Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На клетчатой бумаге с размером клетки изображен равносторонний треугольник. Найдите радиус описанной около него окружности.
Отметим точки
причем Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров, в равностороннем треугольнике серединные перпендикуляры — это и высоты, и медианы, и биссектрисы.
То есть центр описанной окружности лежит на высоте которая также является и медианой. Пусть — центр этой окружности (а значит, и точка пересечения медиан треугольника). Так как медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении считая от вершины, то откуда
Заметим, что по определению радиус описанной около треугольника окружности — это отрезок, соединяющий центр окружности с вершиной треугольника, то есть Таким образом, радиус равен 6.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На клетчатой бумаге с размером клетки изображен равнобедренный прямоугольный треугольник. Найдите длину его биссектрисы, выходящей из вершины прямого угла.
Так как треугольник равнобедренный, то биссектриса, проведенная к гипотенузе-основанию, является также медианой. По свойству медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. У данного прямоугольного треугольника гипотенуза равна 5. Следовательно, медиана (она же биссектриса) равна 2,5.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На клетчатой бумаге с размером клетки изображен треугольник Найдите длину средней линии, параллельной стороне
Длина средней линии треугольника, параллельной стороне равна Так как то средняя линия равна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На клетчатой бумаге с клетками размером нарисована трапеция. Найдите её площадь. Ответ дайте в квадратных миллиметрах.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Площадь нарисованной трапеции есть
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На клетчатой бумаге с размером клетки изображен угол. Найдите тангенс этого угла.
Проведем перпендикуляр к стороне Получим прямоугольный треугольник Из него
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На клетчатой бумаге с размером клетки изображен треугольник Найдите длину его биссектрисы, проведенной из вершины
Из рисунка видно, что треугольник равнобедренный (). Следовательно, биссектриса, опущенная из вершины будет также являться медианой и высотой. Тогда биссектриса равна 3:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На клетчатой бумаге с размером клетки изображен ромб. Найдите его площадь.
Проведем диагонали данного ромба:
Площадь ромба равна полупроизведению диагоналей, следовательно,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На клетчатой бумаге с размером клетки отмечены точки Найдите расстояние от точки до прямой
Проведем прямую и перпендикуляр
Из рисунка видно, что
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите угол Ответ дайте в градусах.
Пусть — центр окружности.
Пусть сторона клетки равна 1. Точки и находятся в узлах решетки, причем — гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами 2, следовательно, — радиусы окружности.
Так как то по обратной теореме Пифагора,
Это центральный угол, опирающийся на хорду Тогда вписанный угол опирающийся на эту же хорду, равен половине то есть
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На клетчатой бумаге изображен треугольник Найдите его высоту, опущенную из вершины если длина стороны равна 7.
Вершины треугольника лежат в узлах решетки.
Заметим, что треугольник равнобедренный: если — длина стороны одной клетки, то
Следовательно, высота из точки также будет являться и медианой, следовательно, упадет в середину — точку Для того, чтобы найти середину можно построить прямоугольник (взяв за диагональ) и найти точку пересечения диагоналей:
Заметим, что — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами и а — гипотенуза прямоугольного треугольника с такими же катетами и Следовательно,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На клетчатой бумаге с размером клетки изображен треугольник Найдите площадь треугольника где — средняя линия, параллельная стороне
Пусть
По свойству средней линии с коэффициентом подобия, равным 2. Следовательно, их площади относятся как коэффициент подобия в квадрате, то есть
Высота треугольника опущенная из равна 2, Следовательно,
Тогда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На клетчатой бумаге изображен треугольник. Найдите радиус вписанной в него окружности, если сторона одной клетки равна 3.
Будем искать радиус вписанной окружности по формуле где — площадь, — полупериметр.
Заметим, что треугольник равнобедренный:
Так как длина стороны клетки равна 3, то следовательно,
Тогда
Заметим, что в задачах подобного типа можно вычислять все длины, как будто длина стороны клетки равна 1, а затем умножать полученный ответ на 3. Если бы длина одной клетки была равна 1, то и Тогда после умножения на 3 также получили бы При решении задачи таким способом вычисления будут легче.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На клетчатой бумаге нарисован круг площадью Найдите площадь закрашенного сектора.
Заметим, что закрашенная фигура состоит из двух непересекающихся частей, равных и от круга:
Таким образом, ее площадь равна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите разность площади фигуры 1 и площади фигуры 2.
Площадь фигуры 1 можно посчитать следующим образом:
Площадь фигуры 2 — следующим образом:
Тогда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Размер клетки Найдите площадь фигуры с вырезанным кругом, выраженную в квадратных сантиметрах.
Искомая фигура состоит из квадрата без вырезанного круга с центром и двух половин круга такого же радиуса, следовательно, площадь искомой фигуры равна площади квадрата
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На рисунке изображен треугольник. Найдите угол
В треугольнике выберем точку как показано на рисунке. Тогда: (покажите это самостоятельно), следовательно, треугольник — равнобедренный прямоугольный треугольник. Тогда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 мм 1 мм нарисован невыпуклый шестиугольник Найдите его площадь. Ответ дайте в квадратных миллиметрах.
Дорисуем несколько отрезков как показано на рисунке ниже:
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту к этому основанию. Площадь треугольника равна
Площадь треугольника равна
Площадь трапеции равна
Тогда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 мм 1 мм нарисован четырёхугольник. Найдите его площадь. Ответ дайте в квадратных миллиметрах.
У данного четырёхугольника две стороны параллельны, а две другие не параллельны, следовательно, это трапеция. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Площадь нарисованной трапеции равна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник считая стороны квадратных клеток равными 1.
Так как радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, ищется по формуле где — катеты, — гипотенуза, то
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На клетчатой бумаге с размером клетки изображен угол. Найдите синус этого угла.
Продлим одну из сторон тупого угла на отрезок так, чтобы
Заметим, что все вершины треугольника находятся в узлах решетки, причем Тогда
Так как синус острого угла (в прямоугольном треугольнике) — это отношение противолежащего катета к гипотенузе, то
Угол с тупым углом — смежные, следовательно, их синусы равны, значит, синус тупого угла равен также