Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение
Подсказка 1
Можно попробовать написать какие-то оценки, но, кажется, сразу это не сработает. Давайте применим арифметику остатков и вспомним, что по модулю 16 у числа x⁴ существует всего 2 вида остатков...
Подсказка 2
2017 дает остаток 1 при делении на 16, а x⁴ дает остаток 0 или 1. Поэтому ровно одно из чисел xₙ нечетно. Для определенности пока будем считать, что это именно x₁₃. Каким может быть x₁₃?
Подсказка 3
Верно, x₁₃<7. Поэтому нам остается проверить только x₁₃=1,3 и 5. Используя остатки по модулю 16 разберите эти случаи и не забудьте, что переменные можно менять местами.
Если — чётно, то а если – нечётно, то Так как то Значит, ровно одно из нечётно не умаляя общности, возьмём а остальные чётны, так как слагаемых всего
Будем перебирать это нечётное число до так как
(a) Пусть тогда
Слева сумма остатков при делении на не превышает а справа следовательно, решений нет.
(b) Пусть тогда придём к уравнению
Значит, ровно нечетны, а — четны. Четные не могут быть больше так как Значит, они равны по
Нечётные не могут быть больше так как значит, все они равны Но следовательно, решений нет.
(c) Пусть тогда придём к уравнению
Значит, ровно нечётных, — чётных, следовательно,
Количество решений это количество перестановок чисел в то есть
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!