Теорема синусов и теорема косинусов —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Теорема синусов и теорема косинусов

Тема 1. Геометрия на плоскости (планиметрия)

1.24 Теорема синусов и теорема косинусов

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия на плоскости (планиметрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#75884

В треугольнике $NSK$ точка $M$ — середина стороны $SK$ равной 20, $N S = 6√2,$ $∠SN M = 45∘.$ Найдите длину медианы $N M.$

Показать ответ и решение

$SM = M K = 20 : 2 = 10,$ так как точка $M$ — середина стороны $SK.$

По теореме косинусов в треугольнике $SN M :$

SM 2 = SN 2 + NM 2 − 2⋅SN ⋅N M ⋅cosSN M =

√ - = (6√2-)2 + NM 2 − 2⋅6√2 ⋅NM ⋅--2= 100, 2

2 N M − 12N M − 28 = 0,

$N M = 14$ или $N M = − 2.$

Ответ: 14

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#74512

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 10,BC = 10,AC = 12.$ Найдите $cosA.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Опустим высоту из вершины $B.$ Так как $△ABC$ — равнобедренный, то $BH$ — высота и медиана. Отсюда $AH = HC = 6.$

AH- 6- cosA = AB = 10 = 0,6.

Ответ: 0,6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#18124

В треугольнике $ABC$ сторона $AB$ равна $√- 2 3,$ угол $C$ равен $∘ 120 .$ Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

$PIC$

Показать ответ и решение

По теореме синусов для треугольника треугольника $ABC :$

AB AB 2√3- 2√3 sin-∠C-= 2R ⇒ R = 2sin∠C-= 2sin120∘ = 2⋅-√3= 2 2

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#2553

Сторона правильного треугольника равна $√3.$ Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

$PIC$

Показать ответ и решение

По теореме синусов

a sinα-= 2R,

где $a$ — сторона треугольника, $α$ — противолежащий этой стороне угол, $R$ — радиус описанной окружности. Так как в правильном треугольнике все углы равны по $∘ 60 ,$ то

√ - √- ---3-- √3- 2R = sin60∘ = -32 = 2 ⇒ R = 1

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#2504

Найдите хорду, на которую опирается угол $120∘,$ вписанный в окружность радиуса $√3.$

Показать ответ и решение

Рассмотрим треугольник $ABC.$ По теореме синусов

a sinα-= 2R,

где $a$ — сторона треугольника, $α$ — противолежащий этой стороне угол, $R$ — радиус описанной окружности. Следовательно,

√- √ - -3- AB = 2R ⋅sin∠C = 2⋅ 3⋅ 2 = 3

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#2494

Сторона $AB$ треугольника $ABC$ равна 1. Противолежащий ей угол $C$ равен $150∘.$ Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

$PIC$

Показать ответ и решение

По теореме синусов

-AB---= 2R sin ∠C

Следовательно,

1 ---1-- 1 1- R = 2 ⋅sin 150∘ = 2 ⋅ 12 = 1

Ответ: 1

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#2493

Угол $C$ треугольника $ABC,$ вписанного в окружность радиуса 3, равен $30∘.$ Найдите сторону $AB$ этого треугольника.

$PIC$

Показать ответ и решение

По теореме синусов

-AB---= 2R sin ∠C

Следовательно,

AB = 2R⋅sin ∠C = 2⋅3⋅sin30∘ = 3

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#2492

Одна сторона остроугольного треугольника равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол треугольника, противолежащий этой стороне. Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

Пусть $AB = R.$ Тогда нужно найти $∠C.$

$PIC$

По теореме синусов:

-AB--- AB- R-- 1 sin ∠C = 2R ⇒ sin∠C = 2R = 2R = 2

Так как треугольник остроугольный, то $∘ ∠C = 30 .$

Ответ: 30

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#2491

Сторона $AB$ треугольника $ABC$ равна 1. Противолежащий ей угол $C$ равен $30∘.$ Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

