Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите систему
Обозначим . Тогда
Выразив и подставив во второе уравнение, получим
Причем не подходит, так как . Итого, . Делая обратную замену, получаем
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите систему
Источники:
Подсказка 1
Кажется, от дробей здесь нет пользы, они только пугают. Может, избавится от них? Только не забудьте про ОДЗ!
Подсказка 2
Получается как-то очень много одинаковых логарифмов. Когда много одинакового, то на помощь приходит замена.
Подсказка 3
Система из трёх не очень страшных уравнений, можно и подстановкой попробовать решить. Но не забывайте проверять решения на ОДЗ!
Запишем ОДЗ:
Преобразуем систему к виду
Сделаем замену: После преобразований получаем систему
Из первого уравнения системы выразим
Из третьего уравнения выразим
Подставим во второе уравнение системы, получим после преобразований уравнение
При получаем но соответствующие значения не удовлетворяют ОДЗ. При получаем следовательно,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите систему уравнений
Источники:
Подсказка 1
Надо понять, какие есть возможности выполнения 1-го уравнения. Имеется одинаковая скобка справа и слева, на неё можно сократить (не забывая про модуль), когда она не равна нулю. Следовательно, можно отдельно рассмотреть случаи равенства и неравенства нулю этой скобки, также не забывая про ОДЗ.
Подсказка 2
Когда ни одна из скобок первого уравнения не равна нулю, учесть модули можно довольно просто — их наличие равносильно тому, что произведение всех скобок без модулей положительно (поскольку, если оставить все модули в одной стороне, а скобки без модулей перенести в другую, то дробь без модулей обязана быть положительной). Далее уже сложностей не остается — нужно лишь аккуратно поделить всё на случаи и довести их до конца, учитывая ОДЗ.
Из второго уравнения следует, что , так как корень неотрицателен.
Пусть первое уравнение выполняется из-за того, что . Условие равносильно . Решение не подходит, а при получаем:
Пусть теперь , но , и . Тогда , но такой вариант не подходит под второе уравнение.
При остальных система равносильна системе:
При решением будет , при получим уравнение:
Откуда , тогда . Последняя пара не удовлетворяет условию .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Каким наибольшим может быть значение выражения , если и – числа, удовлетворяющие следующей системе неравенств
Подсказка 1
Давайте для начала поймём, что нам неудобно работать с величинами A и B. Так как нам нужно максимизировать не их, а их сумму (это не всегда одно и то же, если мы максимизируем каждое по отдельности, у нас может получиться оценка, которая не достигается), то давайте обозначим за S = A + B сумму этих чисел и заменим везде в неравенствах, чтобы в них фигурировало только S и A (система с тремя переменная - это совсем грустно). Тогда чтобы решить задачу, нам остаётся дать оценку на A снизу через S, так как тогда два вторых получившихся неравенства дадут нам выбор из минимумов
Подсказка 2
Подставляя оценку A >= (5S - 11) / 2. в два оставшихся неравенства, у нас получается оценка на S сверху. Значит, остаётся выбрать то, что даёт минимальную. И всё?
Подсказка 3
Конечно, нет. Нам нужно привести пример. Однако здесь, чтобы привести пример, достаточно просто «развернуть» наши действия, посмотреть в какой точке достигается равенство и так найти, чему должно быть равно А.
Обозначим за , тогда систему можно переписать в виде:
Представим первое неравенство, как тогда получаем
Откуда получаем оценку
При этом равенство достигается в точке области
(являющейся точкой пересечения прямых ).
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите систему уравнений
Подсказка 1
Первое уравнение выглядит не очень приятным, так что попробуем разобраться со вторым уравнением. Тут у нас ограниченный корень и сумма модулей. Чем можно воспользоваться?
Подсказка 2
Правильно, оценкой. Аккуратно оценим обе части уравнения и подумаем при каких условиях достигается равенство.
Подсказка 3
Отлично, у нас получилась единственная пара (y,z), которую можно подставить в первое уравнение и найти x.
