Решение треугольника и других фигур с помощью тригонометрии —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Решение треугольника и других фигур с помощью тригонометрии

Тема 1. Геометрия на плоскости (планиметрия)

1.23 Решение треугольника и других фигур с помощью тригонометрии

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия на плоскости (планиметрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#75868

В прямоугольном треугольнике $NSK$ гипотенуза $N K = 53.$ Найдите высоту $SM,$ если $tg N = 2. 7$

Показать ответ и решение

пусть в прямоугольном $N SK$ $∠SN K = α,$ тогда $∠SKN = 90∘ − α.$ $SM$ — высота, в прямоугольном $SM K$ $∠SKM = 90∘ − α,$ $∠KSM = α.$ Следовательно, треугольники $N M S$ и $SM K$ подобны по двум углам. В треугольнике $NM S :$ $tgN = -SM = 2, NM 7$ тогда $SM = 2x,$ $N M = 7x.$ Так как $∠SN M = ∠M SK,$ получаем что $tgM SK = tg SN M = 2, 7$ тогда $M K = 2y,$ $SM = 7y.$

$PIC$

Длина отрезка $SM :$

SM = 2x = 7y,

x = 3,5y,

N K = N M + M K = 7x + 2y = 7 ⋅3,5y +2y = 26,5y = 53,

y = 53--= 2, 26,5

SM = 7y = 7⋅2 = 14.

Ответ: 14

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#75867

В треугольнике $NSK$ $N S = SK,$ высота $KM = 1,4,$ $N K = 5.$ Найдите $cosSKN .$

Показать ответ и решение

$PIC$

Треугольник $N SK$ равнобедренный, так как $N S = SK.$ Следовательно, $∠N = ∠K$ и $cosSKN = cosKN M = NMNK .$ По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $NM K :$

NM 2 = N K2 − M K2 = 52 − 1,42 = 25− 1,96 = 23,04,

N M = 4,8,

4,8 cosSKN = 5 = 0,96.

Ответ: 0,96

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#45213

Большее основание равнобедренной трапеции равно 25. Боковая сторона равна 3. Синус острого угла равен $√11- -6--.$ Найдите меньшее основание.

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть меньшее основание $BC = x.$ Проведем высоты трапеции $BH$ и $CK.$ Тогда $△ABH = △DCK$ как прямоугольные по гипотенузе и катету. Следовательно, $AH = DK.$

$PIC$

Так как $HBCK$ — прямоугольник, то $HK = BC = x.$ Тогда

1 1 AH = 2 (AD − BC) = 2 (25− x)

Найдем косинус $∠A$ через основное тригонометрическое тождество:

∘ --------- ∘ ------ cos∠A = 1− sin2∠A = 1− 11 = 5 36 6

Тогда

5 AH 12 (25− x) 6 = cos∠A = AB- = ----3--- ⇔ x = 20

Ответ: 20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#21442

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $∘ 90,$ а $2√13- cos∠A = 13 .$ Найдите $tg∠A.$

Показать ответ и решение

По условию $∠A$ — это острый угол прямоугольного треугольника $ABC.$ Тогда $0 < sin∠A < 1.$ По основному тригонометрическому тождеству имеем:

2 2 2 4 sin ∠A + cos∠A =1 ⇔ sin ∠A + 13 = 1 √ -- sin2∠A = 9- ⇔ sin∠A = 3--13 13 sin∠A>0 13

$PIC$

Значит, искомый тангенс равен

sin∠A 3√13 3 tg∠A = cos∠A-= 21√313= 2 = 1,5 13

Ответ: 1,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#17235

Основания равнобедренной трапеции равны 78 и 60. Тангенс острого угла равен $2 9 .$ Найдите высоту трапеции.

Показать ответ и решение

Опустим высоты $BH$ и $′ CH$ на основание $AD$ трапеции. Они равны, так как $AD ∥ BC.$

Тогда $△ ABH = △DCH ′$ по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, $AH = H′D.$ Кроме того, так как $HBCH ′$ — прямоугольник, то

BC = HH ′ = 60

Тогда имеем:

AD − BC 78− 60 AH = ----2--- = --2---= 9

$PIC$

В прямоугольном треугольнике $ABH$ получаем

2 BH 9 = tg ∠HAB = AH--

Тогда искомая высота равна

BH = 2AH = 2 ⋅9= 2 9 9

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#13543

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = BC = 16,$ $√7- tgA = 3 .$ Найдите $AB.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Опустим из точки $C$ высоту $CH$ на сторону $AB.$ Тогда по определению тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике $AHC$ имеем:

√- CH- = tg∠A = -7- AH √ -3 CH = AH--7- 3

$PIC$

Так как треугольник $AHC$ — прямоугольный, то по теореме Пифагора:

