Буквенные тригонометрические выражения —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Буквенные тригонометрические выражения

Тема 7. Преобразование числовых и буквенных выражений

7.10 Буквенные тригонометрические выражения

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела преобразование числовых и буквенных выражений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#17236

Найдите $cosα,$ если известно, что $3√11- sinα = 10 ,$ $( π) α∈ 0;2 .$

Показать ответ и решение

Если $( π) α∈ 0;2 ,$ то $cosα > 0$ и по основному тригонометрическому тождеству имеем:

∘-------- ∘ ----99-- cosα = 1 − sin2α= 1− 100 = 0,1

Ответ: 0,1

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#2549

Найдите значение выражения $sinα,$ если $√19 cosα = -10 ,$ $( π) α∈ 0;2- .$

Показать ответ и решение

По основному тригонометрическому тождеству имеем:

∘------- sin α= ± 1 − 19-= ±-9 100 10

Так как угол $α$ принадлежит первой четверти, то его синус положителен и $sin α= 0,9.$

Ответ: 0,9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#1951

Найдите значение выражения $cos2α,$ если $sinα = −0,6.$

Показать ответ и решение

По формуле косинуса двойного угла имеем:

2 cos2α= 1− 2sin α= = 1 − 2 ⋅(−0,6)2 = 1− 2⋅0,36= 0,28

Ответ: 0,28

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#1535

Найдите $|3 cosα |$ , если $sin α = 0$ .

Показать ответ и решение

Согласно основному тригонометрическому тождеству $sin2 α + cos2α = 1$ , откуда при $sin α = 0$ получаем:

0 + cos2α = 1,

то есть $cos2α = 1$ , откуда $cos α = ±1$ , следовательно, $3 cosα = ±3$ , тогда $|3 cosα | = | ± 3| = 3$ .

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#1534

Найдите $2sinα$ , если $cos α = − 1$ .

Показать ответ и решение

Согласно основному тригонометрическому тождеству $sin2 α + cos2α = 1$ , откуда при $cos α = − 1$ получаем:

sin2 α + 1 = 1,

то есть $sin2 α = 0$ , откуда $sinα = 0$ , следовательно, $2sinα = 0$ .

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#1533

Найдите значение выражения $sin2α+ 2cosα+ cos2α,$ если $cosα =0,18.$

Показать ответ и решение

По основному тригонометрическому тождеству имеем:

2 2 sin α +2 cosα +cos α = = (sin2α+ cos2α )+2 cosα = 1+ 2cosα

Тогда при $cosα= 0,18$ исходное выражение равно

1+ 2⋅0,18 = 1,36

Ответ: 1,36

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#45218

Найдите $tgα,$ если $sinα = −√5--, 26$ $( ) α∈ π; 3π . 2$

Показать ответ и решение

Найдем $cosα$ по основному тригонометрическому тождеству, учитывая, что он отрицательный, так как $α$ лежит в III четверти:

∘ -----2-- ∘ ---25- 1 cosα = − 1− sin α = − 1− 26 = −√26-

Тогда имеем:

sinα- −-√526 tgα = cosα = − √126 = 5

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#37904

Найдите значение выражения $46cos2α,$ если $cosα = 0,1.$

Показать ответ и решение

По формуле косинуса двойного угла имеем:

46⋅(2 cos2α − 1)= 46(2⋅0,01− 1)= = 46⋅(0,02− 1)= 0,92 − 46 = −45,08

Ответ: -45,08

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#22837

Найдите значение выражения $28cos2α,$ если $cosα = −0,7.$

Показать ответ и решение

По формуле косинуса двойного угла имеем:

2 2 2 28 cos2α = 28(cosα − sin α)= 28(2cos α − 1) =

= 28(0,98− 1)= −0,56

Ответ: -0,56

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#18119

Найдите значение выражения $cosα,$ если $√-- tgα= − -91- 3$ и $α∈ (π;π) . 2$

Показать ответ и решение

По формуле тангенса и по основному тригонометрическому тождеству имеем:

√91 tgα= − -3-- √-- sinα-= − -91- cosα 3 sin2α-= 91 cos2α 9 9sin2α = 91cos2α 9 − 9cos2α =91cos2α 2 100cos α = 9 cos2α= -9- 100

Поскольку $( ) α ∈ π;π , 2$ то $cosα< 0$ и при извлечении корня получим $cosα = −0,3.$

Ответ: -0,3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#16706

Найдите значение выражения $( 3π- ) 5sin(α − 7π) − 11cos 2 + α ,$ если $sin α= − 0,25.$

Показать ответ и решение

По формулам приведения имеем:

( 3π ) (π ) 5 sin(α − 7π)− 11 cos 2-+ α = 5sin(α+ π)+ 11cos 2-+ α = = − 5sinα − 11 sinα =− 16sinα = 4

Ответ: 4

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#16705

Найдите значение выражения $(3π ) 26cos 2 + α ,$ если $12 cosα= 13$ и $( 3π- ) α∈ 2 ;2π .$

Показать ответ и решение

По формулам приведения имеем:

( 3π ) (π ) 26cos 2-+ α = −26cos 2-+ α = 26sin α

Так как $sinα= − √1−-cos2α$ на указанном промежутке, то

26sin α= −26∘1-−-cos2α-= −26⋅ 5-= −10 13

Ответ: -10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#16704

Найдите значение выражения $3 cos(π− β)+ sin(π2 + β) ------cos(β+-3π)----- .$

Показать ответ и решение

По формулам приведения имеем:

