Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Число состоит из попарно не совпадающих, отличных от нуля цифр и делится на Сколько существует таких чисел?
Подсказка 1
Логично, что рассматривать делимость на число 231 будет неразумно, поскольку оно слишком большое. Давайте разложим 231 на множители и рассмотрим делимость для них.
Подсказка 2
231 = 3 * 7 * 11. Обратите внимание, что для делимости на 11 нам подойдут любые a, b, c, так как a – b + c – c + b – a = 0. Но для делимости на 7 нам необходимо, чтобы число abc – cba делилось на 7. Как можно переписать это условие?
Подсказка 3
Распишем по разрядам числа abc и cba. abc = a*10² + b*10 + c и bca = с*10² + b*10 + a. Разность таких записей должна будет делиться на 7. Какие тогда мы получаем ограничения на a, b, c?
Подсказка 4
Из разности abc – cba следует, что |a – c| должно делиться на 7, а b – любое. Осталось только рассмотреть подходящие случаи a и c, и такие b для них, чтобы число делилось на 3.
Так как число должно делиться на то оно должно делиться на и
делится на при любом выборе поэтому число делится на
По признаку делимости на разность должна делиться на
т.е. должно делиться на
Это возможно лишь, если при произвольном Осталось выяснить, сколько возможных значений приходится на каждую из перечисленных пар.
Для нахождения достаточно выяснить делимость на числа
1) Делимость на 3 числа возможна в трех случаях:
2) Делимость на 3 числа возможна в трех случаях:
Остальные случаи симметричны рассмотренным. Таким образом, на каждую из найденных пар и приходится по 3 возможных значения
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Доказать, что при всех натуральных число делится на 64.
Подсказка 1
Для начала давайте преобразуем наше выражение, 3²ⁿ⁺³ можно представить как 27*3²ⁿ. То есть можно вынести что-то за скобочки!
Подсказка 2
Да, после несложных преобразований получим, что исходное выражение преобразуется в 27*(9ⁿ-1) + 40n. Остаётся доказать, что это выражение делится на 64 при любом натуральном n. Каким методом для доказательства лучше воспользоваться?
Подсказка 3
Верно, это может сделать через индукцию! Но перед этим введём вспомогательную лемму. Попробуйте доказать, что 9ⁿ-1 делится на 8 для любого натурального n.
Подсказка 4
Да, 9 сравнимо с 1 по модулю 8, так что доказывается несложно. Пусть 27*(9ⁿ-1) + 40n делится на 64, попробуйте доказать, что оно делится на 64 при n=n+1
Подсказка 5
Да, при переходе к n+1 получим 27*(9ⁿ⁺¹-1) + 40(n+1) = 27*(9ⁿ-1) + 40n + 40 + 27*8*9ⁿ. Остаётся правильно сгруппировать на слагаемые! То есть так, чтобы каждое из них делилось на 64
Воспользуемся методом математической индукции.
при выполняется деление на Пусть это выражение делится на при
Рассмотрим это выражение при Имеем
Каждое из трех слагаемых делится на первое — по предположению, второе — потому что и делятся на каждое () и делится на .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти целое число , содержащее простыми множителями только 2, 5 и 7, зная, что:
1) имеет на 8 делителей больше, чем ;
2) имеет на 12 делителей больше, чем ;
3) имеет на 18 делителей больше, чем .
Подсказка 1
Неважно, что даны простые делители именно 2, 5 и 7, важно только, что их ровно три различных. Вспомним волшебную формулу из веба, которая определяет число делителей, зная степени вхождения всех простых!
Подсказка 2
После применения формулы к трем условиям нашей задачи получим три уравнения с тремя неизвестными. После упрощения система приобретает вид: uv=a, vw=b, uw=c. Такие системы встречаются довольно часто, и решаем мы их, перемножив все три выражения, а далее, подставляя полученное значение uvw в изначальные уравнения, находим оттуда u, v, w.
Число имеет вид: . Число его делителей по известной формуле равно . Число и число его делителей равно: . Согласно условию:
или . Число . Аналогично предыдущему, получим: . Наконец, , откуда найдем: или: .
Получили систему трех уравнений с тремя неизвестными, которая обычно решается так. Перемножив три уравнения системы, найдем
откуда
Деля это уравнение последовательно на первое, второе и третье уравнение системы, получим: . Отсюда: . Следовательно,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение
Подсказка 1
Можно попробовать написать какие-то оценки, но, кажется, сразу это не сработает. Давайте применим арифметику остатков и вспомним, что по модулю 16 у числа x⁴ существует всего 2 вида остатков...
Подсказка 2
2017 дает остаток 1 при делении на 16, а x⁴ дает остаток 0 или 1. Поэтому ровно одно из чисел xₙ нечетно. Для определенности пока будем считать, что это именно x₁₃. Каким может быть x₁₃?
Подсказка 3
Верно, x₁₃<7. Поэтому нам остается проверить только x₁₃=1,3 и 5. Используя остатки по модулю 16 разберите эти случаи и не забудьте, что переменные можно менять местами.
Если — чётно, то а если – нечётно, то Так как то Значит, ровно одно из нечётно не умаляя общности, возьмём а остальные чётны, так как слагаемых всего
Будем перебирать это нечётное число до так как
(a) Пусть тогда
Слева сумма остатков при делении на не превышает а справа следовательно, решений нет.
(b) Пусть тогда придём к уравнению
Значит, ровно нечетны, а — четны. Четные не могут быть больше так как Значит, они равны по
Нечётные не могут быть больше так как значит, все они равны Но следовательно, решений нет.
(c) Пусть тогда придём к уравнению
Значит, ровно нечётных, — чётных, следовательно,
Количество решений это количество перестановок чисел в то есть
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
При каком наименьшем неравенство
имеет не менее 2017 целых решений, кратных 1993?
Подсказка 1
Рассмотрим неравенство как квадратное. Первое, что хочется найти - корни. А чему равен дискриминант?
Преобразуем исходное неравенство к виду
где
Посчитаем дискриминант, чтобы потом найти корни
Вспомним, что
Тогда пребразуем дискриминант
Выделим полный квадрат у последнего выражения
Посчитаем корни по формуле
Следовательно,
Число целых решений неравенства равно
По условию нужно, чтобы решений было не меньше поэтому
Число в правой части неравенства семизначное, так что и наименьшее равно 7.