(AH √7-)2 AC2 = AH2 + CH2 = AH2 + ---3-- = = 9AH2-+7AH2--= 16AH2 9 9

Отсюда получаем

4 AC = 3AH 3AC AH = --4-

Треугольник $ACB$ — равнобедренный по условию, $CH$ в нём является и высотой, и медианой. Тогда искомая сторона равна

AB = AH + BH =2AH = 3AC- 3AC-- 3⋅16 = 2⋅ 4 = 2 = 2 =24

Ответ: 24

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#2762

В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 12,$ $√2- tgA = -4-.$ Найдите высоту $CH.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH.$ Так как тангенс — это отношение противолежащего катета к прилежащему, то

√- CH-= -2- AH 4

Следовательно, можно принять $√ - CH = 2x,$ $AH = 4x,$ где $x$ — некоторое положительное число. Тогда по теореме Пифагора из этого же треугольника

AC2 = AH2 + CH2 ⇒ 144 = 2x2+16x2 ⇒ x = 2√2

Следовательно,

CH = √2x= √2-⋅2√2 = 4

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#2691

В прямоугольнике $ABCD$ известно, что $BC :AB = 2:1,$ $AC$ — диагональ. Найдите отношение косинуса угла $CAD$ к косинусу угла $ACD.$

Показать ответ и решение

$PIC$

По определению косинуса и синуса острого угла в прямоугольном треугольнике получаем, что $cos∠ACD =sin∠CAD,$ тогда

cos∠CAD--= cos∠CAD---=ctg∠CAD = AD- = BC-= 2 cos∠ACD sin∠CAD CD AB

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#2476

Большее основание равнобедренной трапеции равно 34. Боковая сторона равна 14. Синус острого угла равен $2√10- -7--.$ Найдите меньшее основание.

Показать ответ и решение

$PIC$

Проведем $BH ⊥ AD.$ Из треугольника $ABH :$

√ -- -- 2--10= sin ∠A = BH-- ⇒ BH = 4√ 10 7 AB

Тогда по теореме Пифагора

∘-------√--- AH = 142− (4 10)2 = 6

Так как $AH = 0,5(AD − BC),$ то

BC = AD − 2AH = 34− 12= 22

Ответ: 22

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#2475

Основания равнобедренной трапеции равны 43 и 73. Косинус острого угла трапеции равен $5 7.$ Найдите боковую сторону трапеции.

Показать ответ и решение

$PIC$

Проведем $BH ⊥ AD.$ По свойству равнобедренной трапеции $AH = 1(AD − BC) =15. 2$ Тогда из треугольника $ABH :$

5 AH 7 = cos∠A = -AB ⇒ AB = 21

Ответ: 21

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#2473

В параллелограмме $ABCD$ известно, что $AB = 3,$ $AD = 21,$ $6 sin ∠A = 7.$ Найдите большую высоту параллелограмма.

Показать ответ и решение

$PIC$

Проведем высоты $BK$ и $DH.$ Тогда из треугольника $ADH$ и треугольника $ABK :$

sin∠A = DH-- sin∠A = BK-, AD AB

откуда

DH = AD sin ∠A BK = AB sin ∠A

Так как $AD > AB$ , то $DH$ — большая высота, следовательно,

DH = 21 ⋅ 6= 18 7

Ответ: 18

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#2471

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = BC = 4√15,$ $sin∠BAC = 0,25.$ Найдите высоту $AH.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то $∠BAC = ∠ABC,$ следовательно, $sin∠ABC = sin∠BAC = 0,25.$ Следовательно, из треугольника $AHB :$

AH 1 1 AB-= sin ∠ABC = 4 ⇒ AH = 4 AB

Проведем $CK ⊥ AB.$ Тогда $CK$ также является медианой. Из треугольника $CKB :$

CK- = sin∠ABC = 1 ⇒ CK = √15 BC 4

Следовательно, по теореме Пифагора из треугольника $CKB :$

∘ ---------- ∘-------------- ∘---------- KB = BC2 − CK2 = (4√ 15)2− (√15)2 = 3√ 15⋅5√15= 15

Следовательно, $AB = 2KB =30$ и $AH = 14AB = 7,5.$

Ответ: 7,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#2470

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = BC = 5,$ $7- sin∠A = 25.$ Найдите $AB.$

Показать ответ и решение

Проведем $CK ⊥ AB.$

$PIC$

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то $CK$ также является медианой, следовательно, $AK = 0,5AB.$ Тогда

7 CK 7 25 = sin ∠A = AC ⇒ CK = 5

Тогда по теореме Пифагора из треугольника $ACK :$

∘ ------- ∘ ------- ∘ ---2-----2 49 252−-72 AK = AC − CK = 25− 25 = 25 = ∘ ------------- = (25−-7)(25+-7)= 3-⋅8-= 4,8 25 5

