Задача №82698: Телескопические ряды: группировка и свёртка слагаемых/множителей — Каталог задач по Олимпиадной математике — Школково

Тема . Тождественные преобразования

Телескопические ряды: группировка и свёртка слагаемых/множителей

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела тождественные преобразования

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#82698

Упростите выражение (в ответе не должно быть многоточия и знаков суммирования):

( 2)( 3 6) ( 9 18) ( 3n 2⋅3n) 1 +3+ 3 ⋅1+ 3 + 3 ⋅ 1+ 3 +3 ⋅...⋅1 +3 + 3

Показать ответ и решение

Вспомним формулу сокращенного умножения:

3 3 2 2 a − b = (a − b)(a + ab+b )

Умножим и разделим наше выражение на $2= (3− 1)$

2 3 6 9 18 3n 2⋅3n 3−-1 2 3 6 3n 2⋅3n (1+3 +3 )(1+ 3 + 3)(1 +3 + 3 )...(1+ 3 + 3 )= 2 (1+ 3+ 3)(1+3 + 3 )...(1+ 3 + 3 )

По формуле, приведённой выше, имеем

3− 1 n n 1 n n -2--(1 +3+ 32)(1+ 33+36)...(1+33 + 32⋅3 )= 2(33− 1)(1+ 33 +36)...(1+33 + 32⋅3 )

Заметим, что каждую следующую тоже можно будет свернуть. Например, после второго применения формулы получится

1 (33− 1)(1+ 33 +36)...(1 +33n + 32⋅3n)= 1(39− 1)(1+ 39 +318)...(1+ 33n +32⋅3n) 2 2

Аналогичным образом свернем все скобки и получим

(1+ 3+ 32)(1+33+ 36)(1+ 39 +318)...(1+ 33n +32⋅3n)= 1(33n+1 − 1) 2

Ответ:

$1 (33n+1 − 1) 2$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse