Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Сравните числа и 22.
Сгруппируем крайние члены
По формуле суммы тангенсов
Заменим синус от 45 градусов на равный ему косинус и воспользуемся формулой произведения косинусов
Осталось заметить, что функция убывает на отрезке , а значит, верны неравенства для всех , следовательно, верны неравенства для всех , т.е. каждое слагаемое в сумме меньше 1. Таким образом, вся сумма меньше 22.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Определим Вычислите сумму
Заметим, что
Тогда в нашем выражении все слагаемые, кроме разбиваются на пары с суммой При этом также понятно, что откуда То есть вся сумма равна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана гипербола . Рассматриваются 300 прямоугольников: одна вершина в начале координат, другая на гиперболе при всех , от 1 до 300 включительно. Найти площадь некоторой области, которая содержится только в одном из прямоугольников.
Подсказка 1
По своей сути задача геометрическая, а самая важная часть геометрической задачи – рисунок. Постройте график функции f(x) = 3 + 5/x и обозначенные прямоугольники. А теперь посмотрите, что за площади нас просят найти.
Подсказка 2
Каждый прямоугольник будет иметь вверху прямоугольную часть, которая принадлежит только ему. Как можно вычислить её площадь?
Подсказка 3
Как произведение сторон прямоугольника! У него одна сторона равна единице, а вторая разности значений функции в соседних натуральных аргументах. Только вот рассмотрите отдельно последний прямоугольник: у него одна из сторон лежит просто на оси абсцисс.
Подсказка 4
Остаётся только записать и вычислить сумму всех площадей. Поверьте, она удобно сворачивается!
Обозначим через .
У каждого прямоугольника от первого до трёхсотого есть область, содержащаяся только в нём. Эта область является прямоугольником с шириной 1 и высотой (если считать , ведь у последнего прямоугольника нижнее основание лежит уже на оси абсцисс)
Поэтому сумма площадей таких областей равна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Известно, что
Какие значения может принимать выражение
Случай противоречит, например, условию Поэтому среди чисел есть пара различных. Не умаляя общности (можно переобозначить переменные),
Преобразуем равенство из условия:
Так как то Получаем, что сумма любых двух переменных противоположна третьей, можно изящно подставить всё в искомую дробь:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Числа таковы, что . Вычислите значение выражения
Преобразуем дробь, используя условие
Преобразуем ещё одну дробь, используя то же самое условие
Применим условие для дроби выше ещё раз и заменим число в знаменателе
Теперь преобразуем исходное выражение, с учетом всех предыдущих преобразований
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Упростите выражение (в ответе не должно быть многоточия и знаков суммирования):
Вспомним формулу сокращенного умножения:
Умножим и разделим наше выражение на
По формуле, приведённой выше, имеем
Заметим, что каждую следующую тоже можно будет свернуть. Например, после второго применения формулы получится
Аналогичным образом свернем все скобки и получим
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть , , — попарно различные числа. Докажите, что выражение
не равно нулю.
Предположим противное: пусть
Докажем, что
Раскрываем скобки и группируем:
Таким образом, какие-то два из чисел равны, что противоречит условию.
Значит,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите, что если действительные числа , , удовлетворяют условию
то сумма каких-то двух из них равна нулю.
Первое решение.
Приведем левую дробь к общему знаменателю:
Теперь по правилу пропорции имеем равенство:
Раскрываем в левой части скобки, получаем:
В левой и правой части взаимно уничтожится, тогду получится уравнение:
Заметим, что левая часть равна Тогда получаем равенство
Из которого напрямую следует, что сумма каких-то двух из наших чисел равна нулю.
Второе решение.
Рассмотрим многочлен, корнями которого являются данные числа
Пусть при раскрытии скобок мы получаем
Тогда по теореме Виета
Из условия после приведения к общему знаменателю получаем
то есть
Тогда можно представить в виде
Так как мы знаем про наличие трёх корней то и где
Не умаляя общности, В итоге поэтому требуемое верно.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
При каких целых число является составным (то есть имеет хотя бы 3 натуральных делителя)?