3cos(π − β)+ sin (π+ β) −3cosβ+ cosβ −2cosβ -----cos(β-+-3π)2---- = --cos(β+-π)---= −-cosβ--= 2

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#15800

Найдите значение выражения $tgα,$ если $√5- cosα= − 5 ,$ $(π- ) α∈ 2;π .$

Показать ответ и решение

По условию угол $α$ лежит во второй четверти, значит, $sinα ≥ 0.$ По основному тригонометрическому тождеству имеем

sin2α= 1− cos2 α

Найдем $sinα$ из системы:

({ √ -------- sin α= ± 1− cos2α (sin α≥ 0 ∘ -------- ∘ ------ √ - sin α= 1− cos2α = 1− 5-= 2--5 25 5

Окончательно получаем

√- sinα 255 2 tg α= cosα = − √5-= −-1 = − 2 5

Ответ: -2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#2690

Найдите значение выражения $(1001π ) sin --2-- +α ,$ если $3√7 sinα = -8-,$ $α ∈ (0,5π;π).$

Показать ответ и решение

Используя формулы приведения, получаем

( ) ( ) sin 1001π +α = sin 500π + π+ α = 2 ( ) 2 = sin π+ α = cosα 2

Далее используем основное тригонометрическое тождество

sin2α+ cos2α= 1

Тогда имеем:

2 -1 cos α= 64 ⇔ cosα = ±0,125

С учётом условия $α ∈(0,5π;π)$ из двух возможных значений остаётся только $cosα= −0,125,$ так как во второй четверти косинус неположителен.

Ответ: -0,125

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#2167

Преобразуйте выражение

sin-3x-+-sin5x-+--sin-7x- cos3x + cos5x + cos7x

и найдите его значение при $x = π- 5$ .

Показать ответ и решение

Применим формулу суммы синусов для $sin 3x + sin7x$ и формулу суммы косинусов для $cos3x + cos 7x$ :

2 sin 5x cos2x + sin5x sin 5x(2cos 2x + 1) ---------------------- = ------------------- = tg5x, 2cos 5x cos2x + cos 5x cos 5x(2cos 2x + 1)

т.к. $2cos 2x + 1 ⁄= 0$ при $π- x = 5$ .

Таким образом, при $π x = -- 5$ значение данного выражения равно

( ) tg 5 ⋅ π = tgπ = 0. 5

Ответ: 0

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#1957

Найдите значение выражения $1-− cos2α 1 +cos2α,$ если $tgα= 5.$

Показать ответ и решение

По формулам косинуса двойного угла имеем:

2 1−-cos2α = 1−-(1-− 22sin-α)-= 1+ cos2α 1+ (2cos α− 1) 2sin2α sin2α- 2 2 = 2cos2α = cos2α = tg α = 5 = 25

Ответ: 25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#1956

Найдите значение выражения $1 + 2 sin α ⋅ cosα − cos 4α -------------------------- cos α ⋅ (1 + 4sinα ⋅ cos α)$ , если $sin α = 0,13$ .

Показать ответ и решение

2 1-+-2-sin-α-⋅ cosα-−-cos4α- 1-+-sin-2α-−-(1-−-2-sin--2α)- cosα ⋅ (1 + 4sin α ⋅ cosα) = cos α ⋅ (1 + 2sin2α ) = 2 2 = 1-+-sin2-α-−-1 +-2sin-2α- = --sin-2α-+-2-sin--2α--= cosα ⋅ (1 + 2 sin 2α) cos α ⋅ (1 + 2 sin 2α ) sin2α ⋅ (1 + 2 sin 2α ) sin 2α 2 sin α ⋅ cosα = ---------------------= ------= -------------= 2sinα = 2 ⋅ 0,13 = 0,26 cosα ⋅ (1 + 2sin 2α) cos α cosα

Ответ: 0,26

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#1955

Найдите значение выражения $1-− 8-sin√2α⋅cos2α, 3$ если $α = 7,5∘.$

Показать ответ и решение

Рассмотрим выражение:

1− 8sin2α ⋅cos2α= 1 − 2 ⋅4sin2α⋅cos2α= = 1− 2⋅(2sin α⋅cosα)2 = 1− 2sin22α =cos4α

Подставим в искомое выражение:

1-− 8sin√2α⋅cos2α= cos√4α-= 3 3 cos(4⋅7,5∘) cos30∘ = ---√3----= -√3---= √- -32- 1 = √3 = 2 =0,5

Ответ: 0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#1954

Найдите значение выражения $3ctg2α,$ если $-3-- sinα = −√ 10,$ $3π π < α < 2 .$

Показать ответ и решение

По формуле для котангенса и по формулам косинуса и синуса двойного угла имеем:

2 ctg 2α= cos2α = 1-− 2-⋅sin-α- sin2α 2⋅sinα ⋅cosα

Так как угол $α$ расположен в третьей четверти, то косинус этого угла отрицательный:

∘-------- ∘---(------)2 cosα= − 1 − sin2α= − 1 − −√3-- = 10 ∘ ----9- ∘ -1- 1 = − 1− 10 = − 10 =− √10-

После подстановки в исходное выражение получим

( 3-)2 3⋅-1−-2⋅sin2α-= 3 ⋅--1(−-2⋅)−-√(10---)-= 2⋅sin α⋅cosα 2⋅ − 3√-- ⋅ −√1- 10( ) 10 1−-1180 −-810- 8 = 3⋅ 610 = 3⋅ 610 = 3⋅ − 6 = −4

Ответ: -4

Предыдущий раздел

Следующий раздел