Тема . САММАТ (Самарская математическая олимпиада)
Тождественные преобразования на САММАТе
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела саммат (самарская математическая олимпиада)
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#74948

Дана арифметическая прогрессия a = 25,a ,a,...,a   = 2025.
 1     2 3     2022  Вычислите

----1---  ----1---       -----1-------
√a1+ √a2 +√a2-+√a3-+ ⋅⋅⋅+ √a2021+ √a2022

Источники: САММАТ-2022, 11.4 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Все числа прогрессии можем найти, но подставлять их в знаменатель и возиться с кучей корней.. врагу не пожелаешь. И вообще корни в знаменателе это очень неприятно, как бы это исправить? Вместо этого можно провернуть трюк с избавлением от иррациональности в знаменателях - всё-таки с корнями в числителях лучше работается, чем с корнями в знаменателях

Подсказка 2

Ага, можно просто домножить числитель и знаменатель на сопряжённые! И при этом у нас же прогрессия была, тогда мы знаем знаменатели! И всё красиво сокращается

Показать ответ и решение

Найдем разность прогрессии

    2025−-25  2000
d = 2022 − 1 = 2021

Домножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение, получим

    1         1                1
√a--+√a--+ √a-+-√a-+ ⋅⋅⋅+ √a---+-√a----=
  1    2     2    3        2021    2022

  √--  √--  √ -- √ --      √----  √----
= -a1−--a2 +--a2−--a3+ ⋅⋅⋅+ -a2021−--a2022-=
      d         d               d

  √a2022−-√a1- (45−-5)2021   2021-
=     d     =    2000   =  50 = 40,42
Ответ:

 40,42

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!