Пусть — площадь квадрата — площадь треугольника Тогда

Пусть — высота пирамиды и а — высота пирамиды

Далее заметим, что

Тогда — средняя линия треугольника так как — середина Отсюда по углу и отношению сторон

Тогда имеем:

Объем пирамиды вычисляется по формуле

Здесь — площадь основания пирамиды, а — ее высота.

Тогда по условию имеем:

Вычислим объем пирамиды

В основании правильной пирамиды лежит правильный треугольник. Значит, площадь основания равна

Тогда объем пирамиды равен

В правильном тетраэдре все грани являются равносторонними треугольниками. Высота тетраэдра падает в точку пересечения медиан равностороннего треугольника (она же является точкой пересечения биссектрис, высот и т.д.; далее в решении задачи нас будет интересовать точка пересечения медиан), лежащего в основании.
 

 

Пусть – правильный тетраэдр, – апофема, лежащая в грани . Она же является медианой, проведенной к стороне . Тогда, если ребро тетраэдра обозначить за , то высота в равностороннем треугольнике выразится как . и – медианы в треугольнике , – точка пересечения и , – высота в тетраэдре. Медианы точкой пересечения делятся на отрезки, состоящие в отношении , где больший отрезок лежит между соответствующей вершиной треугольника и точкой пересечения медиан. Тогда рассмотрим прямоугольный треугольник : , т.к. все равносторонние треугольники равны между собой и следовательно также равны между собой их высоты. , тогда найдем по теореме Пифагора: . Наконец, найдем объем правильного тетраэдра:

и — прямоугольные треугольники, следовательно,

Таким образом,

Тогда можем найти площадь основания:

Значит,

Пусть – пирамида, боковые ребра которой являются апофемами исходной пирамиды . тоже является правильной пирамидой, так как вершины треугольника являются серединами сторон треугольника , а значит стороны треугольника являются средними линиями треугольника стороны треугольника относятся к соответствующим сторонам треугольника как их площади состоят в отношении . Высота искомой пирамиды совпадает с высотой исходной пирамиды их объемы относятся также, как их площади объем искомой пирамиды равен .

Если то Таким образом,

Если то Таким образом,

Если то Таким образом,

Воспользуемся формулой отношения объёмов для пирамид, имеющих равный трёхгранный угол:

Длина отрезка равна половине длины диагонали квадрата Диагональ квадрата тогда В прямоугольном треугольнике

Пусть — точка пересечения диагоналей квадрата Тогда — высота пирамиды. Следовательно, — прямоугольный. Так как а то по теореме Пифагора

Следовательно, объем пирамиды равен

Так как пирамида правильная, то — высота пирамиды. Следовательно, прямоугольный, значит, по теореме Пифагора

Так как пирамида правильная, то в основании лежит квадрат, следовательно, его диагонали равны, причем точкой делятся пополам, значит,

Пусть плоскость провели через точку на ребре Так как эта плоскость параллельна плоскости основания, то она пересечет боковые грани по прямым , параллельным соответственно прямым При этом — тоже правильная четырехугольная пирамида.

Рассмотрим плоскость Проведем где — высота исходной пирамиды. Тогда Следовательно, это и есть расстояние, равное на котором от плоскости основания проведена плоскость

 

Так как то имеем:

Также отсюда следует, что

Так как то

Таким образом, объемы маленькой и большой пирамид относятся как

Следовательно, объем маленькой пирамиды равен

 

Рассмотрим рисунок. Пусть – исходная пирамида, – середины отрезков соответственно. – высота пирамиды .

Заметим, что – также высота пирамиды .
Так как – прямоугольный треугольник, то . Так как – средняя линия в , то Так как , а , то , следовательно, – квадрат. Следовательно,

Треугольник и подобны, т.к. у них общий угол и по теореме Фалеса параллельные стороны и отсекают пропорциональные отрезки. Аналогичным образом подобны треугольники и . Тогда из пропорциональности соответствующих сторон вытекает подобие треугольников , , соответственно треугольникам , . Коэффициент подобия . Тогда

.

Построим перпендикулярно , как показано на рисунке.
 

 

Так как – проекция на плоскость , то по теореме о трех перпендикулярах перпендикулярен , следовательно, угол между плоскостями и есть .

Найдем :
рассмотрим параллелограмм . С одной стороны, его площадь

С другой стороны, его площадь равна удвоенной площади треугольника , то есть Найдем , используя теорему косинусов для треугольника : откуда .

Приравняв площади параллелограмма, получим:

откуда тогда треугольник прямоугольный равнобедренный, откуда .

 

Так как пирамида правильная, то все боковые грани представляют собой равные равнобедренные треугольники. Так как у них угол при основании равен , то они являются равносторонними, то есть все боковые ребра пирамиды равны стороне основания. Площадь правильного треугольника со стороной вычисляется по формуле , следовательно, площадь боковой поверхности

 

Пусть – высота пирамиды. Так как пирамида правильная, то высота падает в центр основания, то есть в точку пересечения медиан (высот, биссектрис).
Заметим, что .
Пусть – высота (а значит и медиана) основания. Тогда

Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении , считая от вершины, то
Так как угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость, а – проекция на плоскость основания, то .
Из прямоугольного : Так как еще , то можно найти : Также из прямоугольного :
Следовательно, объем пирамиды равен

 

Пусть – высота пирамиды. Так как пирамида правильная, то высота падает в центр основания, то есть в точку пересечения медиан (высот, биссектрис).
Пусть – высота (а значит и медиана) основания. Тогда

Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении , считая от вершины, то Из прямоугольного : Следовательно, объем пирамиды равен

 

Пусть – высота пирамиды. Так как пирамида правильная, то высота падает в центр основания, то есть в точку пересечения медиан (высот, биссектрис). Также боковые грани представляют собой равнобедренные треугольники. Так как в равнобедренном угол при основании равен , то треугольник равносторонний, следовательно, .
Пусть – высота основания. Следовательно,

Так как – медиана, а медианы точкой пересечения делятся в отношении , считая от вершины, то Следовательно, по теореме Пифагора Тогда объем пирамиды равен

 

– правильная шестиугольная пирамида, – высота пирамиды, – правильный шестиугольник. – равносторонний треугольник . Рассмотрим треугольник : – перпендикуляр, – наклонная к плоскости шестиугольника, – проекция наклонной . – высота в равностороннем треугольнике . Тогда апофему можно найти из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: .

Так как пирамида правильная, то высота падает в точку пересечения медиан (которые являются также высотами и биссектрисами) основания. Пусть . Тогда . Тогда по теореме о трех перпендикулярах наклонная , проекцией которой является , также будет перпендикулярна . Следовательно, – линейный угол двугранного угла при основании, то есть .
 

 
Из прямоугольного :

Так как – медиана, а – точка пересечения медиан, и медианы точкой пересечения делятся в отношении , считая от вершины, то .
Пусть , тогда . Рассмотрим прямоугольный : Следовательно, объем пирамиды равен

Расстояние от точки до плоскости – длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Так как в основании пирамиды правильный шестиугольник, то

при , то есть

Тогда суммарная площадь оставшихся граней пирамиды равна . Так как у правильной пирамиды все грани – равные треугольники, то площадь каждой боковой грани равна , откуда с учётом того, что находим высоту треугольника : она равна 2.
 

 

Так как – правильная пирамида, то точка – основание перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость – центр описанной около окружности, .

Пусть высота в треугольнике , тогда , , но треугольник – равнобедренный, тогда – высота (в нём) и, значит, .

По теореме Пифагора

откуда , то есть расстояние от точки до плоскости равно 1.