Тема 1. Геометрия на плоскости (планиметрия)
1.26 Задачи на клетчатой бумаге
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела геометрия на плоскости (планиметрия)
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#2780

На клетчатой бумаге с размером клетки 1× 1  изображен равносторонний треугольник. Найдите радиус описанной около него окружности.

Показать ответ и решение

Отметим точки A, B, C, E :

ABCOE

BE⊥ AC,  причем BE = 9.  Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров, в равностороннем треугольнике серединные перпендикуляры — это и высоты, и медианы, и биссектрисы.

То есть центр описанной окружности лежит на высоте BE,  которая также является и медианой. Пусть O  — центр этой окружности (а значит, и точка пересечения медиан треугольника). Так как медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1,  считая от вершины, то OB :OE  = 2:1,  откуда

OB = 2BE = 6
     3

Заметим, что по определению радиус описанной около треугольника окружности — это отрезок, соединяющий центр окружности с вершиной треугольника, то есть OB.  Таким образом, радиус равен 6.

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#2779

На клетчатой бумаге с размером клетки 1× 1  изображен равнобедренный прямоугольный треугольник. Найдите длину его биссектрисы, выходящей из вершины прямого угла.

Показать ответ и решение

Так как треугольник равнобедренный, то биссектриса, проведенная к гипотенузе-основанию, является также медианой. По свойству медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. У данного прямоугольного треугольника гипотенуза равна 5. Следовательно, медиана (она же биссектриса) равна 2,5.

Ответ: 2,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#2769

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1  изображен треугольник ABC.  Найдите длину средней линии, параллельной стороне AB.

ABC

Показать ответ и решение

Длина средней линии треугольника, параллельной стороне AB,  равна 1AB.
2  Так как AB  =7,  то средняя линия равна 3,5.

Ответ: 3,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#2681

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 мм × 1 мм  нарисована трапеция. Найдите её площадь. Ответ дайте в квадратных миллиметрах.

Показать ответ и решение

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Площадь нарисованной трапеции есть

                             2
0,5⋅(3 мм + 4 мм)⋅3 мм =10,5 мм
Ответ: 10,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#2625

На клетчатой бумаге с размером клетки 1× 1  изображен угол. Найдите тангенс этого угла.

OAB

Показать ответ и решение

Проведем перпендикуляр BH  к стороне OA.  Получим прямоугольный треугольник OBH.  Из него

tg∠O = BH  :OH = 3 :5 = 0,6

OABH

Ответ: 0,6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#2615

На клетчатой бумаге с размером клетки 1× 1  изображен треугольник ABC.  Найдите длину его биссектрисы, проведенной из вершины B.

ACB

Показать ответ и решение

Из рисунка видно, что треугольник равнобедренный (BA = BC  ). Следовательно, биссектриса, опущенная из вершины B,  будет также являться медианой и высотой. Тогда биссектриса BH  равна 3:

ACBH

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#2528

На клетчатой бумаге с размером клетки 1× 1  изображен ромб. Найдите его площадь.

Показать ответ и решение

Проведем диагонали данного ромба:

Площадь ромба равна полупроизведению диагоналей, следовательно,

S = 1⋅4 ⋅6= 12
    2
Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#2527

На клетчатой бумаге с размером клетки 1× 1  отмечены точки A,  B,  C.  Найдите расстояние от точки A  до прямой BC.

CBA

Показать ответ и решение

Проведем прямую BC  и перпендикуляр AH :

CBAH

Из рисунка видно, что AH = 4.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#2526

Найдите угол ABC.  Ответ дайте в градусах.

ACB

Показать ответ и решение

Пусть O  — центр окружности.

ACBO

Пусть сторона клетки равна 1. Точки O,  C  и A  находятся в узлах решетки, причем AO  — гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами 2, следовательно,        √-
AO  = 2 2.  AO = CO  — радиусы окружности. AC  = 4.

Так как AO2 + CO2 = AC2,  то по обратной теореме Пифагора, ∠AOC  = 90∘.

Это центральный угол, опирающийся на хорду AC.  Тогда вписанный угол ABC,  опирающийся на эту же хорду, равен половине ∠AOC,  то есть 45∘.

Ответ: 45

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#2384

На клетчатой бумаге изображен треугольник ABC.  Найдите его высоту, опущенную из вершины C,  если длина стороны  AB  равна 7.

Вершины треугольника лежат в узлах решетки.

BCA

Показать ответ и решение

Заметим, что треугольник ABC  равнобедренный: если x  — длина стороны одной клетки, то

     ∘ ----------- √ --
AC =   (5x)2+ (5x)2 =  50x
 BC = ∘x2-+-(7x)2 =√50x

Следовательно, высота из точки C  также будет являться и медианой, следовательно, упадет в середину AB  — точку  H.  Для того, чтобы найти середину AB,  можно построить прямоугольник AB′BA ′ (взяв AB  за диагональ) и найти точку пересечения диагоналей:

 ′′
BCAHABK

Заметим, что AB  — гипотенуза прямоугольного треугольника AB ′B  с катетами 2x  и 6x,  а CH  — гипотенуза прямоугольного треугольника CHK  с такими же катетами 2x  и 6x.  Следовательно, CH = AB = 7.

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#2383

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1  изображен треугольник ABC.  Найдите площадь треугольника A′B ′C,  где   A′B′ — средняя линия, параллельная стороне AB.

ACB

Показать ответ и решение

Пусть A′ ∈ AC, B′ ∈ BC.

