Координатная плоскость —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема 1. Геометрия на плоскости (планиметрия)

1.25 Координатная плоскость

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия на плоскости (планиметрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#2391

Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты $(− 1;− 1), (− 1;2), (5;4), (5;0).$

$PIC$

Показать ответ и решение

Назовем трапецию $ABCD,$ как показано на рисунке.

$PIC$

Тогда $AB$ и $CD$ — ее основания.

AB = 2− (−1)= 3, CD = 4− 0= 4

Высота, опущенная из $A$ на прямую $CD,$ равна $h = 5− (−1)= 6.$

Следовательно, площадь:

1 1 S = 2 ⋅h⋅(AB + CD )= 2 ⋅6 ⋅(3+ 4)= 21

Ответ: 21

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#2390

Найдите площадь прямоугольника, вершины которого имеют координаты $(2;−1), (6;− 1), (2;4), (6;4).$

$PIC$

Показать ответ и решение

Назовем вершины прямоугольника: $A(2;− 1), B(6;−1), D(2;4), C(6;4).$

$PIC$

Тогда длина отрезка $AB$ — модуль разности абсцисс точек $A$ и $B,$ длина отрезка $AD$ — модуль разности ординат точек $A$ и $D :$

AB = |6− 2|= 4, AD = |4 − (−1)|= 5

Следовательно, площадь прямоугольника равна

S = 4⋅5 =20

Ответ: 20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#1160

Найдите площадь параллелограмма, изображенного на рисунке.

$PIC$

Показать ответ и решение

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведенную к нему. У этого параллелограмма нижнее основание равно 2, а высота к нему равна 3. Следовательно,

S = 2⋅3= 6

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#1159

Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.

$PIC$

Показать ответ и решение

Площадь трапеции равна полупроизведению суммы оснований на высоту. Основания этой трапеции равны 2 и 4. Высота равна 5. Следовательно,

2+ 4 S = -2--⋅5= 15

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#1158

Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.

$PIC$

Показать ответ и решение

Площадь трапеции равна полупроизведению суммы оснований на высоту. Основания этой трапеции равны 2 и 8. Высота равна 3. Следовательно,

2+ 8 S = -2--⋅3= 15

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#1053

Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты $(1;1), (3;4), (6;2).$

$PIC$

Показать ответ и решение

Обозначим вершины треугольника за $A, B, C$ как показано на рисунке:

$PIC$

Тогда

AC2 = (3− 1)2 +(4− 1)2 = 13, BC2 = (6− 3)2 +(4− 2)2 = 13

Следовательно, треугольник равнобедренный. Найдем его высоту, опущенную из $C.$

$PIC$

√ -- AB = ∘ (6-− 1)2+-(2−-1)2-=√26 ⇒ AH = --26 2

Тогда:

∘ ---------- ∘--- CH2 = AC2 − AH2 = 13 2

Значит, площадь равна

S = 1 ⋅AB ⋅CH = 13 = 6,5 2 2

Ответ: 6,5

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#2506

Найдите площадь треугольника, координаты которого имеют вершины $(1;12), (7;14), (7;20).$

Показать ответ и решение

$PIC$

Площадь треугольника равна полупроизведению высоты на основание, у которому она проведена. Возьмем за основание отрезок с вершинами $(7;14)$ и $(7;20).$ Его длина равна 6. Высота к нему равна 6. Следовательно,

1 S = 2 ⋅6 ⋅6= 18

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#2300

Точка $M$ координатной плоскости имеет координаты $(−1;1),$ длина отрезка $MN$ равна 13, абсцисса точки $N$ равна 4. Найдите ординату точки $N,$ если известно, что она отрицательна.

Показать ответ и решение

$PIC$

Длина отрезка, соединяющего точки с координатами $(x1,y1)$ и $(x2,y2)$ равна

∘ (x1−-x2)2+-(y1− y2)2

Тогда для отрезка $MN :$

∘ (−1−-4)2+-(1-− yN)2 = 13,

где $yN$ — ордината точки $N.$

$(1− yN)2 = 144,$ откуда $yN1 = −11, yN2 =13.$

Так как ордината точки $N$ отрицательна, то $yN = −11.$

Ответ: -11

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#1566

Точка $M$ координатной плоскости имеет координаты $(3;7),$ точка $N$ имеет координаты $(5;13).$ Найдите произведение координат середины отрезка $MN.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Середина отрезка с концами $A(x1,y1),$ $B(x2,y2)$ имеет координаты

( x1+-x2; y1-+y2) 2 2

Середина отрезка $MN$ имеет координаты $(4;10),$ тогда произведение её координат равно $4 ⋅10 = 40.$

Ответ: 40

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#1054

На координатной плоскости с заданной прямоугольной системой координат даны две точки $A(2;2)$ и $B (8;8).$ Назовем точку особенной, если она является одной из вершин какого-то квадрата с вершинами в $A$ и $B.$