Подсказка 4
Чтобы не возводить в много раз в квадрат уравнение, сделаем замену корней на a и b. Тогда можно записать систему и найти x.
Рассмотрим второе уравнение системы. Правая часть не больше 13, так как
Попробуем оценить левую часть второго уравнения. Рассмотрим которое не меньше так как где В итоге имеем
Прибавим к последнему неравенству тогда получим
Из последнего выражения делаем вывод, что левая часть второго уравнения системы не меньше В итоге, получили, что левая часть не меньше а правая часть не больше Следовательно, чтобы достигалось равенство необходимо, чтобы Подставим полученные значения и в первое уравнения системы для нахождения
Сделаем замену
Заметим, что Запишем систему
Рассмотрим, когда числитель становится равным 0
Из последнего уравнения получаем совокупность решений
С учетом ограничений получаем следующие
Тогда сделаем обратную замену
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Про действительные числа известно, что
Найдите все значения, чему может быть равно .
Подсказка 1
Давайте посмотрим на нашу систему и попробуем найти какие-то паттерны. Заметим, что и сверху, и снизу у нас коэффициент перед членами с a и b, равен 3(или 9, когда возвели в квадрат). Да и свободный коэффициент один и тот же. Что же тогда надо сделать?
Подсказка 2
Надо вычесть второе из первого. После чего, слева мы получим c(a - 3b), а справа (3b - a)(3b + a). Значит, разложили на скобочки. Значит, либо c = 3b - a, либо а = 3b. То есть, мы выразили одну переменную через другие. Что мы обычно делаем в таком случае?
Подсказка 3
Верно, мы подставляем наше выражение вместо этой переменной и решаем уже полученную систему. Остается сделать это, понять, какой случай возможен, какой нет, и чему равно искомое ab.
Вычтем из первого уравнения второе.
В первом случае подставляем в систему и получаем
что невозможно.
Во втором случае подставляем в систему и получаем
или же
Если то — не подходит под первое уравнение системы.
Рассмотрим любое Тогда и , то есть любая тройка вида является решением системы. Искомое выражение может принимать любое положительное значение.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите систему уравнений
Запишем ОДЗ:
Запишем уравнения в системе в один логарифм:
Подставляя в и получаем:
Поделим первое уравнение на второе и получим:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите систему уравнений
Домножим второе уравнение на и сложим с первым, тогда получим:
Тогда из последнего уравнения следует, что Проверяем полученный ответ:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Действительные числа и таковы, что
Какое наибольшее значение может принимать произведение
Источники:
Подсказка 1
Давайте запишем наше условие как системку, что два левых выражения равны 23. Понятно, что x, y не нули. Поэтому что можно сделать в системе, чтобы получить где-то xy?
Подсказка 2
Домножить одно из уравнений на x, а другое на y! И выйдет что-то вида xy+3 = 23x, xy+5 = 23y. А что стоит сделать теперь, чтобы вообще все было только через xy?
Подсказка 3
Перемножить два этих уравнения) Дальше делаем замену и решаем задачу окончательно!
При условии того, что обе переменные не равны нулю, имеем:
Значит:
Пусть
Тогда получим:
Докажем, что наибольший корень реализуется. Действительно, из обоих уравнений получаем подставляя Они подходят, так как наши преобразования были равносильны с учетом того, что
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти все решения системы уравнений в действительных числах:
Источники:
Подсказка 1
Давайте внимательно посмотрим на нашу систему, что можно сказать о ней? Верно, уравнения в ней циклические! Поэтому можно упорядочить наши переменные, не умаляя общности: x ≥ y ≥ z.
Подсказка 2
Вычтем из первого уравнения третье: x⁵-z⁵ = y³+2z-x³-2y. Заметим, что левая часть уравнения всегда неотрицательна, а правая не больше нуля! Какой вывод можно сделать из этого?
Первое решение.
Если тройка является решением, то решениями являются . В силу этой цикличности системы мы можем не умаляя общности считать
Вычтем из первого уравнения третье и получим
Из следует а из следует
Таким образом, равенство выше может выполняться только в случае одновременно обращения трёх неравенств в равенства:
При подстановке в любое из уравнений системы получаем
Второе решение.