Следовательно, $AB = 2AK = 9,6.$

Ответ: 9,6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#2469

В треугольнике $ABC$ угол $∘ C = 90 ,$ $CH$ — высота, $AC = 2,$ $1 cos∠A = 8.$ Найдите $BH.$

Показать ответ и решение

По определению из треугольника $ABC :$

AC- = cos∠A = 1 ⇒ AB = 8AC = 16 AB 8

$PIC$

Так как по свойству прямоугольного треугольника $△BHC ∼△ABC,$ то

BH-- BC- BC2- BC = AB ⇒ BH = AB

Нужно найти $2 BC .$ По теореме Пифагора

BC2 = AB2 − AC2 = 162− 22 = (16− 2)(16+ 2)= 14⋅18

Следовательно,

BH = 14⋅18= 15,75 16

Ответ: 15,75

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#2468

В треугольнике $ABC$ угол $∘ C = 90 ,$ $CH$ — высота, $BC = 3,$ $1 sin ∠A = 6.$ Найдите $AH.$

Показать ответ и решение

По определению из треугольника $ABC :$

BC- = sin∠A = 1 ⇒ AB = 6BC = 18 AB 6

$PIC$

Так как по свойству прямоугольного треугольника $△AHC ∼ △ABC,$ то

AH- AC- AC2- AC = AB ⇒ AH = AB

Нужно найти $2 AC .$ По теореме Пифагора

AC2 = AB2 − BC2 = 182− 32 = (18− 3)(18+ 3)= 15⋅21

Следовательно,

AH = 15⋅21= 35-= 17,5 18 2

Ответ: 17,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#2467

В треугольнике $ABC$ угол $C = 90∘,$ $AB = 17,$ $tg∠A = 0,25.$ Найдите высоту $CH.$

Показать ответ и решение

$PIC$

По определению из треугольника $ABC :$

BC- = tg∠A = 1 AC 4

Следовательно, можно принять $AC = 4x,$ $BC = x.$ Тогда по теореме Пифагора

x2+ (4x)2 = 172 ⇒ x = √17

Так как площадь прямоугольного треугольника $ABC,$ с одной стороны, равна $0,5CH ⋅AB,$ а с другой стороны, равна $0,5BC ⋅AC,$ то

4x2 CH ⋅AB = BC ⋅AC ⇒ CH = AB = 4

Ответ: 4

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#2466

В треугольнике $ABC$ угол $C = 90∘,$ $CH$ — высота, $AB = 13,$ $tg∠A =0,2.$ Найдите $AH.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как по определению из треугольника $ABC :$

BC- = tg∠A = 1 AC 5

Можно принять $BC = x,$ $AC = 5x.$

Следовательно, по теореме Пифагора

BC2 + AC2 = AB2 ⇒ x2+ (5x)2 = 132 ⇒ x2 = 13 2

Из треугольника $AHC :$

cos∠A = AH- AC

Из треугольника $ABC :$

AC- cos∠A = AB

Следовательно:

AH AC AC2 (5x)2 25 AC- = AB- ⇒ AH = AB--= -13--= 2-= 12,5

Ответ: 12,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#2187

В ромбе $ABCD$ одна из диагоналей в $√3-$ раз больше, чем другая диагональ. Найдите больший из углов этого ромба. Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба. Пусть $AC :BD = √3.$

$PIC$

Так как $AO = 0,5AC,$ а $BO = 0,5BD,$ то $√- AO :BO = 3,$ тогда

tg∠ABO = √3-,

следовательно, $∠ABO = 60∘,$ тогда

∠ABC = 2∠ABO = 120∘

$∠BCD = 60∘ < ∠ABC,$ таким образом, больший из углов ромба $ABCD$ равен $120∘.$

Ответ: 120

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#1972

Дан треугольник $YES,$ причем $Y S ⊥ ES.$ Найдите $tg∠Y,$ если $tg∠E = 4.$

Показать ответ и решение

$PIC$

По определению тангенса:

ES tg∠Y = Y-S =ctg∠E

Т.к. $tgα ⋅ctg α= 1$ для любого угла $α,$ то

ctg∠E = -1---= 1 tg∠E 4

Следовательно, $1 tg∠Y = 4 =0,25.$

Ответ: 0,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#1971

Дан прямоугольный треугольник $YES$ с гипотенузой $Y E.$ Найдите $cos∠E,$ если $sin ∠Y = 0,8.$

Показать ответ и решение

$PIC$

По определению синуса и косинуса:

sin∠Y = ES- и cos∠E = ES- YE YE

Таким образом мы видим, что $cos∠E = sin ∠Y = 0,8.$

Ответ: 0,8

Предыдущий раздел

Следующий раздел