Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть и — натуральные числа, такие что несократимая дробь представима в виде суммы
Докажите, что число делится на 179.
Источники:
Подсказка 1
Считать знакопеременную сумму явно не нужно. Заметим, что с минусами у нас стоят дроби с чётным знаменателем. Что стоит добавить и одновременно вычесть из суммы, чтобы все минусы ушли?
Подсказка 2
Будем вычитать и добавлять те дроби, в которых есть минус. Например, -1/2 = 1/2 - 2 * (1/2) = 1/2 - 1, -1/4 = 1/4 - 2*(1/4) = 1/4 - 1/2, -1/6 = 1/6 - 1/3 и так далее. Какая в итоге получится сумма?
Подсказка 3
Конечно, все слагаемые вплоть до 1/59 взаимоуничтожаются, и остаётся сумма от 1/60 до 1/119. Вновь посчитать её явно не выйдет, поэтому воспользуемся приемом - разобьём все дроби(их 60 штук) на пары. Как это будет сделать удобнее всего?
Подсказка 4
Будем брать первое с начала и первое с конца, второе с начала и второе с конца, и т.д. Тогда сумма в каждой паре будет иметь вид 1/(59+k) + 1/(120-k), что равно 179/(59+k)(120-k). Почему в результате сокращения и приведения к общему знаменателю знаменатель всегда будет оставаться кратным 179?
В сумме 60 слагаемых, разбиваем их на пары
для любого от 1 до 30.
Так как 179 простое, то получившаяся дробь после сокращения все равно будет иметь в числителе множитель 179 , а значит утверждение доказано.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана арифметическая прогрессия Вычислите
Источники:
Подсказка 1
Все числа прогрессии можем найти, но подставлять их в знаменатель и возиться с кучей корней.. врагу не пожелаешь. И вообще корни в знаменателе это очень неприятно, как бы это исправить? Вместо этого можно провернуть трюк с избавлением от иррациональности в знаменателях - всё-таки с корнями в числителях лучше работается, чем с корнями в знаменателях
Подсказка 2
Ага, можно просто домножить числитель и знаменатель на сопряжённые! И при этом у нас же прогрессия была, тогда мы знаем знаменатели! И всё красиво сокращается
Найдем разность прогрессии
Домножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение, получим
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Доказать, что число
является квадратом некоторого натурального числа.
Решение получить алгебраически, не привлекая вычислительных средств (калькулятора).
Подсказка 1
Кажется, что нам бросают песок в глаза. Нам незачем таскать за собой произведение 2020*2021, поэтому стоит заменить его на a.
Подсказка 2
Теперь надо работать с a²+(a(a+1))²+(a+1)². Давайте раскроем крайние квадраты: (a(a+1))²+2a²+2a+1.
Подсказка 3
Хммм... А ведь 2a²+2a=2a(a+1). Воспользуйтесь формулой квадрата суммы и радуйтесь жизни!
Обозначим тогда число из условия равно
и является квадратом.