Задача №79622: Теория чисел на САММАТе — Каталог задач по Олимпиадной математике — Школково

Тема . САММАТ (Самарская математическая олимпиада)

Теория чисел на САММАТе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела саммат (самарская математическая олимпиада)

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#79622

При каком наименьшем $n$ неравенство

2 ---------- x + x≤ 1◟1..◝◜.1◞2◟2.◝◜..2◞ n n

имеет не менее 2017 целых решений, кратных 1993?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Рассмотрим неравенство как квадратное. Первое, что хочется найти - корни. А чему равен дискриминант?

Показать ответ и решение

Преобразуем исходное неравенство к виду $x2+ px+ q ≤ 0:$

2 ---------- x +x− 1◟1.◝..◜1 ◞2◟2.◝.◜.2 ◞ ≤0, n n

где $p =1, q =− 11◟ ◝..◜.1◞2◟2..◝◜.2◞. n n$

Посчитаем дискриминант, чтобы потом найти корни

2 ---------- ---------- D =p − 4q = 1− 4⋅(−1◟1.◝.◜.1◞22◟. ◝.◜.2◞) =4◟4.◝.◜.4 ◞8◟8.◝.◜.8◞9 n n n n−1

Вспомним, что

99...9 =10n− 1 ◟-◝n◜ ◞

Тогда пребразуем дискриминант

D= 4◟4.◝..◜4 ◞8◟8.◝.◜.8 ◞9 =4◟4.◝.◜.4 ◞⋅10n+8◟8.◝.◜.8◞+1= n n−1 n n

= 4(9◟9.◝.◜.9◞)⋅10n+ 8(99◟. ◝.◜.9◞)+ 1= 4(10n− 1)⋅10n+ 8(10n − 1)+ 1= 9 n 9 n 9 9

4 2n 4 n 1 = 9 ⋅10 + 9 ⋅10 + 9

Выделим полный квадрат у последнего выражения

4 4 1 1 1 D = 9 ⋅102n + 9 ⋅10n + 9 = 9((2⋅10n)2 +2(2⋅10n)+ 1)= 9(2 ⋅10n+ 1)2 =

( ) ( ) = 2⋅10n+-1 2 = 200...01 2 3 3

Посчитаем корни по формуле $x = −p±√D-: 1,2 2$

−1-±666...7 x1,2 = 2

x1 = 3◟3.◝..◜33◞, x2 =− 3◟3.◝..◜34◞ n n

Следовательно,

[ ] x∈ − 3◟3.◝..◜n34◞; 33◟..◝◜n.33◞

Число $N$ целых решений неравенства равно

N = 33...33−(− 33...34)+ 1= 66...68 ◟ ◝◜n ◞ ◟ ◝◜n ◞ ◟ ◝n◜ ◞

По условию нужно, чтобы решений было не меньше $1993 ⋅2017= 4019781,$ поэтому

6◟6..◝.◜68◞≥ 4019781 n

Число в правой части неравенства семизначное, так что и $n≥ 7,$ наименьшее $n$ равно 7.

Ответ: 7

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse