CDB.$ Известно, что $BD = 3,$ $AB = 4,$ $BC =6.$ Найдите $AC.$

$PIC$

Показать ответ и решение

$△ ABC ∼ △BDC$ по двум углам $(∠C$ — общий, $∠ABC = ∠CDB ),$ следовательно

BD BC BC ⋅AB 6 ⋅4 -AB = AC- ⇒ AC = --BD---= -3--= 8

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#18495

Точки $M,$ $P$ и $E$ на сторонах треугольника $ABC$ таковы, что $MP ∥AC$ и $P E ∥AB.$ Чему равно отношение $EC :MP,$ если известно, что $CP :CB = 1:3?$