Задача №85988: Правильная замена и преобразование выражений — Каталог задач по Олимпиадной математике — Школково

Тема . Классические неравенства

Правильная замена и преобразование выражений

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела классические неравенства

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#85988

Сумма положительных чисел $a,b,c$ равна $3.$ Докажите, что

-a2-- -b2-- --c2-- 3 a+ b2 + b+c2 + c+ a2 ≥ 2

Показать доказательство

Заметим, что $-a2--= a− -ab2-. a+ b2 a+ b2$ Поэтому достаточно доказать, что

ab2 bc2 ca2 3 a+-b2-+ b+c2 + c+-a2 ≤ 2

Применив неравенство о средних к знаменателям, а далее к числам вида $√- a$ и $√-- ab$ , получим

2 2 2 2 2 2 √- √- √- aa+bb2 + bbc+c2-+cc+aa2 ≤ 2abb√a +-bc√ +2caa√c = 12(b a +c b+ a c)≤ 2c b

≤ 1(ab +bc+ ac+ a+ b+ c) 4

Осталось заметить, что

2 2 2 2 9= (a+b+ c) =a + b +c + 2(ab+ bc+ca)≥ 3(ab+bc+ ca)

откуда

1(ab+bc+ ac+a +b+ c)≤ 1(3+ 3)= 3 4 4 2

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse