Задачи из сборника И. В. Ященко ЕГЭ —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема 1. Геометрия на плоскости (планиметрия)

1.01 Задачи из сборника И. В. Ященко ЕГЭ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия на плоскости (планиметрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#75465

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90∘,$ $AB =5,$ $sinA = 0,28.$ Найдите $AC.$

$ABC$

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 1

Показать ответ и решение

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $sin2x + cos2x= 1 :$

cosA =∘1-−-sin2A-= ∘1-−-0,282 = 0,96

Так как косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе, то

AC- AC- 0,96= cosA = AB = 5 ⇔ AC = 5⋅0,96= 4,8

Ответ: 4,8

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#75469

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90∘,$ $BC = 3,$ $√- cosA = 2-5. 5$ Найдите $AC.$

$ABC$

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 2

Показать ответ и решение

-2- AC- √5-= cosA= AB

Следовательно, можно принять $AC = 2x,$ $√ - AB = 5x.$ Тогда по теореме Пифагора для $△ABC :$

AB2 = AC2 +BC2 ⇒ 5x2 = 4x2+ 9 ⇒ x = 3

Следовательно, $AC = 2x= 6.$

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#75471

Основания трапеции равны 29 и 44. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024г. Вариант 9

Показать ответ и решение

Обозначим вершины, как показано на рисунке, и проведем среднюю линию $EF$ трапеции:

$ADCBEMNF$

По свойству средней линии $EF ∥BC ∥AD.$ Тогда по теореме Фалеса $M$ и $N$ — середины диагоналей трапеции. Следовательно, $MN$ — искомый отрезок.

Заметим, что $EN$ — средняя линия $△ABD.$ Следовательно, $1 EN = 2AD.$ Также $EM$ — средняя линия $△ABC,$ значит, $1 EM = 2BC.$ Тогда

1 1 MN = EN − EM = 2(AD − BC )= 2 (44− 29)= 7,5

Ответ: 7,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#75472

В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 48. Найдите ее среднюю линию.

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 10

Показать ответ и решение

1 способ

Обозначим вершины, как показано на рисунке:

$ADCBOEFHDK1$

Проведем $CD1 ∥ BD.$ Так как диагонали трапеции перпендикулярны, то $AC ⊥ CD1.$ Также, так как трапеция равнобедренная, то диагонали равны, следовательно, можно принять $AC = BD = CD1$ (по построению $DBCD1$ — параллелограмм, следовательно, $BD = CD1$ ). Следовательно, $△ACD1$ равнобедренный.

Заметим, что $BH$ численно равна высоте $△ACD1,$ проведенной к $AD1,$ которая также является и медианой. Обозначим ее за $CK.$ В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, следовательно, $AD1 = 2CK = 2BH.$

Так как $DBCD1$ — параллелограмм, то $BC =DD1.$ Следовательно, $AD1 = AD + BC = 2EF.$ Отсюда $1 EF = 2AD1 = CK = 48.$

2 способ

Обозначим вершины, как показано на рисунке:

$ADCBOEFH$

По свойству равнобедренной трапеции $AO = OD.$ Следовательно, $△AOD$ — прямоугольный и равнобедренный, значит, $∘ ∠ADO =45 .$ Рассмотрим $△BHD.$ Он прямоугольный, один из его острых углов равен $45∘,$ следовательно, второй тоже, значит, $△BHD$ — раввнобедренный. Отсюда следует, что $BH = HD.$

По свойству равнобедренной трапеции $AH = 1(AD − BC ). 2$ Тогда $1 1 HD = AD − 2(AD − BC )= 2(AD + BC )= EF.$ Следовательно, $48 =BH = HD = EF.$

Ответ: 48

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#75473

Площадь ромба равна 10. Одна из его диагоналей равна 8. Найдите другую диагональ.

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 13

Показать ответ и решение

В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны. Площад выпуклого четырехугольника, диагонали которого взаимно перпендикулярны, равна полупроизведению диагоналей. Следовательно, площадь ромба равна

1 10 = S = 2 ⋅8⋅d ⇔ d= 2,5

Здесь за $d$ обозначена вторая диагональ, которую и нужно найти.

Ответ: 2,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#75475

Основания равнобедренной трапеции равны 45 и 24. Тангенс острого угла равен $2 7 .$ Найдите высоту трапеции.

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 19

Показать ответ и решение

Обозначим вершины, как показано на рисунке:

$ADCBH$

По свойству равнобедренной трапеции $1 1 21 AH = 2(AD − BC )= 2(45 − 24)= 2 .$ Так как тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему, то

2= tgA = BH--= BH21-- ⇔ BH = 3 7 AH 2

Ответ: 3

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#75476

Угол между биссектрисой $CD$ и медианой $CM,$ проведенными из вершины прямого угла $C$ треугольника $ABC,$ равен $∘ 10 .$ Найдите меньший угол этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

$ABCMD$

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 28

Показать ответ и решение

Так как $CD$ — биссектриса, то $∠ACD = 45∘.$ Тогда $∘ ∘ ∘ ∠ACM =∠ACD − ∠MCD =45 − 10 = 35 .$ Так как $CM$ — медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, то она равна половине гипотенузы, следовательно, $△ACM$ — равнобедренный, значит, $∠A = ∠ACM = 35∘.$ Заметим, что $∠A <45∘,$ следовательно, $∠B > 45∘,$ следовательно, $∠A$ и есть меньший угол в $△ABC.$