Выделим в исходном выражении полный квадрат: прибавим и вычтем :
Так как используем формулу разности квадратов:
В каждой скобке тоже выделим полный квадрат:
Найдем, при каких значение выражения - простое число. Заметим, что хотя бы одна из полученных скобок должна быть равна а иначе произведение не будет простым. Решим отдельно два уравнения. Для первой скобки:
Для второй скобки:
Теперь проверим, что при и получаются простые числа:
- При имеем
- При имеем
Итак, получили, что для выражение будет принимать простое значение. Тогда для всех остальных целых выражение будет составным.
при любых целых, кроме 1 и -1.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Учитель написал на доске 10 чисел. Вася увеличил каждое из чисел на 1 и сумма их квадратов не изменилась. Как изменится сумма квадратов чисел, если каждое увеличить на 2?
Пусть написанные на доске числа —
Тогда по условию задачи имеем следующее тождество:
Раскрываем скобки и в левой части группируем отдельно квадраты и удвоенные числа, получаем следующее уравнение:
Суммы квадратов в левой и правой частях взаимно уничтожаются.
Откуда получаем:
В задаче необходимо найти изменение суммы квадратов после прибавления к каждому числу, то есть значение выражения:
Раскроем скобки и сгруппируем отдельно квадраты и учетверенные попарные произведения:
Сумма квадратов взаимноуничтожится, а сумму чисел мы знаем. Подставляем в полученное выражение:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Для каждого натурального числа положим
Вычислите сумму
Подсказка 1
Когда у нас есть такая вот телескопическая сумма, то что мы обычно любим делать? Либо преобразовывать каждый элемент, либо брать их по группам и говорить, что в каждой группе сумма хорошая. Но обычно группы из двух чисел. Какие тогда два числа мы обычно берем из таких сумм?
Подсказка 2
Сумма первого и последнего равна (-1)^n. А может быть, так работает и для суммы k-ого с начала и k-ого с конца? Проверьте это и запишите ответ.
Заметим, что для
Тогда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Из множества состоящего из семи подряд идущих натуральных чисел, выбираются шестёрки попарно различных чисел такие, что сумма чисел в каждой из шестёрок — простое число. Пусть и — две из таких сумм. Найдите множество , если
Подсказка 1
Давайте скажем, что первое число - это а и поймем, чему равна сумма во всех шестерках и какие из них могут быть простыми, а какие нет.
Подсказка 2
Тогда у нас получаются суммы шестерок - это числа от 6a + 15, до 6a + 21. Из за делимости на 2 или 3, подходят только числа 6a + 19 и 6a + 17. А это значит, что это ровно наши числа p и q. Остается решить квадратное уравнение на а и найти ответ(подставить значения p и q в равенство).
Пусть — наименьшее натуральное число из Тогда
Сумма всех чисел равна
Переберем сумму шестёрок чисел:
Тогда, По условию задачи или то же самое, что и
Следовательно, может быть только множеством
Проверка: — простое, — простое.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть длины сторон треугольника являются натуральными числами , и одна из его высот равна сумме двух других. Доказать, что число является точным квадратом (натурального числа).
Источники:
Подсказка 1
Нам нужно как-то записать условие на то, что одна высота равна сумме двух других. Через что тогда можно выразить высоту, чтобы равенство не хотелось сразу стереть из-за его громоздкого вида?
Подсказка 2
Верно, через площадь треугольника и сторону. Тогда наше равенство будет выглядеть как 2S/a = 2S/b + 2S/c => 1/a = 1/b + 1/c => bc = ab + ac. Если мы хотим сказать, что сумма квадратов сторон равна точному квадрату, то давайте подумаем какому конкретно квадрату это может быть равно(квадрат, который выражен через a,b,c).
Подсказка 3
Действительно, подходит квадрат (b + c - a)^2, ведь раскрывая скобки, мы получим, что a^2 + b^2 + c^2 + 2bc - 2ab - 2ac = a^2 + b^2 + c^2, так как bc = ab + ac. Что и требовалось доказать.
Пусть — площадь треугольника, а — высоты к сторонам соответственно.
Из формулы площади треугольника имеем, что
Без ограничения общности будем считать, что . Тогда
Откуда . Но тогда и можно сказать, что
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Неотрицательные числа таковы, что их сумма равна сумме их квадратов. Докажите, что сумма кубов этих чисел не больше суммы их четвёртых степеней.