Заметим, что в любой тройке, являющейся решением, все переменные одного знака: они либо все неотрицательны, либо все неположительны. Это следует из того, что нечётная степень числа имеет тот же знак, что и само число. Действительно, среди переменных две имеют одинаковый знак, тогда правая часть уравнения, содержащего эти переменные, имеет тот же знак, значит и левая часть, а с ней и третья переменная имеют тот же знак. Кроме того, если одна из переменных равна то левая часть соответствующего уравнения равна значит сумма двух чисел одного знака в правой части тоже равна поэтому каждое из этих чисел равно
Внесём эту тройку в ответ. Тогда дальше можно считать, что все переменные не равны При умножении решения системы на снова получаем решение, следовательно, дальше можно считать, что а потом внести в ответ тройку с противоположными знаками.
Сложим все три уравнения и перенесем правую часть в левую:
Теперь рассмотрим функцию Нетрудно понять, что при значении функции отрицательно, а при положительно, а также при оно равно Отсюда следует, что все переменные не могут быть одновременно больше или одновременно меньше Так как иначе ведь в левой части стоит сумма трёх чисел одного знака, поэтому они все должны равняться откуда следует, что при этом
Итак, остались два случая, и
Если тогда — это не решение.
Если — это тоже не решение.
Таким образом доказано, что других решений, кроме уже найденных, нет.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Некоторые числа и удовлетворяют равенствам
Найдите все возможные значения произведения
Источники:
Подсказка 1
Сразу видно, что логарифмы связаны между собой, что можно сделать для дальнейшего удобства?
Подсказка 2
Сделать замены! Введем 2 переменные (для каждого из равенств) и запишем условие с учётом замены. Получится 2 уравнения 4 степени, от которых можно равносильно перейти к уравнениям 5ой степени. Корни совсем неочевидны, да и, казалось, нам необязательно искать их точно - достаточно найти какую-то связь между переменными, чтобы ответить на вопрос задачи) Что нам помогает при исследовании корней уравнения больших степеней?
Подсказка 3
Производная! С помощью неё можно, к примеру, что-то узнать про количество корней уравнения. Помним, что уравнение нечетной степени имеет не менее одного корня. Что тогда можно сказать про корни уравнений?
Подсказка 4
Производные положительны, уравнение нечетной степени, значит уравнения имеют ровно по одному корню! Замечаем связь между коэффициентами уравнений. Что тогда можно сказать про корни?
Подсказка 5
Корни противоположны! Остаётся лишь сделать обратную замену, из которой xy находится несложно!
Обозначим , Так как
то исходные уравнения можно записать в виде
|
Рассмотрим первое уравнение системы. Возьмём производную от левой части, получим
Т.е. в левой части стоит возрастающая функция, а в правой части число, поэтому уравнение имеет не более одного решения. С другой стороны, любой многочлен нечётной степени имеет по крайней мере один действительный корень. Отсюда следует, что уравнение имеет ровно одно решение.
Аналогично рассмотрим второе уравнение:
Значит, аналогично с первым уравнением, второе уравнение имеет ровно одно решение. Если во втором уравнении сделать замену то оно принимает вид
Это эквивалентно первому уравнению. Это означает, что корни уравнений противоположны, следовательно, их сумма равна нулю. Тогда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите систему уравнений:
Давайте вспомним, что для любого числа верно: Тогда сложим все эти три уравнения, применив это тождество, и получим:
Теперь вычтем из полученного уравнения каждое уравнение системы:
Теперь воспользуемся следствием из тождества:
Так как дробная часть любого числа лежит в полуинтервале то получим следующие неравенства:
Тогда получим, что Откуда получим, что Тогда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите систему уравнений
Разложим каждое уравнение в произведение скобок
Решение последней системы:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при которых имеет единственное решение система
Если система имеет решение то решением также является пара Единственное решение может иметь вид только тогда проверим, когда подходит:
Теперь нужно выяснить, при каких из этих значениях пара со значением будет единственным решением исходной системы.