$PIC$

Показать ответ и решение

По теореме синусов

-AB---= 2R sin ∠C

Следовательно,

1 --1--- 1 1- R = 2 ⋅ sin30∘ = 2 ⋅12 = 1

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#2210

Радиус окружности, описанной около треугольника $ABC,$ равен $R.$ Большая сторона треугольника $ABC$ равна 10, а $∠ABC = 150∘.$ Найдите $R.$

$PIC$

Показать ответ и решение

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, тогда $AC =10.$ По теореме синусов

2R = ---AC--- = 10-= 20, sin ∠ABC 0,5

откуда $R = 10.$

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#2146

В треугольнике $ABC$ проведена медиана $AM.$ Найдите площадь треугольника $ABC,$ если $AC = 3√2, BC = 10, ∠MAC =45∘.$

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Из треугольника $ACM$ по теореме косинусов найдем $AM :$

2 2 2 ∘ CM = AC +AM − 2 ⋅AC ⋅AM ⋅cos45 ⇒ AM = 7

Т.к. $AM$ — медиана, то она делит треугольник $ABC$ на два равновеликих треугольника:

∘ SABC = 2⋅SACM = 2⋅0,5⋅AC ⋅AM ⋅sin45 = 21

Ответ: 21

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#2145

В остроугольном треугольнике $PQR,$ сторона $PR$ которого равна 12, на стороны $QR$ и $PQ$ опущены высоты $PM$ и $RN.$ Вычислите площадь четырехугольника $PNMR,$ если известно, что площадь треугольника $NQM$ равна 2, а радиус окружности, описанной около треугольника $PQR,$ равен $9√2-- 2 .$

$PIC$

Показать ответ и решение

По теореме синусов и по основному тригонометрическому тождеству имеем:

√- √ - -P-R--= 2R ⇒ --12--= 2⋅ 9-2 ⇒ sin∠Q = 2--2 sin ∠Q sin∠Q 2 3

∘ ----------- 1 cos∠Q = 1− (sin ∠Q)2 = 3

$PIC$

Далее, так как $∠QNM = ∠QRP,$ то треугольник $PQR$ подобен треугольнику $QMN$ по двум углам, тогда имеем:

( )2 SQMN- = QM-- =(cosQ)2 = 1 ⇒ SQPR =2 ⋅9= 18 SQPR QP 9

SPNMR = 18 − 2 = 16

Ответ: 16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#2144

Найдите площадь треугольника $KP M,$ если сторона $KP = 5,$ медиана $P O = 3√2,$ $∠KOP = 135∘.$

Показать ответ и решение

Из треугольника $KP O$ найдем $KO$ по теореме косинусов:

2 2 2 ∘ PK = KO + OP − 2 ⋅KO ⋅OP ⋅cos135

Значит, $KO = 1.$

$PIC$

Так как $PO$ — медиана, то она делит треугольник $KP M$ на два равновеликих треугольника:

SKPM =2 ⋅SKPO = 2⋅0,5⋅KO ⋅OP ⋅sin135∘ = 3

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#1565

$ABCD$ — вписанный четырёхугольник, причём $AB- AD- CD = k = BC ,$ $AC = 5,$ $BD =3.$ Найдите $k,$ если $AB >CD.$

Показать ответ и решение

Обозначим $BC = x,$ $CD =y,$ $∠ABC = α,$ $∠BAD =β.$

$PIC$

Выразим $2 AC$ при помощи теоремы косинусов в треугольниках $ABC$ и $ACD :$

AC2 = x2+ k2y2− 2xkycosα

Так как $cos(π − ϕ)= − cosϕ,$ то

AC2 = k2x2+ y2+ 2kxycosα

Складывая два последних равенства с учётом того, что $AC = 5,$ получим:

50 = (k2+ 1)(x2 +y2) ⇒ x2+ y2 =--50- k2+ 1

Выразим $BD2$ при помощи теоремы косинусов в треугольниках $ABD$ и $BCD :$

2 2 2 22 BD = k x + ky − 2kxkycosβ BD2 = x2+ y2 +2xycosβ

Тогда

2 2 2 2 2 2 k(x + y )− 2k xycosβ =x +y +2xycosβ

Так как $x2+ y2 =--50-, k2+ 1$ то

2 2 (k-−2-1)⋅50-= 2(k2 +1)xycosβ ⇒ xycosβ = 25(k2-−-12) k + 1 (k + 1)