Введём обозначения:
Нам дано, что и нужно доказать, что т. е. что
Выделим в этой разности слагаемые, относящиеся к переменным с одинаковыми индексами: и преобразуем полученное выражение: Утверждение задачи теперь следует из того, что каждый множитель в этом произведении неотрицательный.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны пятьдесят различных натуральных чисел, двадцать пять из которых не превосходят а остальные больше но не превосходят При этом никакие два из них не отличаются ровно на Найдите сумму этих чисел.
Вычтем из каждого числа, которое больше Получатся разных чисел, то есть числа от до Их сумма равна а сумма исходных чисел —
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Каждое из положительных чисел равно сумме квадратов остальных чисел. Найдите все эти числа.
Пусть наши числа равны Рассмотрим разность двух соседних выражений из условия, то есть Тогда почти все квадраты сократятся, кроме и И того получим после разложения на скобки но числа у нас положительные, поэтому Аналогично проводя преобразования получим, что все равны между собой. Ответ получить уже несложно.
Все числа равны
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Разность квадратов двух чисел равна 6, а если уменьшить каждое из этих чисел на 2, то разность их квадратов станет равна 18. Чему равна сумма этих чисел?
Подсказка 1
Давайте для начала переведём задачу на математический язык. Как это будет выглядеть? Не забывайте, что условия должны выполняться одновременно.
Подсказка 2
Верно, запишем это как систему x² - y²=6 и (x - 2)² - (y-2)² = 18. Давайте теперь раскроем скобки и приведём подобные слагаемые. Нет ли у нас похожих слагаемых у двух уравнений? Что можно естественным образом сделать?
Подсказка 3
Да, видим, что и там, и там есть x²-y². Значит, мы можем заменить во втором уравнение это выражение на 6 и преобразовать. Получим, что x-y = -3. А нам нужна сумма. Не можем ли мы теперь из первого уравнения всё найти?
Подсказка 4
Верно, первое уравнение можно разложить на скобки по формуле. Одну из скобок мы знаем и отсюда легко находим искомую сумму. Победа!
Пусть наши числа — и Из условия следует система:
Преобразуем второе уравнение системы — раскроем скобки по формуле сокращенного умножения:
Раскроем скобки в этом равенстве и приведем подобные слагаемые в левой части:
Из первого уравнения системы Подставляя это значение в полученное равенство, имеем:
Перенесем в правую часть и разделим равенство на :
Вернемся теперь к первому уравнению системы, в нем левую часть разложим по формуле сокращенного умножения:
Теперь, подставим в это равенство тогда получаем:
Разделив уравнение на получаем нужное значение суммы
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Натуральные числа таковы, что Докажите, что — точный квадрат.
Подсказка 1
Первое, что хочется сделать - раскрыть скобки и привести подобные) На что похоже данное выражение?
Раскроем полные квадраты и приведём подобные:
Заметим, что в правой части выражение, очень похожее на чтобы получить этот квадрат, надо добавить записать как Тогда равенство превратится в Значит, — точный квадрат. Но тогда и — точный квадрат, потому что — квадрат. Получили требуемое.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Число представимо в виде суммы квадратов трёх натуральных чисел, делящихся на Докажите, что оно представимо в виде суммы квадратов трёх натуральных чисел, не делящихся на
Пусть представимо в виде суммы квадратов чисел и то есть Попробуем в явном виде получить нужное нам представление.
Заметим, что Как придумать такое представление? После недолгих попыток станет ясно, что в виде суммы квадратов двух слагаемых представить не получится, значит надо представлять в виде суммы квадратов трёх слагаемых. Далее удобно разбить на (с другими аналогично) и распихать их по квадратам, при этом подобрав знаки так, чтобы попарные произведения при раскрытии квадратов посокращались.
Далее необходимо перебрать все варианты остатков и при делении на Если все они делятся на то кратно противоречие. Все остальные варианты легко перебираются вручную.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Для различных ненулевых вещественных чисел выполнено
Докажите, что
Имеет место равенство
следовательно,
Наконец, сократив обе части равенства на получим откуда явно следует требуемое.