При получим , тогда во второе подойдёт , то есть не подходит.
Если же , то из первого , где равенство достигается только при . Осталось заметить, что из второго уравнения , потому подойдёт только и .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите систему уравнений
Источники:
Подсказка 1
Сразу понимаем, что, скорее всего, эта система "нормально" не решается. У нас два уравнения с кучей неизвестных. Но одно из решений мы сразу угадываем — это один из x равен 3, а остальные 0. Давайте поделим обе части первого уравнения на 3¹⁰. Как тогда можно оценить каждое из слагаемых?
Подсказка 2
Ага, тогда понятно, что каждое из слагаемых не превосходит единицы, так как степень у них чётная. Значит, для любого 1≤k≤92 получаем, что |x_k/3|≤1. Не забываем про модуль, так как извлекаем корень из чётной степени. Но раз у нас число меньше 1 то, что можно сказать о нём при возведении в степень?
Подсказка 3
Верно, тогда это число в 33 степени меньше, чем в 10. Теперь, учитывая это, попробуйте записать неравенство для второго и первого уравнения, используя неравенство с модулем. Выходит, что возможен только случай равенства |x_k/3|³³ = |x_k/3|¹⁰ для данных k.
Заметим, что
Тогда для каждого имеем откуда
Окончательно получим
Значит, для каждого выполнено
откуда
Отсюда несложно получаем, что тогда один из равен а все остальные равны
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите систему уравнений
Несмотря на то, что при виде условия хочется плакать, можно домножить первое уравнение на , второе на и сложить все три уравнения, чтобы избавиться от и выделить
В первом случае получаем систему
В зависимости от знака оно принимает значения , откуда и получаем второе уравнение. Рассмотрим оба случая
- . Но тогда левая часть неотрицательная, а правая — отрицательна, решений нет.
- . Получаем решение , далее сократим на скобку , получим . Заметим, что в левой части монотонная функция, поэтому решений не более одного. Нетрудно угадать, что подойдёт только .
Итак, , при этом (нам подошёл второй случай), откуда .
Вернёмся к случаю . Отсюда получаем
Из первого уравнения , подставляем
- , в этом случае решений нет.
- , здесь . Отсюда сразу же находим . Наконец, найдём .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите систему уравнений
Возводя второе уравнение в квадрат, получим
Если , то второе уравнение верно, а в первом получаем
Иначе . На ОДЗ , второе уравнение выполнено, поэтому подставим это в первое
Поскольку , то , поэтому остаётся только одно решение
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите систему уравнений
Вычтем из второго уравнения удвоенное первое:
Если подставить в первое уравнение, увидим, — любое, так как
Если подставить получим
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти если
Перепишем систему в виде и воспользуемся методом неопределенных коэффициентов:
Запишем систему равенств для коэффициентов:
Следовательно,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите для всех натуральных положительные решения системы
Подсказка 1
Слишком много переменных, и еще они умножаются на коэффициенты какие-то. Попробуем вместо переменных x_i ввести y_i таким образом, чтобы нам стало приятнее жить. И для y_i уже можно что-то заметить.
Подсказка 2
Думаю, Вы догадались, что замена нужна такая: i*x_i = y_i. Тогда обращаем внимания, что во втором уравнении слагаемые - обратные величины к слагаемым первого. Что мы знаем про сумму положительного числа и его обратной величины?
Подсказка 3
Как с помощью этого неравенства мы можем отбросить из рассмотрения много случаев?
Подсказка 4
На этом этапе вам остается рассмотреть отдельно n = 2 и n = 3 и решить задачу для них. Здесь уже нет ничего сложного!!
Обозначим и сложим уравнения системы:
Для положительных чисел справедливо неравенство об обратных: Поэтому левая часть не меньше отсюда При каждое из слагаемых равно отсюда и При получается система:
Решая последнее уравнение, получаем, что
При других решений не существует