В итоге

50 50(k2 − 1) 50(k2+ 1)+ 50(k2− 1) BD2 = 9= k2-+1-+ (k2+-1)2 = -----(k2+-1)2------= = -100k2- ⇒ 9(k2+ 1)2 = 100k2 (k2+1)2

Обозначим $2 t =k :$

2 9(t+ 1) = 100t 9t2− 82t+9 = 0 D = 6724− 324= 6400= 802 82 ±80 t1,2 =--18-- t1 = 9 1 t2 = 9

Так как $AB > CD,$ то $k > 1,$ тогда $2 t= k > 1,$ откуда $t =9,$ следовательно, $k =3$ ( $k > 1$ ).

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#1564

$ABCD$ — вписанный четырёхугольник, причём $AB- AD- CD = 2 = BC ,$ $AC = 1.$ Найдите $BD.$

Показать ответ и решение

Обозначим $BC = x,$ $CD =y,$ $∠ABC = α,$ $∠BAD =β.$

$PIC$

Выразим $2 AC$ при помощи теоремы косинусов в треугольниках $ABC$ и $ACD :$

AC2 = x2+ 4y2− 4xycosα

Так как $cos(π − ϕ)= − cosϕ,$ то

AC2 = 4x2+ y2+ 4xycosα

Складывая два последних равенства с учётом того, что $AC = 1,$ получим:

2= 5(x2+ y2) ⇒ x2+ y2 = 0,4

Выразим $BD2$ при помощи теоремы косинусов в треугольниках $ABD$ и $BCD :$

BD2 = 4x2+ 4y2 − 8xycosβ 2 2 2 BD = x + y +2xycosβ

Тогда

2 2 2 2 4x + 4y − 8xycosβ = x + y + 2xycosβ

Так как $x2+ y2 = 0,4,$ то $xycosβ = 0,12.$

В итоге

BD2 = x2 +y2+ 2xycosβ = 0,4+ 2⋅0,12= 0,64 ⇒ BD = 0,8

Ответ: 0,8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#1563

$AB$ — диаметр окружности с центром $O,$ который пересекает хорду $CD$ в точке $E,$ лежащей на $BO.$ Градусная мера дуги $AC$ равна $60∘,$ $OE = 0,6⋅OA.$ Найдите $7⋅cos∠CEA.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Построим радиус $CO$ и отрезок $CA,$ тогда $∠COA = 60∘$ и, следовательно, треугольник $COA$ — равносторонний, $∠CAE = 60∘,$ $AC = AO.$

$PIC$

$AE = 1,6⋅AO.$

Запишем теорему косинусов для треугольника $ACE :$

CE2 = AE2 + AC2 − 2 ⋅AE ⋅AC ⋅cos∠CAE

Тогда

CE2 = 2,56⋅AO2 + AO2 − 2 ⋅1,6⋅AO ⋅AO ⋅0,5= 1,96⋅AO2

Значит, $CE = 1,4 ⋅AO.$

По теореме синусов

--AC----= ---CE--- sin∠AEC sin ∠CAE

Тогда

√ - --AO----= 1,4⋅A√O- ⇒ sin∠AEC = --3 sin∠AEC 0,5 3 2,8

Из основного тригонометрического тождества находим: $cos∠AEC =± 1114.$ Так как точка $E$ лежит на $BO,$ то $∠AEC$ — острый, значит

cos∠AEC = 11 ⇒ 7⋅cos∠AEC = 5,5 14

Ответ: 5,5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#1562

В треугольнике $ABC :$ $O$ — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам $AC$ и $BC = 5π <AB,$ $OD = 2,5π$ — серединный перпендикуляр к стороне $CB.$ Найдите $∠A.$ Ответ дайте в градусах.