Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите неравенство
Докажем, что для всех верно неравенство
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Для этого достаточно показать, что Действительно, пусть , тогда , следовательно, выпукла вверх на отрезке Кроме этого и , а значит, для всех , а значит, для всех , откуда получаем требуемое.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Так как и то применяем доказанное неравенство:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все пары чисел , удовлетворяющие уравнению
Первое решение.
По формулам суммы косинусов и синусов уравнение равносильно
По формуле синуса двойного угла это превращается в
Так как и то левая часть уравнения не превосходит 1. А равенство достигается лишь в случае
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второе решение.
Раскроем скобки в левой части:
Применим неравенство Коши-Буняковского-Шварца для векторов из чисел:
Получим:
Но левая часть неравенства равна по условию. Значит, в неравенстве КБШ левая и правая части равны для удовлетворяющих условию задачи.
Как известно, равенство в КБШ достигается, когда векторы коллинеарны, то есть для некоторого
Последовательно подставляя, уравнения системы получим:
Откуда либо , тогда что противоречит основному тригонометрическому тождеству
Либо , то есть .
В случае получится система:
Подставим во второе уравнение системы и в четвёртое
Нетрудно проверить, что в таком случае
что не подходит под условие задачи.
В случае получится система:
Которая имеет решения
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны ненулевые числа такие, что и Докажите неравенство
Приведем все дроби к общему знаменателю:
Преобразуем полученное неравенство
и снова приведем пары слагаемых к общему знаменателю:
Далее имеем
где первое неравенство следует из дробного КБШ, а второе — из неравенства
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны положительные числа Докажите, что
Поскольку неравенство циклическое, не умаляя общности, пусть — второе по величине число. Тогда то есть Используя это неравенство, получаем
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вещественные числа удовлетворяют равенствам . Докажите, что
Заметим, что
Сделаем замену Тогда
а нам требуется доказать неравенства
Первое неравенство верно, поскольку
Второе неравенство верно, поскольку
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Положительные числа образуют арифметическую прогрессию (именно в таком порядке). Докажите неравенство
Можно считать, что разность прогрессии равна (иначе все числа можно домножить на одну и ту же константу). Тогда для каждого имеем Кроме того Складывая все полученные неравенства, получаем
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Для трех положительных чисел выполнено равенство Докажите неравенство
Исходное условие равносильно тому, что Возведя неравенство в квадрат, и сократив сумму квадратов, получим
Осталось лишь заметить, что
так как после возведения в квадрат получится неравенство
которое очевидно верно. Сложив три аналогичных неравенства, получим требуемое.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Положительные числа и удовлетворяют условиям Докажите, что
Понятно, что и Заметим, что
Тогда С другой стороны функция является сторого возрастающей на промежутке откуда получаем
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Для положительных докажите неравенство
По неравенству между средним арифметическим и средним квадратическим имеем Аналогчино оценив все дроби, получим
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Положительные числа таковы, что и Докажите, что
Докажем, что
откуда будет следовать неравенство из условия. Заметим, что
Сложив 4 аналогичных неравенства со сдвинутыми по циклу переменными, получим требумое.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Произведение действительных чисел и равно Докажите неравенство
Сделаем замену. Пусть Тогда
То есть нам известно, что Надо доказать неравенство Заметим, что
где последнее неравенство, в итоге, собирается в полный квадрат.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Сумма положительных чисел равна Докажите, что
Заметим, что Поэтому достаточно доказать, что
Применив неравенство о средних к знаменателям, а далее к числам вида и , получим
Осталось заметить, что
откуда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите, что для любых различных положительных чисел из отрезков с длинами
можно составить треугольник.
