Подсказка 1

Для начала давайте преобразуем наше выражение, 3²ⁿ⁺³ можно представить как 27*3²ⁿ. То есть можно вынести что-то за скобочки!

Подсказка 2

Да, после несложных преобразований получим, что исходное выражение преобразуется в 27*(9ⁿ-1) + 40n. Остаётся доказать, что это выражение делится на 64 при любом натуральном n. Каким методом для доказательства лучше воспользоваться?

Подсказка 3

Верно, это может сделать через индукцию! Но перед этим введём вспомогательную лемму. Попробуйте доказать, что 9ⁿ-1 делится на 8 для любого натурального n.

Подсказка 4

Да, 9 сравнимо с 1 по модулю 8, так что доказывается несложно. Пусть 27*(9ⁿ-1) + 40n делится на 64, попробуйте доказать, что оно делится на 64 при n=n+1

Подсказка 5

Да, при переходе к n+1 получим 27*(9ⁿ⁺¹-1) + 40(n+1) = 27*(9ⁿ-1) + 40n + 40 + 27*8*9ⁿ. Остаётся правильно сгруппировать на слагаемые! То есть так, чтобы каждое из них делилось на 64