Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём этой призмы, если объём отсечённой треугольной призмы равен 7.
Пусть — площадь основания треугольной призмы, а — ее высота. Тогда объем треугольной призмы равен
Рассмотрим отсеченную призму. Ее высота равна высоте изначальной треугольной призмы, то есть равна . Отрезок — средняя линия треугольника , поэтому треугольник , лежащий в основании отсеченной призмы, подобен треугольнику , лежащему в основании изначальной призмы. Это следует из отношения сторон
и общего угла .
Тогда площадь треугольника в раза меньше площади треугольника и объем отсеченной призмы равен
Отсюда объем исходной призмы равен
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 5. Найдите объем исходной призмы.
Пусть — площадь основания треугольной призмы, а — ее высота. Тогда объем треугольной призмы равен
Рассмотрим отсеченную призму. Ее высота равна высоте изначальной треугольной призмы, то есть равна Так как — средняя линия треугольника то треугольник лежащий в основании отсеченной призмы, подобен с коэффициентом треугольнику лежащему в основании изначальной призмы, по отношению сторон и общему углу между ними. Тогда площадь треугольника в раза меньше площади треугольника
Значит, объем отсеченной призмы равен
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
От треугольной призмы, объем которой равен 120, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объем оставшейся части.
Обозначим через площадь основания призмы, через — ее высоту. Тогда объем призмы равен
Объем отсеченной пирамиды равен
Тогда объем оставшейся части равен
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Плоскость проходит через середины двух рёбер куба с общей вершиной параллельно третьему ребру, выходящему из той же вершины. Объём треугольной призмы, отсекаемой от куба этой плоскостью, равен 11. Найдите объём куба.
Пусть — длина ребра куба. В основании призмы лежит прямоугольный треугольник, катеты которого составляют половину от Тогда объём призмы равен
Так это в 8 раз меньше объёма куба то объём куба равен
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В основаниях призмы лежат правильные шестиугольники. и
пересекаются в точке , – высота призмы. Ребро наклонено к плоскости оснований под
углом, тангенс которого равен . Найдите объем призмы, если .
– проекция наклонной на плоскость , тогда .
В все углы равны друг другу, их можно найти по формуле: , где – число
сторон правильного многоугольника, тогда каждый угол в правильном шестиугольнике равен:
.
Треугольник – равнобедренный, .
В силу симметрии : – прямоугольный. В этом
треугольнике лежит напротив угла в .
В прямоугольном треугольнике : .
В шестиугольнике отрезки , и пересекаются в точке , при этом
шестиугольник разделится на одинаковых равносторонних треугольников со стороной, равной
(см. рисунок).
Тогда .
Теперь найдем объем призмы:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
– четырехугольная призма с основаниями и . Точка –
проекция точки на плоскость , лежит на , причём . –
параллелограмм со сторонами , , , . Найдите , где
– объем призмы.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
– треугольная призма с основаниями и . Отрезок перпендикулярен плоскости , , причем точка лежит на медиане треугольника , , , . Найдите угол между плоскостями и . Ответ дайте в градусах.
Построим перпендикулярно .
Тогда перпендикулярен по теореме о трех перпендикулярах и угол между плоскостями и равен .
Так как и – медиана, то треугольник равнобедренный и – высота. Треугольники и подобны по двум углам ( – общий), тогда