Не умаляя общности, пусть — наибольшее число, а — наименьшее число. Тогда понятно, что из трех выражений — наибольшее. То есть достаточно доказать неравенство
Заметим, что
Чтобы из последних выражений получить исходные, достаточно умножить подкоренные выражения на Поскольку среди чисел и получаем, что подкоренное выражение справа увеличилось в наименьшее число раз, а значит, исходное неравенство доказано.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Положительные числа удовлетворяют условию Докажите, что
Применяя неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим для четырех чисел, получаем откуда Преобразовав исследуемое выражение, получим
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите, что для любых положительных чисел и выполнено неравенство
Пусть Тогда достаточно доказать неравенство
Домножив на знаменатели, получаем
Пусть Тогда
Осталось доказать, что Перенеся все на одну сторону и сократив на получим что и требовалось.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Для положительных докажите неравенство
После раскртия скобок слева и сокращения нам останется доказать, что
Пусть Тогда последнее неравенство переписывается в виде что очевидно верно.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Положительные числа таковы, что Докажите, что
Заметим, что по неравенству о средних
Оценив по такому принципу каждую из трех дробей, получаем требуемое неравенство.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны числа такие, что
Докажите, что
Источники:
Подсказка 1
Тригонометрия, логарифм и показательная функция в одном месте — вряд ли мы здесь обойдёмся банальными преобразованиями. Видно только, что первое выражение, равное 16, — сумма трёх квадратов каких-то величин, а во втором выражении стоят похожие величины, но без квадратов. Какие есть неравенства, связывающие такие суммы?
Подсказка 2
Неравенство Коваля-Белова-Шурыгина! Ой, то есть Коши-Буняковского-Шварца) Ну то самое про квадрат суммы и сумму квадратов. Говоря по простому, это факт, что скалярное произведение не больше произведения длин (это же и так понятно, да?..) Давайте соорудим векторы с нужными координатами!
Подсказка 3
Компоненты первого вектора — величины, сумма квадратов которых равна 16. А второй вектор нужно подобрать так, чтобы их скалярное произведение выглядело как то выражение, которое не должно превосходить 28. Пробуйте!
Используем неравенство КБШ в векторном виде. Рассмотрим векторы и Скалярное произведение
Имеем
Тогда получаем, что
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Произведение чисел не меньших составляет Найдите наибольшее значение выражения
Источники:
Подсказка 1
При виде выражение в виде суммы логарифмов, да и ещё с такими основаниями, сразу хочется его видоизменить. Обычно всегда на помощь приходит замена, но пока неясно, что стоит обозначить за новые переменные. Вспомните формулу перехода и свойства логарифмов и попробуйте перейти к другим основаниям!
Подсказка 2
То, что произведение a, b, c, d — это степень двойки, и то, что каждая из переменных не меньше 2, намекает, что хотелось бы использовать 2 в искомом выражении. Поэтому попробуйте сделать замену вида х = log₂a, ...
Подсказка 3
Полученное выражение — сумма дробей — уже лучше логарифмов. Но как же теперь её оценить? Обратите внимание, что изначальное условие на произведение переменных превратилось в условие на сумму переменных из замены. Какой метод в неравенствах есть, когда фиксирована сумма переменных?
Подсказка 4
Метод Штурма! Часто смотрят на то, когда выражение больше: когда переменные равны или когда одна переменная принимает максимально возможное значение, а другая минимальное. Попробуйте это выяснить на примере двух переменных.
После замены
условие, что исходные числа не меньше превращается в
а условие на произведение превращается в
Искомое выражение по формуле перехода и свойствам логарифмов равно
Воспользуемся методом Штурма. Пусть имеется какое-то значение искомого выражения при удовлетворяющих условиям выше (не умаляя общности, переменные можно переименовать для упорядочивания). Заменим два числа на числа с такой же суммой и не меньшей разностью Тогда в искомом выражении сумма дробей
не изменится, а сумма дробей
и аналогичная ей (с точностью до перестановки ) сумма дробей
не уменьшатся, так как после приведения к общему знаменателю у получившейся дроби числитель увеличивается при увеличении а знаменатель уменьшается при увеличении
Такими преобразованиями можно превратить три наименьших числа из в единицу, а наибольшее — в при этом наше выражение будет увеличиваться (точнее, заведомо не уменьшаться). Итак, максимальное значение выражения равно
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Для положительных чисел докажите неравенство
Каждая из частей неравенства положительна. В силу монотонности функции исходное неравенство эквивалентно
_____________________________________________________________________________________
Лемма. Предположим, что имеется набор функций определенных на отрезке Тогда верно неравенство
Доказательство. Пусть для всех минимум функции достигается в точке Пусть минимум функции достигается в точке Тогда из следует
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Рассмотрим функцию при некоторых положительных и Её производная строго возрастает и обращается в ноль в точке Следовательно, Поскольку
то согласно лемме верно, что