ACBAB′′

По свойству средней линии △ABC  ∼ △A ′B′C  с коэффициентом подобия, равным 2. Следовательно, их площади относятся как коэффициент подобия в квадрате, то есть

SABC
SA′B′C-= 4

Высота треугольника ABC,  опущенная из C,  равна 2, AB = 7.  Следовательно,

SABC = 1 ⋅2 ⋅7= 7
       2

Тогда

        7
SA′B′C = 4 = 1,75.
Ответ: 1,75

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#2382

На клетчатой бумаге изображен треугольник. Найдите радиус вписанной в него окружности, если сторона одной клетки равна 3.

Показать ответ и решение

Будем искать радиус вписанной окружности по формуле S = p⋅r,  где S  — площадь, p  — полупериметр.

Заметим, что треугольник равнобедренный: AB = BC.

ACBH

Так как длина стороны клетки равна 3, то AH  = 12,  BH = 9,  следовательно,

     ∘----------
AB =  AH2  +BH2  =15

Тогда

1 ⋅BH ⋅AC = AB-+-BC-+-AC- ⋅r  ⇒   r = 4
2                 2

Заметим, что в задачах подобного типа можно вычислять все длины, как будто длина стороны клетки равна 1, а затем умножать полученный ответ на 3. Если бы длина одной клетки была равна 1, то AH = 4,  BH  = 3,  AB = 5  и r = 43.  Тогда после умножения на 3 также получили бы r =4.  При решении задачи таким способом вычисления будут легче.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#2312

На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 2,8.  Найдите площадь закрашенного сектора.

Показать ответ и решение

Заметим, что закрашенная фигура состоит из двух непересекающихся частей, равных 14  и 12  от 14  круга:

Таким образом, ее площадь равна

1    1 (1  )   3   3
4S + 2 ⋅ 4 S = 8S = 8 ⋅2,8= 1,05.
Ответ: 1,05

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#1856

Найдите разность площади фигуры 1 и площади фигуры 2.

SS12

Показать ответ и решение

SSKLABCDEFGHJ12

Площадь фигуры 1 можно посчитать следующим образом:

S1 =SAEGH  +SABDE − S△ABC − S△CDF − S△FGH =
  1                1       1       1
= 2 ⋅(2+ 6)⋅3+ 1⋅6− 2 ⋅1 ⋅2− 2 ⋅4 ⋅3 − 2 ⋅1⋅2 =10

Площадь фигуры 2 — следующим образом:

S  = S     − S    = 1 ⋅(2+ 5) ⋅4 − 1⋅4⋅3 =8
 2    AHJK   △KLJ   2            2

Тогда

S1− S2 = 10− 8= 2
Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#1846

Размер клетки 1 см ×1 см.  Найдите площадь фигуры с вырезанным кругом, выраженную в квадратных сантиметрах.

Показать ответ и решение

ABCDO

Искомая фигура состоит из квадрата ABCD  без вырезанного круга с центром O  и двух половин круга такого же радиуса, следовательно, площадь искомой фигуры равна площади квадрата ABCD   :  8⋅8= 64.

Ответ: 64

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#1845

На рисунке изображен треугольник. Найдите угол α.

α

Показать ответ и решение

αABCH

В треугольнике ABC  выберем точку H,  как показано на рисунке. Тогда: CH  ⊥ AB,  AH = CH  (покажите это самостоятельно), следовательно, треугольник AHC  — равнобедренный прямоугольный треугольник. Тогда        ∘
∠α = 45 .

Ответ: 45

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#1421

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 мм × 1 мм нарисован невыпуклый шестиугольник ABCDEF.  Найдите его площадь. Ответ дайте в квадратных миллиметрах.

AFEDCB

Показать ответ и решение

Дорисуем несколько отрезков как показано на рисунке ниже:

AFEDCBH

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту к этому основанию. Площадь треугольника ABF  равна

0,5⋅BF ⋅AF = 3 м м2

Площадь треугольника CBH  равна

0,5⋅CH ⋅BH = 1 мм2

Площадь трапеции FHDE  равна

0,5⋅(DE  +HF ) ⋅GE  = 3,5 мм2

Тогда

                                       2
SABCDEF = S△ABF + S△CBH + SFHDE = 7,5 мм
Ответ: 7,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#1420

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 мм × 1 мм нарисован четырёхугольник. Найдите его площадь. Ответ дайте в квадратных миллиметрах.

Показать ответ и решение

У данного четырёхугольника две стороны параллельны, а две другие не параллельны, следовательно, это трапеция. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Площадь нарисованной трапеции равна

                         2
0,5(2 мм + 3 мм )⋅4 мм = 10 мм
Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#1339

Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC,  считая стороны квадратных клеток равными 1.

ACB

Показать ответ и решение

Так как радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, ищется по формуле r =(a+ b− c):2,  где a, b  — катеты, c  — гипотенуза, то

         √ -2---2
r = 3-+4-−-3-+-4-= 1
         2
Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#1252

На клетчатой бумаге с размером клетки 1× 1  изображен угол. Найдите синус этого угла.

Показать ответ и решение

Продлим одну из сторон тупого угла A  на отрезок AC  так, чтобы BC ⊥ AC :

ABC

Заметим, что все вершины треугольника ABC  находятся в узлах решетки, причем AC = 3,  BC = 4.  Тогда

     ∘ -2---2
AB  =  3 + 4 = 5

Так как синус острого угла (в прямоугольном треугольнике) — это отношение противолежащего катета к гипотенузе, то

           BC   4
sin ∠BAC =  AB-= 5 = 0,8

Угол BAC  с тупым углом A  — смежные, следовательно, их синусы равны, значит, синус тупого угла A  равен также 0,8.

Ответ: 0,8
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!